podstawy analizy niepewności pomiarowych.pdf

Instytut Fizyki

Podstawy analizy niepewności pomiarowych

w studenckim laboratorium podstaw ﬁzyki

Włodzimierz Salejda

Ryszard Poprawski

Elektronicznawersjaopracowaniadostępnajest

wwitryniedydaktycznejInstytutuFizykiP.Wr.

http://www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka/

nastronie:

http://www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka/LPF/1spis.htm

oraznastroniedomowej

http://www.if.pwr.wroc.pl/˜ssalejda

Oprogramowaniewspomagająceanalizęniepewnościpomiarowych

jestdostępnenastronie:

http://www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka/LPF/programy/index.htm

Spis treści

1. Pojęcia podstawowe

2. Statystyczna analiza wyników i niepewności pomiarów bezpośrednich 5

3. Statystyczna analiza wyników i niepewności pomiarów pośrednich 6

4. Zasady zapisywaniaizaokrąglaniawynikówiniepewnościpomiarowych 10

5. Spis literatury

1. Pojęcia podstawowe

Wynik nawet najstaranniej wykonanego pomiaru lub obserwacji obarczony jest nie

pewnością odzwierciedlającą niedokładność wartości wielkości zmierzonej. Dlatego też

analiza niepewności pomiarów jest istotnym elementem każdego eksperymentu w fazie

jego projektowania, realizacji i opracowania otrzymanych wyników. W tym opracowaniu

opiszemy krótko podstawowe pojęcia stosowane w analizie niepewności pomiarów oraz

metody ichszacowania.

W roku 1995 uzgodniono nowe międzynarodowe normy [1–3] dotyczące terminologii

i zasad wyznaczania niepewności pomiarowych, którychstatut prawny jest taki sam, jak

uregulowań dotyczącychSI.

Nowymipodstawowym pojęciemjest niepewność pomiaru ,przezktórąrozumiemy

miarę niedokładności, z jaką zmierzono daną wielkość ﬁzyczną. Innymi słowy, niepew

ność pomiaru oznacza ilościową miarę naszej niepewności lub wątpliwości co do wartości

wynikupomiaru danej wielkościﬁzycznej.

Niepewność pomiaru ma wiele przyczyn.Do najważniejszychzaliczamy:

(a) niepełnądeﬁnicjęwielkościmierzonej(określeniedanejwielkościﬁzycznejjesttym

czasowe w tym sensie, że może ulec zmianie wraz z rozwojem nauki);

(b) niedokładną realizację tej deﬁnicji (przyrząd, miernik,wzorzec nie jest idealnąre

alizacją deﬁnicji wielkości ﬁzycznej, np. temperaturę określamy jako część tempe

ratury punktu potrójnego wody, ale nie istnieje idealnie czysta woda, pozbawiona

jakichkolwiek domieszek; podobnie wzorzec czasu jest ściśle związany z prędko

ścią światła, więc udokładnienie pomiaru prędkości światła wpłynie zapewne na

wzorzec czasu);

(d) niedokładną znajomość czynników zewnętrznych (np. wpływu otoczenia na prze

bieg pomiarów) lub ichniedokładny pomiar;

(e) błędy obserwatora podczas odczytów wskazań przyrządów analogowych;

(f) skończoną zdolność rozdzielcząstosowanych w pomiarach przyrządów;

(g) niedokładność stosowanych wzorców i materiałów odniesienia;

(h) niedokładne wartości stałych lub parametrów pochodzących z innychźródeł;

(i) przybliżenia i założenia upraszczające przyjęte w pomiarach lub procedurze po

miarowej;

(j) zmianykolejnychwynikówpomiarówwielkościmierzonejw pozornie identycznych

warunkach.

Dokonując pomiaru wielkości ﬁzycznej X przypisujemyjej liczbę mianowaną postaci

x =( r X ± x )J X ,

(1)

gdzie J X — jednostka wielkości X , r X — liczba jednostek (w takim zapisie r X jest war

tością niemianowaną), x — niepewność pomiaru (w tym zapisie liczbaniemianowana).

Jak widzimyz postaci zapisu(1), podanie wartości wielkościﬁzycznejwpostaci tylko

liczbynie ma sensu (o ile nie jest to wielkość bezwymiarowa).

Wartość niepewności x oceniamy:

• za pomocą metod analizy statystycznej serii wyników pomiarów; ten sposób nosi

nazwę oceny niepewności metodą A (patrz również [1,3,5,6]);

• wykorzystując dodatkowe niestatystyczne informacje np. wielkość działki elemen

tarnej przyrządu lub klasę przyrządu; ten sposób nosi nazwę oceny niepewności

metodą B (patrz także [1,3,5,6]).

Wnowejanalizieniepewnościpomiarowychnieposługujemy się pojęciami rachunku

błędów pomiarowych , którego podstawowym obiektem był błąd pomiaru b . p . ( x )

wielkości X , zdeﬁniowany jako różnica między wynikiem pomiaru x a wartością rzeczy

wistą µ X wielkości mierzonej

b . p . ( x )= x − µ X .

(2)

Tak określone pojęcie jest wyidealizowane i mało użyteczne w analizie niepewności po

miarowych,ponieważ nie jest znana dokładna (tj. rzeczywista) wartość µ X . Tym samym

nie jest znana wartość b . p . ( x ).

Innym pojęciem rachunku błędów, którego użyteczność jest ograniczona, był błąd

przypadkowy ( 1 )

p ( x )= x − x ( 1 ) .

(3)

Pojęciebłęduprzypadkowegoniemożebyćprzedmiotemanalizyilościowej,ponieważseria

pomiarówjestzawszeskończona.Ztychpowodówodstąpionoodposługiwaniasiębłędami

(pomiarów lub przypadkowymi), jak również nazwą rachunek błędów . Na ich miejsce

wprowadzono nowe pojęcia, które prezentujemy dalej i które są przedmiotem analizy

niepewności pomiarowych przedstawionej obszernie w literaturzeźródłowej [1,2,4–6].

Podstawowympojęciemwanalizieniepewnościpomiarowychjest niepewność przy

padkowa x mierzonej wielkościﬁzycznej X , którą deﬁniujemynastępująco:

x = = x − x,

(4)

gdzie x jest średnią arytmetycznąserii n pomiarów

x = x 1 + x 2 + + x n

= 1

x i .

(5)

i =1

Dla skrócenia zapisu pominięto argument x w deﬁnicji niepewności pomiarowej we wzo

rze (4).

Opróczniepewnościprzypadkowychposługujemysiętakżepojęciem błędusystema

tycznego x , który deﬁniuje wyrażenie

x = = x ( 1 ) − µ X .

(6)

Wprowadzone poprzednio wielkości (2), (3) i (4) spełniają związek

b . p . ( x )= x − µ X = x − x ( 1 ) + x ( 1 ) − µ X ≃ x + x = + ,

zktóregowynika,żemożemyanalizowaćdokładność pomiarów, rozpatrującjedynieprzy

padkowe niepewności pomiarów (4) oraz błędy systematyczne(6).

p ( x ),którydeﬁniowanojakoróżnicęmiędzywynikiempomiaru x wiel

kości X a średnią arytmetyczną x ( 1 ) z nieskończonej liczby pomiarów

( 1 )

Wpraktycelaboratoryjnej popełniane są dość często błędy grube .Powstają one za

zwyczaj wskutek pomyłki osoby przeprowadzającej pomiar. Przykładowo: mierząc śred

nicę drutu śrubą mikrometryczną odczytano wynik 2 , 34mm, a zapisano 2 , 34m. Błąd

gruby jest stosunkowo łatwo zauważyć,ponieważ prowadzi on do absurdalnych wyników,

różniącychsię od spodziewanych wartości o kilka rzędówwielkości.Dlatego też rezultaty

pomiarówobarczonychbłędamigrubyminależyodrzucić,astosownepomiaryprzeprowa

dzić ponownie.

Celem analizy niepewności pomiarów jest określenie najlepszej w danych warunkach

eksperymentalnychoceny wartości rzeczywistej µ X mierzonej wielkości ﬁzycznej X oraz

wyznaczenie niepewności pomiarowych. Zadania te realizujemy za pomocą metody A

(statystycznametodaokreślanianiepewnościpomiarów) lubB(metodaniestatystyczna).

Pierwszazmetodjestpowszechniestosowanawlaboratoriachstudenckich,dlategoprzed

stawiamyjądalejdośćszczegółowo.MetodaBjestznacznietrudniejsza.Zainteresowanych

odsyłamy do pozycji literaturowych[1,5,6].

2. Statystyczna analiza wyników i niepewności po

miarów bezpośrednich

Załóżmy, że n krotnie powtórzono bezpośredni pomiar wielkości X (w jednakowych

istabilnychwarunkach)iotrzymanoserię(próbę)wyników,któreoznaczamysymbolicznie

jako { x 1 ,x 2 ,...,x n } .WmetodzieAocenyniepewnościpomiarowychzakłada się,żemie

rzona wielkość X jest zmienną losową, a { x 1 ,x 2 ,...,x n } jest n elementową (skończoną)

próbą z nieskończonej populacji, którą tworzą wszystkie możliwe wyniki pomiarów. Do

próbyskończonejstosuje sięmetody rachunkuprawdopodobieństwa istatystykimatema

tycznej.

W charakterze najlepszej oceny wartości rzeczywistej µ X przyjmuje się średnią

arytmetyczną (5). Natomiast za miarę niepewności pojedynczego pomiaru z próby

{ x 1 ,x 2 ,...,x n } przyjmujemyliczbę

n − 1 [( x 1 − x ) 2 +( x 2 − x ) 2 + +( x n − x ) 2 ]=

n − 1

s x =

( x i − x ) 2 , (7)

i =1

którą nazywamy odchyleniem standardowym pojedynczego pomiaru (wielkość ( s x ) 2 na

zywamy wariancją). Oznacza to, że oceną niepewności zmierzonej wartości x i jest s x ,

a wartość i tego pomiaru z próby { x 1 ,x 2 ,...,x n } wynosi x i ± s x . Jak widzimy,każdemu

wynikowi pomiaru możemy w ten sposób przypisać niepewność w sensie relacji (1).

Niepewnościąpomiarową s x ,zwanąniepewnościąstandardową,obarczonajestrównież

wartość średnia x (5). Oceną tej niepewności jest

s x = s x

n ( n − 1)

n =

( x i − x ) 2 .

(8)

i =1

Oznaczato, że najlepszymoszacowaniem zmierzonejwartości wielkości X jest x ± s x , tj.

miarą niepewności x jest niepewność standardowa (8). Wkład do niepewności przypad

kowej wnoszą czynnikiwymienione poprzednio w punktach (a)–(j) na stronie 3.

Jeśli dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru lub wyniki pomiarów nie wykazują

rozrzutu, to w charakterze niepewności wartości średniej przyjmujemy

√

s x = d . e . /

3 ,

(9)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: