Planimetr biegunowy.pdf

jak to dzia ł a

nawykowo z pomoc¹ kalkulatora, trudno sobie

wyobraziæ jak nasi – nie tak znów bardzo odlegli

– przodkowie, dawali sobie radê z obliczeniami z natu-

ry swej doœæ uci¹¿liwymi. Typowy przyk³ad, to oblicza-

nie z mapy powierzchni gruntów. Dzia³ki niestety rzad-

ko kiedy s¹ œciœle prostok¹tne, no a jak tu dobraæ siê

do powierzchni czegoœ takiego jak Norwegia ze swoimi

Kolberga, opracowany w 1822 roku. Przyrz¹d s³u¿y³ do

uproszczenia obliczeñ, metod¹ sumowania powierzchni

trójk¹tów, na jakie powierzchniê dzielono. Oblicza³

„œredni¹ geometryczno-proporcjonaln¹ pomiêdzy pod-

staw¹ a wysokoœci¹ trójk¹ta”. Sk³ada³ siê z „cyrkla po-

³owiczego i mosiê¿nej tablicy wykreœlnej”.

Kolejn¹ próbê mechanizacji obliczeñ podj¹³ Polak

– Szczêsny Zarêba, który w 1829 roku przedstawi³ swój

planimetr, zmieniaj¹cy figury prostokreœlne na trójk¹ty

prostok¹tne o danej wysokoœci. Tych prób by³o jeszcze

Kazimierz Topr

PLANIMETR BIEGUNOWY

wiele (Tito Gonnella 1824, Johannes Optikator, Hein-

rich Rudolf Ernst, Kaspar Wetli i Jacob Amsler 1854 r.),

ale dopiero planimetr biegunowy, wynaleziony w 1814,

a doprowadzony do wersji u¿ytecznej w 1854 przez ba-

warskiego in¿yniera Johanna Martina Hermanna –

okaza³ siê najbardziej praktycznym rozwi¹zaniem.

Schemat dzia³ania tego przyrz¹du przedstawia

rys. . Sk³ada siê on z dwóch ramion, A i B, po³¹czo-

nych przegubowo, przy czym koniec ramienia A jest

nieruchomy. Jest to tzw. biegun planimetru. Na jednym

koñcu ramienia B znajduje siê „wodzid³o” czyli pomoc-

nicze urz¹dzenie – „celownik”, s³u¿¹ce do obwodzenia

linii krzywej, ograniczaj¹cej mierzon¹ powierzchniê.

Wodzid³o bywa zaopatrzone w uk³ad optyczny, z lup¹

i krzy¿em pajêczym, dla lepszej dok³adnoœci obwodze-

nia. Na drugim koñcu ramienia B znajduje siê kó³ko ca³-

kuj¹ce, z mechanizmem zliczaj¹cym jego obroty.

Przesuniêcie wodzid³a z punktu A 1 do punktu A 2

mo¿na przedstawiæ jako sumê dwóch przemieszczeñ:

pierwsze, gdy wodzid³o wykona³o tylko obrót o k¹t ∆α

i przesz³o z punktu A 1 do punktu A 0 , i drugie, gdy wo-

dzid³o przesz³o z punktu A 0 do punktu A 2 , a ramiê wo-

dz¹ce przemieœci³o siê równolegle. Powierzchniê ele-

mentarn¹ E mo¿na wiêc przedstawiæ jako sumê po-

wierzchni sk³adowych: F 1 – powierzchnia wycinka ko-

³owego o promieniu równym d³ugoœci ramienia wodz¹-

cego R i nieskoñczenie ma³ym k¹cie obrotu ∆α, F 2 - po-

fiordami? Oczywiœcie mo¿na kawa³ek po ka-

wa³eczku pokrywaæ powierzchniê prostok¹ta-

mi i trójk¹tami i tak powolutku dojœæ do koñ-

cowego wyniku, ale to benedyktyñska praca.

By³y nawet pomoce s³u¿¹ce do tego

celu, takie jak zapomniany ju¿ planimetr nit-

kowy lub dzia³aj¹ca na tej samej zasadzie

tzw. paletka, czyli po prostu kalka z naniesio-

nymi równooddalonymi liniami , dziel¹cymi

powierzchniê na w¹ziutkie trapeziki. Zliczaj¹c

³¹czn¹ d³ugoœæ nici lub linii, zawartej wew-

n¹trz obrysu analizowanej figury, po pomno-

¿eniu przez podzia³kê rozstawienia nitek ot-

rzymywa³o siê powierzchniê, z doœæ du¿¹

dok³adnoœci¹, zale¿n¹ zreszt¹ od skali mapy

i od podzia³ki paletki.

Podejmowano liczne próby zmechanizo-

wania tej ¿mudnej pracy i tak jedn¹ z pier-

wszych konstrukcji by³ „planimetr” Juliusza

W czasach, gdy najprostszy rachunek wykonujemy

wierzchnia równoleg³oboku, którego jednym bokiem

jest d³ugoœæ ramienia wodz¹cego R, wysokoœci¹ zaœ

nieskoñczenie ma³y odcinek h , oraz F 3 – powierzchnia

wycinka o promieniu równym d³ugoœci ramienia biegu-

nowego r i nieskoñczenie ma³ym k¹cie obrotu ∆β. Przy

nieskoñczenie ma³ych przesuniêciach mo¿na uwa¿aæ,

¿e okreœlenie czêœci sk³adowych powierzchni elemen-

tarnej jest wystarczaj¹co dok³adne, pomimo tego, ¿e

w rzeczywistoœci, co przy du¿ym powiêkszeniu rysun-

ku jest widoczne, ani powierzchnia F 1 nie jest – mate-

matycznie rzecz ujmuj¹c – wycinkiem ko³a, ani te¿ F 2

nie jest równoleg³obokiem. Przyj¹wszy jednak powy¿-

sze przybli¿enia jako wystarczaj¹co dok³adne, cz¹stko-

wa powierzchnia elementarna E, zakreœlona w trakcie

planimetrowania wyniesie:

R α

⋅

∆

⋅

∆

E = F 1 + F 2 + F 3 = [1]

W zwi¹zku z tym, ca³kowita powierzchnia anali-

zowanej figury równa sumie wszystkich powierzchni

elementarnych, powsta³ych przez obrót wodzid³a doko-

³a jej obwodu, bêdzie wynosi³a:

F = Σ E

Czyli:

F = Σ ( F 1 + F 2 + F 3 ) = Σ F 1 + Σ F 2 + Σ F 3 [2]

Poniewa¿ w wyniku zatoczenia przez wodzid³o

pe³nego obwodu figury, wraca ono do pierwotnego po-

³o¿enia, oznacza to, ¿e suma ujemnych odchyleñ k¹to-

wych obu ramion równa siê sumie odchyleñ dodatnich.

Po zakoñczeniu ca³ego cyklu suma odchyleñ wyniesie:

Σ∆α= 0 oraz Σ∆β= 0

Wykonanie kilku obiegów pola analizowanej fi-

gury oznacza obrót ramienia wodzid³a i ramienia wo-

dz¹cego o k¹t 0° + n · 2π. Upraszczaj¹c nieco tok rozu-

mowania, mo¿na wiêc napisaæ, ¿e:

Σ∆α= 0 + n · 2π oraz Σ∆β= 0 + n · 2π [3]

K¹t 0° mo¿na oczywiœcie pomin¹æ, a zatem pod-

stawiaj¹c do [1] otrzymujemy:

F = π ( R 2 + r 2 ) + R Σ h

⋅

z planimetru do skali mapy. Do wyznaczenia pola niere-

gularnej figury wystarczy wiêc ustaliæ sumê poprzecz-

nych przemieszczeñ ramienia wodz¹cego. To w³aœnie

zadanie spe³nia kó³ko ca³kuj¹ce . Kó³ko obracaj¹c

siê, napêdza œlimak , który obraca œlimacznicê ,

a na jej osi umieszczona jest tarcza z podzia³k¹, zlicza-

j¹ca pe³ne obroty kó³ka. Czêœæ niepe³nego obrotu mo¿-

na odczytaæ na skali kó³ka ca³kuj¹cego, zaopatrzonej

dodatkowo w noniusz . W sumie daje to mo¿liwoœæ

odczytu z dok³adnoœci¹ do 0,001 obrotu kó³ka.

[4]

Jak widaæ R i r to d³ugoœci ramion planimetru,

czyli sta³e przyrz¹du. W pewnych przypadkach mo¿e-

my zmieniaæ d³ugoœæ ramienia B, dostosowuj¹c odczyty

Planimetr to jeden z tych genialnie prostych wynalazkw,

o ktrych myś limy Ï to ja też mgł bym wynaleźć.

sumarycznej (uwzglêdniaj¹cej d³ugoœæ ramienia B i ro-

dzaj papieru) sta³ej przyrz¹du:

k = Î N ,

gdzie: F – znane, wzorcowe pole powierzchni zakreœlo-

ne przez wodzid³o,

N – odczyt z licznika urz¹dzenia zliczaj¹cego.

Tê sta³¹ powinno siê wyznaczaæ dla ka¿dego

kolejnego papieru, a najlepiej przed ka¿dym pomia-

rem. Trochê to k³opotliwe i oczywiœcie ju¿ dawno pró-

bowano temu zaradziæ. Pojawi³y siê planimetry

z w³asn¹ bie¿ni¹ dla kó³ka, zawsze t¹ sam¹, uwalnia-

j¹c¹ od potrzeby ka¿dorazowego wyznaczania sta³ej.

Typowy planimetr biegunowy polskiej produkcji

przedstawia . Oczywiœcie „elektroniczna nowoczes-

noœæ” nie ominê³a tak wiekowego i nobliwego sprzêtu,

i dzisiaj pojawi³y siê planimetry z elektronicznym

zliczaniem obrotów kó³ka. Nie trzeba ju¿ wysilaæ wzro-

ku dla odczytania z noniusza dok³adnej wartoœci iloœci

obrotów, poniewa¿ maj¹ one odczyt cyfrowy!

Ca³y problem to dobra wspó³praca krawêdzi ro-

boczej kó³ka z papierem. Papiery s¹ ró¿ne: g³adkie

i œliskie, a czasem chropowate, jak np. papier czerpany,

na jakim drukowano i rysowano stare mapy. Je¿eli kó³-

ko porusza siê w kierunku prostopad³ym do osi, to jest

to najkorzystniejszy przypadek. Figury maj¹ jednak ró¿-

ne kszta³ty i czêsto kó³ko „jedzie w poœlizgu” skoœnie

do osi obrotu. Co wtedy? Ano nic! Po prostu zlicza tê

sk³adow¹ przemieszczeñ po papierze, która jest prosto-

pad³a do osi kó³ka. Dla dok³adnoœci tego zliczania przy

takich ukoœnych przemieszczeniach konieczny jest jed-

nak dobry, g³adki, ale nie œliski papier.

Niezale¿nie od tego, ka¿dy planimetr posiada na

wyposa¿eniu linijkê , s³u¿¹c¹ do wyznaczenia tzw.

sta³ej planimetru, która uwzglêdnia w zasadzie wszys-

tkie sta³e: d³ugoœci ramion, w³aœciwoœci papieru i skalê

mapy. Linijkê tak¹ osadza siê jednym koñcem na bazie,

Co mo¿na zdzia³aæ z pomoc¹ planimetru? Bardzo

wiele! Oczywiœcie podstawowym jego zadaniem jest

wyznaczanie powierzchni nieregularnych figur, ale oz-

nacza to przecie¿, ¿e mo¿na z jego pomoc¹ ca³kowaæ

najbardziej „zwariowane” funkcje, pod warunkiem, ¿e

dane s¹ w postaci graficznej. Pamiêtamy, ¿e ca³ka, to

po prostu pole figury zawartej pomiêdzy wykresem

funkcji, osi¹ X i dwiema odciêtymi – granicami ca³ko-

wania! Je¿eli mamy zapis jakiegoœ przebiegu z graficz-

nego rejestratora, to w³aœnie tu mo¿e przydaæ siê plani-

metr.

Z pomoc¹ planimetru mo¿na okreœlaæ np. stopieñ

zu¿ycia no¿y tokarskich, przy skrawaniu stali nierdzew-

nych, austenitycznych, Stale te utwardzaj¹ siê podczas

skrawania i bardzo nietypowo œcieraj¹ powierzchnie

robocze no¿a. Po wykonaniu makrofotografii no¿a

w ró¿nych stadiach jego zu¿ycia, mo¿na splanimetro-

waæ powierzchniê starcia i uzyskaæ bardzo „porz¹dn¹”

zale¿noœæ stopnia zu¿ycia no¿a od czasu i parametrów

obróbki.

Mo¿na robiæ z pomoc¹ planimetru jeszcze inne

rzeczy, ale spróbujcie sami coœ wymyœliæ!

mocowanej do podk³adu trzema ostrzami i w³o¿ywszy

koñcówkê wodzid³a w otwór na drugim koñcu linijki,

zatacza siê pe³ny okr¹g. D³ugoœæ linijki jest na ogó³ tak

dobierana, aby pole powierzchni ko³a zakreœlonego

przez koñcówkê wodzid³a by³o wyra¿one jak¹œ okr¹g³¹

liczb¹ np. 100 cm 2 .

Znaj¹c odczyt z planimetru i pole powierzchni

zatoczonej przez wodzid³o, ³atwo obliczamy wartoœæ

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: