Elementy logiki i teorii mnogości.

Def 1. Zdaniem nazywamy każdy wyraz, któremu można przypisać prawdę lub fałsz.

Prawdziwe 1      fałszywe 0

Wartość logiczna zdania

Zdania p, q, r, s wartość w(p); w(q)

w(p)=1 -  zdanie prawdziwe

w(q)=0 -  zdanie fałszywe

wyrażenia, którym nie możemy przypisać p. lub f. Są formami zdaniowymi.

Zd. zawsze prawdziwe – tautologia

Zd. mogą być proste albo złożone

Elementy łączące zdania pojedyncze w złożone są funktorami zdaniotwórczymi

Najczęstsze lub,  i,  jeżeli....to;  wtw,  en. negacji

                    Ú  Ù   Þ     Û  

wartości logiczne gł. zdań

Koniunkcja 2 zdań jest prawdziwa, gdy oba zdania są prawdziwe

Alternatywa 2 zdań jest, gdy co najmniej 1 jest prawdziwe

Implikacja jest fałszywa tylko, gdy ze zd. prawdziwych wynika zd. fałszywe

Równoważność jest prawdziwa, gdy oba zdania mają tę samą wartość logiczną.

Prawa logiczne:

1.    prawo podwójnej negacji    pÛ ~ (~p)

2.    prawo przemienności alternat. pÚq  Û  qÚp

3.    prawo łączności altern. (pÚq) Ú r Û pÚ (qÚr)

4.    prawo przemienności koniunkcji pÙq Û qÙp

5.    prawo łączności koniunkcji (pÙq) Ù r Û pÙ(qÙr)

6.    prawo rozdzielności koniunkcji wzg. altern.  pÙ(qÚr) Û (pÙq) Ú (pÙr)

7.    prawo rozdzielności altern. wzg. konjunkcji  pÚ(qÙr) Û (pÚq) Ù (pÚq)

8.   (pÞq) Û (~ p) Ú q

9.    prawo niesprzeczności ~ [pÙ(~ p)] – zawsze praw.

10.      prawo wyłączonego środka  pÚ(~ p) – zawsze praw.

Prawa d’Morgana

11.  ~ (pÚq) Û (~p) Ù (~q)

12.  ~(pÙq) Û (~p) Ú (~q)

13.      (pÛ) Û [(pÞq) Ù (qÞp)]

14.      [~(pÞq)] Û [pÙ(~q)]

15.      prawo zwrotności implikacji  pÞp

16.      prawo idempotentości (pÙp) Þp

17.                                           (pÚp) Þp

18.* prawo kontrapozycji   (pÞq) Û [(~q) Þ (~p)]

Def 2. Funkcji zdaniowej

Funkcją zdaniową nazywamy wyrażenie zawierające zmienne, które staje się zdaniem, gdy w te zmienne podstawiamy konkretne wielkości.

Def 3. Kwantyfikatory są operacji log wykazyw. na funkcjach zdaniowych.

Wyróżniamy kwantyfikatory duży  Ù  „dla każdego”

                                               mały  Ú  „istnieje”.

El. teorii mnogości (zbiory):

A, b, c Î A

A Ì B    Û   Ù x Î B

A – podzbiór zb. B

B – podzbiór zb. A

AÌ B,   A ¹ B        A – podzbiór właściwy

Suma zb. xÎAÈB Û xÎA Ú xÎ B                 Jeżeli iloczyn AÇB = ø    zb. rozłączne

Iloczyn xÎ AÇB Û xÎ A Ù xÎ B        

Własności sumy:

Prawo rozdzielności:

1.       AÇ(BÈC) = (AÇB) Ç (AÇC)

2.       AÈ(BÇC) = (AÈB) Ç (AÈC)

Różnica zbiorów     A – B; A\ B

Def 4.  x Î A-B Û xÎ A Ù xÏ B

zwykła    A-B ¹ B-A   -  ta równość nie zachodzi dla dowolnych zbiorów

                (A-B) Ç (B-A) = ø

A-B Ì A

AÌ B Ù C Ù Þ (A-D) Ì (B-C)

Różnica symetryczna zbiorów:

A-B = (A-B) È (B-A)

Dopełnienie zbioru A nazywamy różnicę między całą przestrzenią x i zb A

A’ = X-A

xÎA’ Û xÏA

(AÈB)’ = A’Ç B’               d’Morgana dla zb.

(AÇB)’ = A’È B’     

Sumy i iloczyn uogólnione zbiorów:

Niech T będzie zb. Indeksów

xÎ È At Û Ú xÎ At  tÎT        tÎT

istnieje takie t, że należy do zbioru.

Ç -  uogólnione iloczyn zb.

xÎ Ç At Û Ù xÎ At

     tÎT        tÎT

t=N

A1= á0;2ñ

A2= á0;1,5ñ

A3= á0;1 1/3ñ

È At = á0,2)

tÎT

...