lista5.pdf

(48 KB) Pobierz
lista5.dvi
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI - LISTA ZADA N NR 5
1. Obliczyc dlugosci wektorow:
a)
−!
a = [1, 2, 3] ,
−−!
AB, gdzie A = (1, 2, 1) , B = (4, 6, 13) ,
b)
−!
b = [r cos ', r sin ', h] , gdzie r 0, oraz ', h2
c)
R.
−!
b sa przekatnymi rownolegloboku. Wyrazic boki tego
rownolegloboku za pomoca wektorow
−!
a ,
−!
b .
−!
a ,
c sa bokami trojkata.
a) Wyrazic srodkowe tego trojkata za pomoca wektorow
−!
a ,
−!
b ,
−!
−!
b ,
−!
−!
c .
b) Wykazac, ze ze srodkowych trojkata mozna zbudowac trojkat.
Wsk. b) Z wektorow
a ,
a ,
−!
b ,
−!
c mozna zbudowac trojkat jezeli
−!
a +
−!
b +
−!
b ,
−!
−!
0 oraz
−!
−!
c =
a ,
c sa niewspoliniowe.
4. Dane sa trzy wierzcholki rownolegloboku A = (1,−2, 3) , B = (3, 2, 1) ,
C = (6, 4, 4) . Znalezc wspolrzedne wierzcholka D.
5. Znalezc wektor
−!
u dlugosci 1, ktory tworzy jednakowe katy z wek
−!
b = [8, 6, 0] i jest polozony w plaszczyznie
wyznaczonej przez te wektory.
−!
torami
a = [0, 3,−4] ,
6. Obliczyc iloczyny skalarne wektorow
a i
−!
b , jezeli:
−!
b = [8, 6, 0] ;
−!
a)
a = [0, 3,−4] ,
−!
i + 3
−!
j− −!
−!
b = 13
−!
i−6
−!
j + 8
−!
k ;
−!
b)
a = 2
k ,
−!
a|= 5,| −!
−!
b
c)| −!
b|= 6, ∡
a ,
=
6 ;
−!
b =
d)
a = 3
p−2
−!
q ,
p−5
−!
q , gdzie| −!
p|= 2,| −!
q|= 1,
p? −!
q .
−!
k ;
b) przekatnymi rownolegloscianu rozpietego na wektorach
−!
a = 2
−!
i + 3
−!
j− −!
k ,
−!
b = 13
−!
i−6
−!
j + 8
−!
a = [1, 2, 3] ,
−!
b = [−1, 0, 2] ,
−!
c = [3, 1, 5] .
8. Wykazac, ze czworokat o wierzcholkach A = (−3, 5, 6) , B = (1,−5, 7) ,
C = (8,−3,−1) , D = (4, 7,−2) jest kwadratem.
9. Obliczyc dlugosc rzutu prostopadlego wektora:
a)
a =
P
2,
P
3,− P
5
na wektor
−!
b =
− P
8, 0,
P
5
;
−!
a = [−1, 0, 2] na prosta tworzaca jednakowe katy z dodatnimi
osiami ukladu wspolrzednych.
1
2. Wektory
3. Wektory
−!
−!
−!
−!
−!
−!
7. Obliczyc kat miedzy:
a) wektorami
−!
b)
711130381.013.png 711130381.014.png
10. Obliczyc iloczyny wektorowe wektorow
a i
−!
b , jezeli:
−!
b = [2, 3, 4] ;
−!
a)
a = [1, 2,−1] ,
−!
i−3
−!
k ,
−!
b =
−!
i +
−!
j−4
−!
k .
−!
b)
a = 2
11. Obliczyc pole:
a) rownolegloboku rozpietego na wektorach
−!
a = 3
−!
i + 2
−!
j +
−!
k ,
−!
k ;
b) trojkata o wierzcholkach A = (3, 4,−3), B = (6, 2, 3), C = (0,−1, 5) .
−!
i− −!
j + 2
−−!
AB = [1,−1, 2] rozpinaja trojkat ABC. Obliczyc
wysokosc tego trojkata opuszczona z wierzcholka C.
−!
AC = [3, 2, 1] ,
13. Obliczyc iloczyny mieszane wektorow
−!
a ,
−!
b ,
c jezeli:
−!
b = [4, 3,−1] ,
−!
−!
a)
a = [−2, 1, 3] ,
c = [1, 0,−2] ;
−!
−!
i−3
−!
k ,
−!
b =
−!
i +
−!
j−4
−!
k ,
−!
−!
i−3
−!
j .
b)
a = 2
c = 5
14. Obliczyc objetosc:
a) rownolegloscianu rozpietego na wektorach
a = [0, 1,−1] ,
−!
b =
−!
c = [1, 5, 0] ;
b) czworoscianu o wierzcholkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C =
(−1, 1, 0) , D = (0, 0, 1).
15. Sprawdzic, czy
a) wektory
−!
a = [2, 0,−3] ,
−!
b = [1, 1,−4] ,
−!
c = [5,−3, 0] sa wspol
plaszczyznowe;
b) punkty A = (1, 0, 2), B = (5, 1, 5), C = (3,−1, 2) , D = (1, 1, 1) leza
w jednej plaszczyznie;
c) wektory
−!
a = [2,−1, 3] ,
−!
b = [1, 2, 3] ,
c = [1, 1, 2] sa liniowo zalezne.
16. Napisac rownania ogolne, parametryczne i odcinkowe (o ile to jest
mozliwe) plaszczyzn spelniajacych podane warunki:
a) plaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1,−2, 0) i jest prostopadla
do wektora
−!
−!
b = [3, 2, 5] ;
c) plaszczyzna przechodzi przez trzy punkty P 1
a = [−1, 3, 2] ,
= (0, 0, 0), P 2
=
(1, 2, 3), P 3 = (−1,−3, 5);
d) plaszczyzna przechodzi przez dwa punkty P 1 = (2, 0,−1), P 2 =
(1,−3, 4) i jest prostopadla do plaszczyzny xOz;
e) plaszczyzna przechodzi przez punkt P = (3,−2, 5) i jest rownolegla
do plaszczyzny yOz;
f) plaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, 3,−2) i przez os Oy;
g) plaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2,−1, 1) i jest prostopadla
do dwoch plaszczyzn 1 : 2x−z + 1 = 0, 2 : y = 0;
h) plaszczyzna przechodzi przez punkt P = (−1, 2, 4) i odcina na osi
2
−!
−!
b =
12. Wektory
−!
−!
[1,−2,−3] ,
−!
a = [0,−3, 2] ;
b) plaszczyzna przechodzi przez punkt P = (−2, 1, 4) i jest rownolegla
do wektorow
−!
Ox odcinek dlugosci 5, a na osi Oz odcinek dlugosci 3.
8
<
x = 1 + s
y =−2 + 2t
z = 3t
Odp.: a) 3y−2z + 6 = 0,
:
, gdzie s, t2
R; b) x + y−
8
<
x =−2−s + 3t
y = 1 + 3s + 2t
z = 4 + 2s + 5t
Y
− 5
z + 5 = 0,
, gdzie s, t2
R,
X
− 5
+
+
Z
5
= 1; c)
:
<
:
19x−8y−z = 0,
x = s−t
y = 2s−3t
z = 3s + 5t
, gdzie s, t2
R; d) 5x + z−9 = 0,
8
<
8
<
x = 1 + t
y =−3 + s + 3t
z = 4−5t
x = 3
y =−2 + s
z = 5 + t
:
, gdzie s, t2
R; e) x−3 = 0,
:
,
8
<
:
gdzie s, t2
R; f) 2x + z = 0,
x = 1 + t
y = 3 + s + 3t
z =−2−2t
, gdzie s, t2
R; g)
<
:
x + 2z−4 = 0,
x = 2 + 2s
y =−1 + t
z = 1−s
, gdzie s, t2
R; h) 3x−y + 5z−15 = 0,
8
<
x =−1 + s
y = 2 + 3s + 5t
z = 4 + t
Y
, gdzie s, t2
R,
X
5
+
− 15 + 3
= 1.
:
R plaszczyzny 1 : 7x−2y−z = 0,
2 : px + y−3z−1 = 0 sa prostopadle ?
R plaszczyzny 1 : 4x−3y +
6pz−8 = 0, 2 : 2qx + y−4z + 4 = 0 sa rownolegle ?
19. Napisac rownania kierunkowe i parametryczne prostych spelniajacych
podane warunki:
a) prosta przechodzi przez punkt P = (2,−1, 3) i jest rownolegla do
wektora
−!
−!
b = [3, 2, 5] ;
c) prosta przechodzi przez dwa punkty P 1 = (1, 0, 1), P 2 = (1, 2, 3);
d) prosta przechodzi przez punkt P = (0,−2, 3) i jest prostopadla do
plaszczyzny 3x−y + 2z−6 = 0;
e) prosta jest czescia wspolna plaszczyzn 1 : 2x−z + 1 = 0, 2 :
y + z = 0.
a = [−1, 3, 2] ,
8
<
x = 2 + 3t
y = 3−2t
z =−1 + 3t
Odp: a). X − 2
3
=
Y − 3
− 2
=
Z+1
3
,
:
, gdzie t2
R; b). X − 1
1
=
3
17. Dla jakiej wartosci parametru p2
18. Dla jakiej wartosci parametrow p, q2
a = [3, 2,−2] ;
b) prosta przechodzi przez punkt P = (1,−1, 1) i jest prostopadla do
wektorow
−!
711130381.015.png 711130381.016.png 711130381.001.png
8
<
x = 1 + t
y =−1 + t
z = 1−t
8
<
x = 1
y = 2t
z = 1 + 2t
Y+1
1
=
− 1 ,
:
, gdzie t2
R; c). X − 1
0
=
Y
2
=
Z − 1
2
,
:
,
8
<
Y+2
− 1
x = 3t
y =−2−t
z = 3 + 2t
gdzie t2
R; d). 3
=
=
Z − 3
2
,
, gdzie t2
R; e). 1
=
:
8
<
x = t
y =−1 + 2t
z = 1−2t
Y+1
2
=
− 2 ,
:
, gdzie t2
R.
20. Napisac rownania prostych przechodzacych przez punkty przeciecia
plaszczyzny 3x−2y + 6z−6 = 0 z osiami ukladu wspolrzednych.
Odp:
X − 2
2
=
Y
3
=
0 ,
X
0
=
Y+3
3
=
1 ,
X
2
=
Y
0
=
− 1 .
a) plaszczyznami 1 : x− P
P
2y−z + 3 = 0;
b) prostymi przechodzacymi przez punkty A = (2, 0,−1), B = (1,−2, 3)
oraz C = (−1, 2, 1), D = (3, 1, 3);
c) prosta
2y + z−1 = 0, 2 : x +
X − 2
2
=
Y
3
=
Z
0
i plaszczyzna 3x−2y + 5z−1 = 0.
2 ;
b) punktu P = (1, 1, 1) od plaszczyzny x + 2y−z + 1 = 0;
c) miedzy prostymi rownoleglymi l 1 :
X+1
1
=
Y − 1
− 1
=
Z
X − 1
4
=
Y − 3
− 2
=
Z+1
3
, l 2 :
X
4
=
Y
− 2
=
3 ;
d) miedzy plaszczyznami rownoleglymi 1
: x−2y + z−1 = 0, 2
:
2x−4y + 2z = 0;
e) miedzy prostymi skosnymi l 1 :
X − 9
4
=
Y+2
− 3
=
1 , l 2 :
X
− 2
=
Y+7
9
=
Z − 2
2
.
2 ;
b) punktu P = (2, 3,−6) na plaszczyzne x + 2y + z + 4;
c) prostej l : x = y = z na plaszczyzne x + 2y + 3z−6 = 0.
X+1
1
=
Y − 1
− 1
=
Z − 2
24. Znalezc punkt symetryczny do punktu P = (0, 1, 3) wzgledem:
a) punktu S = (1, 0,−1);
b) prostej
X+1
− 2
=
Y
1
=
Z − 5
25. Znalezc punkt P dzielacy odcinek AB w stosunku 1 : 2 gdy A =
(1, 1, 1), B = (−3, 2,−1).
26. W wierzcholkach trojkata prostokatnego o przyprostokatnych a = 3 i
b = 4 rozmieszczono jednakowe masy. Znalezc polozenie srodka masy
tego ukladu.
4
Z − 1
Z − 1
Z
Z
Z − 1
21. Obliczyc kat miedzy:
22. Obliczyc odleglosc
a) punktu P = (2,−1, 1) od prostej
Z
Z
23. Znalezc rzut prostopadly
a) punktu P = (1,−2, 1) na prosta
3 ;
c) plaszczyzny x + y + z = 0.
711130381.002.png 711130381.003.png 711130381.004.png 711130381.005.png 711130381.006.png 711130381.007.png 711130381.008.png 711130381.009.png 711130381.010.png 711130381.011.png 711130381.012.png
27. Uzasadnij, ze punkt przeciecia odcinkow laczacych srodki przeciw
leglych bokow czworokata wypuklego dzieli na polowe odcinek laczacy
srodki przekatnych tego czworokata. Wsk.: szukajac srodek masy
ukladu (P 1 , m 1 ), . . . , (P N , m N ) mozemy zastapic uklad (P I 1 , m I 1 ), . . . ,
(P I K , m I K ) (k n) punktem bedacym srodkiem masy tego ukladu z
masa m I 1 + . . . + m I K .
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin