Metody energetyczne
1. Wstęp.
„Tradycyjna” wytrzymałość materiałów opiera się na ciągłym, jednorodnym modelu ciała sprężystego. Aby otrzymać rozwiązania problemów inżynierskich trzeba stoso-wać różne uproszczenia, pomijać pewne czynniki, stosować przybliżone metody roz-wiązywania równań.
Obliczenia wytrzymałościowe oparte na „klasycznych” metodach prowadzą w wie-lu przypadkach do bardzo skomplikowanych zależności. Trudno jest też sobie wy-obrazić ich stosowanie np. do prętów o zakrzywionej osi (łuków) – w tym przypadku metody klasyczne są nieprzydatne. Wprowadzenie do wytrzymałości pojęcia energii potencjalnej pozwala na sformułowanie stosunkowo prostych metod umożliwiających określanie przemieszczeń konstrukcji czy rozwiązywanie zadań statycznie niewyzna-czalnych. Dodatkową korzyścią jest zastosowanie prostych metod rachunkowych, wykorzystujących powszechnie znane metody analizy matematycznej (różniczki, całki). Metody wykorzystujące energię stanowią jedyne narzędzie pozwalające obliczać wytrzymałościowo ramy, łuki i zadania o wysokim stopniu statycznej niewyznaczal-ności. Metody oparte na energii wewnętrznych sił sprężystości, zwane metodami energetycznymi, stanowią powszechnie stosowane w praktyce narzędzie do obli-czeń wytrzymałościowych zarówno elementów konstrukcyjnych, jak i całych konstrukcji. Znaczenie metod energetycznych wzrasta z rozwojem możliwości obliczeniowych współczesnej techniki komputerowej.
Należy jednak pamiętać, że do prawidłowego stosowania metod energetycznych niezbędna jest odpowiednia znajomość wspomnianych „klasycznych” metod obliczeniowych.
Pojęcie energii potencjalnej wewnętrznych sił sprężystości (krótko – energii sprężystej) nawiązuje do zagadnień znanych z dynamiki. W podejściu tym wykorzystuje się analogię do definicji pracy ciał sztywnych – praca jest iloczynem siły na przesu-nięciu (drodze) i wyraża się za pomocą Nm (kNm – niutonometrów (dżuli J), kiloniu-tonometrów1).
2. Układ Clapeyrona.
Układ sprężysty musi spełniać następujące warunki:
– materiał, z którego wykonany jest układ, zachowuje się zgodnie z
prawem Hooke’a czyli jest to materiał liniowo-sprężysty,
– w układzie nie ma takich warunków brzegowych, których istnienie
zależy od odkształcenia konstrukcji,
– temperatura układu jest stała,
– nie ma naprężeń i odkształceń wstępnych.
Układy, które spełniają wymienione warunki, nazywane są
układami Clapeyrona.
Podejście wykorzystujące energię sił sprężystości wymaga przyjęcia pewnego modelu, określanego jako układ Clapeyrona (sprężystość liniowa, możliwość stosowania zasady superpozycji, równowaga układu). Dla układu Clapeyrona można wprowadzić dodatkowe pojęcia, upraszczające dalszą analizę. Pojęciami tymi są:
- Pręt uogólniony (pręt jednocześnie obciążony siłami osiowymi, siłami poprzecznymi, momentem skręcającym i momentem zginającym).
- Siła uogólniona (rozciąganie, ścinanie, skręcanie, zginanie).
- Przemieszczenie uogólnione (wydłużenia, ugięcia i obroty).
Uogólnienie powyższych pojęć pozwala na wyprowadzenie ogólnych zależności i przystosowanie ich do konkretnych praktycznych sytuacji.
3. Twierdzenie Clapeyrona.
Twierdzenie Clapeyrona mówi, że dla układu sprężystego, znajdującego się w
równowadze, praca sił zewnętrznych Lz równa jest energii potencjalnej sił
wewnętrznych (energii sprężystej):
Lz=V
4. Energia sprężysta.
Metody energetyczne są efektywnym narzędziem rozwiązywania złożonych problemów obliczeń wytrzymałościowych, polegających na wyznaczaniu przemieszczeń oraz rozwiązywaniu zadań wielokrotnie statycznie niewyznaczalnych. W oparciu o metody energetyczne można stosunkowo łatwo napisać programy komputerowe. Metody energetyczne są także podstawą metod elementów skończonych, współczesnego narzędzia szeroko obecnie stosowanego w projektowaniu konstrukcji inżynierskich wszelkiego typu.
W poniższej tabeli przedstawiono w uproszczonej formie zależności pozwalające
na zrozumienie energii sprężystej dla podstawowych modeli stosowanych w „klasycznej”
wytrzymałości materiałów.
Energia sprężysta pręta uogólnionego pod działaniem sił rozciągających (ściskających),
momentu skręcającego, momentu zginającego i sił ścinających wynosi:
Gdzie: A – pole powierzchni przekroju [cm2], L – długość pręta L [m],
E – moduł Younga [MPa], G – moduł Kirchoffa [MPa].
5. Twierdzenie Castigliano.
Dzięki wprowadzeniu uogólnionych pojęć sił i przemieszczeń można sformułować
zależności szeroko stosowane w obliczeniach wytrzymałościowych. Podstawowym
twierdzeniem w metodach energetycznych jest twierdzenie Castigliano (1873):
które mówi, że pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem siły uogólnionej
jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.
Twierdzenie Castigliano jest stosowane do wyznaczania przemieszczeń
układów statycznie wyznaczalnych. Nie przysparza ono żadnych trudności w zadaniach,
w których poszukiwane przemieszczenie odpowiada rzeczywiście działającej
sile. W zadaniach mających na celu poszukiwanie przemieszczeń w przekrojach,
w których nie ma rzeczywistej siły, można dodać fikcyjne obciążenie odpowiadające
szukanemu przemieszczeniu. Po zróżniczkowaniu energii to fikcyjne obciążenie należy
przyrównać do zera.
Obciążenie układu siłami zewnętrznymi czynnymi powoduje powstanie w podparciach
(więzach) sił zewnętrznych biernych (reakcji). Dla podparcia sztywnego oraz
bez tarcia przemieszczenie odpowiadające reakcji podporowej Ri jest równe zeru.
Wykorzystując twierdzenie Castigliano, powyższe stwierdzenie można przedstawić w
postaci zależności:
6. Twierdzenie Menabre’a.
W układzie sprężystym wszystkie siły czynne i wszystkie siły bierne są związane
ogólnymi warunkami równowagi, wyrażonymi przez równania statyki. Powyższa zależność będzie prawdziwa tylko dla reakcji przyjętych za statycznie niewyznaczalne
(nadliczbowe). Mówi o tym twierdzenie Menabre’a (1857): w układzie liniowo-sprężystym sztywno podpartym pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu
względem reakcji podporowej statycznie niewyznaczalnej jest równa zeru.
Twierdzenie Menabre’a pozwala na rozwiązywanie układów statycznie niewyznaczalnych.
W układach z większą liczbą wielkości statycznie niewyznaczalnych
należy zastosować twierdzenie Menabre’a tyle razy, ile jest wielkości statycznie
niewyznaczalnych. Twierdzenie Menabre’a jest też zwane zasadą minimum energii
lub zasadą najmniejszej pracy Menabre’a.
7.Podsumownie.
Za pomocą twierdzenia Castigliano można wyznaczać przemieszczenia w układach statycznie wyznaczalnych. Twierdzenie Menabre’a pozwala na rozwiązywanie zadań statycznie niewyznaczalnych. Oba twierdzenia pozwalają na rozwiązywanie płaskich i przestrzennych konstrukcji typu ramy i łuki
Freakout