wyklad4.pdf

(193 KB) Pobierz
Naprê¿enia g³ówne
1
Wykład 4
Bilans rwnań teorii sprężystości
Dokonajmy zestawienia wszystkich rwnań teorii sprężystości
Grupa rwnań
Liczba
Liczba
rwnań
niewiadomych
1. Rżniczkowe rwnania rwnowagi (warunki Naviera)
ij
i
X
j
0
3
6 (
ij
)
2. Związki geometryczne (rwnania CauchyÓego)
1
u
u
6
9 (
u
, )
ij
ij
i
'
j
j
i
2
3. Związki konstytutywne
ij
kk
ij
2
ij
lub
6
Î
1
(
)
.
ij
E
ij
kk
ij
Razem: 15 15
Poza tymi głwnymi grupami rwnań mamy jeszcze do dyspozycji rwnania
nierozdzielności (warunki de SaintÎVenanta). Jest ich sześć.
e
ikm e
jln
kl
'
mn
0
.
Te wszystkie rwnania należy jeszcze uzupełnić naprężeniowymi i
przemieszczeniowymi warunkami brzegowymi.
Na części
A brzegu A rozpatrywanego ośrodka
mogą być sprecyzowane naprężeniowe warunki
brzegowe
p
i
ji
n
j
,
natomiast na części
A , kinematyczne warunki
brzegowe
u
i
u
( s
i
)
,
gdzie
u są znanymi (zadanymi) przemieszczeniami części brzegu ośrodka.
( s
)
'
'
100058402.006.png 100058402.007.png
2
Podstawowe typy zadań teorii sprężystości
Podstawowe zadanie pierwszego typu:
Polega na wyznaczeniu pola naprężeń
ij
(
x
k
)
w każdym punkcie ciała oraz pola
przemieszczeń
u
i
(
x
k
)
od zadanych sił objętościowych
X i powierzchniowych
i
p
Te 9 niewiadomych
ij
,
u powinny spełniać rwnania Naviera
ij
i
X
j
0
,
oraz związki fizyczne w przemieszczeniach
ij
u
k
'
k
ij
(
u
i
'
j
u
j
'
i
)
Muszą też być spełnione naprężeniowe warunki brzegowe:
p
i
ji
n
j
na
A
Podstawowe zadanie drugiego typu:
Polega na wyznaczeniu pola naprężeń
ij
(
x
k
)
w każdym punkcie ciała oraz pola przemieszczeń
u
i
(
x
k
)
od zadanych sił objętościowych
X i zadanych
i
przemieszczeń powierzchniowych
u
i
(
s
)
(
x
k
)
na powierzchni
A ciała.
Poszukiwane
ij
i
u powinny spełniać rwnania Naviera
i
ij
i
X
j
0
,
oraz związki fizyczne w przemieszczeniach
ij
u
k
k
ij
(
u
i
'
j
u
j
i
)
,
'
'
'
'
100058402.008.png 100058402.009.png 100058402.001.png
3
natomiast na części
A brzegu ciała muszą być spełnione, kinematyczne warunki brzegowe
u
i
u
( s
i
)
.
Podstawowe zadanie trzeciego typu, albo zadanie mieszane polega na wyznaczeniu
pola naprężeń
ij
(
x
k
)
w każdym punkcie ciała oraz pola przemieszczeń
u
i
(
x
k
)
od zadanych sił objętościowych
X i powierzchniowych
i
p oraz od zadanych
przemieszczeń powierzchniowych
u
(
s
)
(
x
k
)
na powierzchni
A brzegu ciała.
i
Poszukiwane
ij
i
u powinny spełniać rwnania Naviera
i
ij
i
X
j
0
,
oraz związki fizyczne w przemieszczeniach
ij
u
k
k
ij
(
u
i
'
j
u
j
i
)
.
Rozwiązanie musi spełniać naprężeniowe warunki brzegowe:
p
i
ji
n
j
na
A
oraz kinematyczne warunki brzegowe na części
A brzegu ciała
u
i
u
( s
i
)
.
Można wyrżnić dwa podejścia do zadań teorii sprężystości
1. Sformułowanie bezpośrednie albo proste
Polega na rozwiązaniu zadania jednego z trzech podanych typw. Rozwiązanie zadania
w sformułowaniu bezpośrednim jest bardzo trudne.
2. Sformułowanie odwrotne (odwrotne zadanie teorii sprężystości).
W tym sformułowaniu
u
i
(
x
k
)
lub
ij
(
x
k
)
są znane (skądinąd) a
ij
(
x
k
)
oraz
obciążenia zewnętrzne wyznacza się na podstawie rwnań CauchyÓego
(
1
u
u
) i warunkw brzegowych. Rozwiązanie zadania odwrotnego jest
ij
2
i
'
j
j
'
i
'
'
'
100058402.002.png 100058402.003.png
4
dużo prostsze od rozwiązania zadania w sformułowaniu bezpośrednim. Procedura jest
szczeglnie prosta gdy znane są
u
i
(
x
k
)
. Na ich podstawie oblicza się kolejno
1
u
u
ij
2
i
'
j
j
i
ij
kk
ij
2
ij
X
j
ij
'
i
p
i
ij
n
j
na
A
u
i
u
( s
i
)
. na
A
Jeśli chodzi o sformułowanie bezpośrednie, to wygodnie jest wyeliminować część
zmiennych przyjmując za zmienne niezależne bądź to przemieszczenia
u
(
x
k
)
bądź to
naprężenia
ij
(
x
k
)
.
Rwnania teorii sprężystości w przemieszczeniach.
Z podstawowych grup rwnań dokonujemy eliminacji zmiennych wg schematu
pokazanego poniżej
ij
'
i
X
j
0
,
ij
kk
ij
2
ij
,
1
u
u
.
ij
2
i
'
j
j
'
i
Otrzymamy w efekcie rwnania Lamego (przemieszczeniowe rwnania teorii
sprężystości)
2
u
i
1
i
X
i
0
,
1
2
G
gdzie
2
2
u
i
2
u
i
2
u
i
u
,
u
.
kk
i
i
i
2
1
2
2
2
3
x
x
x
'
i
'
'
100058402.004.png
5
Rwnania teorii sprężystości w naprężeniach.
Punktem wyjścia wyprowadzenia tych rwnań są rwnania nierozdzielności
e
ikm e
jln
kl
'
mn
0
.
Podstawmy do nich związki konstytutywne
1
(
)
.
ij
E
ij
kk
ij
W przekształceniach tu pominiętych wykorzystuje się ponadto rwnania rwnowagi
ij
i
X
j
0
.
Efektem przekształceń jest sześć rwnań BeltramiegoÎMitchela (rwnania teorii
sprężystości w naprężeniach)
2
ij
1
ij
X
k
k
ij
X
i
'
j
X
j
i
,
1
1
ktre w przypadku braku sił objętościowych lub ich stałej wartości przyjmują prostszą
postać
2
1
0
,
ij
'
ij
1
gdzie
kk
11
22
33
.
Rwnania BeltramiegoÎMitchela wygodnie jest stosować wtedy gdy warunki brzegowe
są sformułowane w naprężeniach.
Przykład.
W pręcie jak na rys.
11
m
x
3
,
pozostałe
ij
0
. Wyznaczyć obciążenia tego
pręta.
Z rwnań rwnowagi wynika
11
'
21
2
31
'
X
1
0
ij
i
X
j
0
12
'
22
'
2
32
'
X
2
0
X
i
0
.
13
'
23
'
2
33
'
X
3
0
Tak więc składowe sił objętościowych są rwne zeru.
Rozpatrzmy naprężeniowe warunki brzegowe.
'
'
'
'
'
'
100058402.005.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin