11.5 - Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych.pdf
(
75 KB
)
Pobierz
6859951 UNPDF
1
Wydział:WILi,Budownictwo,sem.2
drJolantaDymkowska
Ró»niczkan-tegorz¦dufunkcjidwóchzmiennych
Definicja
Niechfunkcja
f
mawotoczeniupunktu(
x
0
,y
0
)pochodnecz¡stkowedorz¦dun
wł¡cznie.
Ró»niczk¡n-tegorz¦dufunkcjifwpunkcie
(
x
0
,y
0
)nazywamyfunkcj¦
d
n
f
(
x
0
,y
0
)
zmiennych
x
i
y
okre±lon¡wzorem:
@x
x
+
@
!
n
(
x
0
,y
0
)
d
n
f
(
x
0
,y
0
)(
x,
y
)=
@y
y
f
Wewzorzetymsymbole
@
@x
i
@
@y
oznaczaj¡odpowiedniooperacjeró»niczkowaniapozmiennych
x
i
y
,natomiastpot¦g¦traktujemyformalniedootrzymaniapochodnychcz¡stkowychwy»szych
rz¦dów.
Ró»niczk¡n-tegorz¦dufunkcji
f
oznaczamykrótko
d
n
f
.
Wszczególno±ciró»niczkarz¦dunmaposta¢:
•
n
=1,to
df
(
x
0
,y
0
)(
x,
y
)=
@f
@x
(
x
0
,y
0
)
x
+
@f
@y
(
x
0
,y
0
)
y
•
n
=2,to
d
2
f
(
x
0
,y
0
)(
x,
y
)=
@
2
f
@x
2
(
x
0
,y
0
)(
x
)
2
+2
@
2
f
@x@y
(
x
0
,y
0
)
x
y
+
@
2
f
@y
2
(
x
0
,y
0
)(
y
)
2
•
n
=3,to
d
3
f
(
x
0
,y
0
)(
x,
y
)=
@
3
f
@x
3
(
x
0
,y
0
)(
x
)
3
+3
@
3
f
@x
2
@y
(
x
0
,y
0
)(
x
)
2
y
+
+3
@
3
f
@x@y
2
(
x
0
,y
0
)
x
(
y
)
2
+
@
3
f
@y
3
(
x
0
,y
0
)(
y
)
3
WzórTayloradlafunkcjidwóchzmiennych
TwierdzenieNiechfunkcja
f
mawotoczeniupunktu(
x
0
,y
0
)pochodnecz¡stkowedorz¦du
nwł¡cznieorazniech(
x,y
)b¦dziedowolnympunktemztegootoczenia.Wówczasnaodcinku
ł¡cz¡cympunkty(
x
0
,y
0
)i(
x,y
)istniejepunkt(
x
c
,y
c
)taki,»e
f
(
x,y
)=
f
(
x
0
,y
0
)+
1
1!
df
(
x
0
,y
0
)(
x
−
x
0
,y
−
y
0
)+
1
2!
d
2
f
(
x
0
,y
0
)(
x
−
x
0
,y
−
y
0
)+
+
...
+
1
(
n
−
1)!
d
n
−
1
f
(
x
0
,y
0
)(
x
−
x
0
,y
−
y
0
)+
1
n
!
d
n
f
(
x
c
,y
c
)(
x
−
x
0
,y
−
y
0
)
@
2
Równo±¢powy»sz¡nazywamywzoremTayloradlafunkcjidwóchzmiennych.Ostatnikskładnikw
tymwzorzenazywamyn-t¡reszt¡ioznaczamy
R
n
.
Je»elipunkt(
x
0
,y
0
)=(0
,
0)towzórTayloranazywamywzoremMaclaurina.
Przykład
Napisa¢wzórTaylorazreszt¡
R
2
dlafunkcji
f
(
x,y
)=
x
2
y
wotoczeniupunktu
(
−
1
,
1).
Rozwi¡zanie
WzórTaylorawotoczeniupunktu(
−
1
,
1)zreszt¡
R
2
maposta¢:
f
(
x,y
)=
f
(
−
1
,
1)+
1
1!
df
(
−
1
,
1)(
x
+1
,y
−
1)+
1
2!
d
2
f
(
x
c
,y
c
)(
x
+1
,y
−
1)
gdziepunkt(
x
c
,y
c
)jestpunktemodcinkał¡cz¡cegopunkty(
−
1
,
1)i(
x,y
).
Obliczamywi¦ckolejno:
•
f
(
−
1
,
1)=1
•
f
x
(
x,y
)=2
xy f
x
(
−
1
,
1)=
−
2
f
y
(
x,y
)=
x
2
f
y
(
−
1
,
1)=1
•
df
(
−
1
,
1)(
x
+1
,y
−
1)=
−
2(
x
+1)+(
y
−
1)
•
f
xx
(
x,y
)=2
y f
xy
(
x,y
)=2
x
f
yx
(
x,y
)=2
x f
yy
(
x,y
)=0
•
d
2
f
(
x
c
,y
c
)(
x
+1
,y
−
1)=2
y
c
(
x
+1)
2
+4
x
c
(
x
+1)(
y
−
1)
ZatemwzórTaylorazreszt¡
R
2
dlafunkcji
f
(
x,y
)=
x
2
y
wotoczeniupunktu(
−
1
,
1)przyjmie
posta¢:
x
2
y
=1
−
2(
x
+1)+(
y
−
1)+
y
c
(
x
+1)
2
+2
x
c
(
x
+1)(
y
−
1)
.
Przykład
Napisa¢wzórMaclaurinazreszt¡
R
3
dlafunkcji
f
(
x,y
)=
e
x
+2
y
.
Rozwi¡zanie
WzórMaclaurinazreszt¡
R
3
maposta¢:
3!
d
3
f
(
x
c
,y
c
)(
x,y
)
gdziepunkt(
x
c
,y
c
)jestpunktemodcinkał¡cz¡cegopunkty(0
,
0)i(
x,y
).
Obliczamywi¦ckolejno:
f
(
x,y
)=
f
(0
,
0)+
1
1!
df
(0
,
0)(
x,y
)+
1
2!
d
2
f
(0
,
0)(
x,y
)+
1
•
f
(0
,
0)=
e
0
=1
•
f
x
(
x,y
)=
e
x
+2
y
f
x
(0
,
0)=
e
0
=1
f
y
(
x,y
)=2
e
x
+2
y
f
y
(0
,
0)=2
e
0
=2
•
df
(0
,
0)(
x,y
)=
x
+2
y
•
f
xx
(
x,y
)=
e
x
+2
y
f
xx
(0
,
0)=
e
0
=1
f
xy
(
x,y
)=2
e
x
+2
y
f
xy
(0
,
0)=2
e
0
=2
f
yx
(
x,y
)=2
e
x
+2
y
f
yx
(0
,
0)=2
e
0
=2
f
yy
(
x,y
)=4
e
x
+2
y
f
yy
(0
,
0)=4
e
0
=4
•
d
2
f
(0
,
0)(
x,y
)=
x
2
+4
xy
+4
y
2
3
•
f
xxx
(
x,y
)=
e
x
+2
y
f
xxy
(
x,y
)=2
e
x
+2
y
f
xyx
(
x,y
)=2
e
x
+2
y
f
xyy
(
x,y
)=4
e
x
+2
y
f
yxx
(
x,y
)=2
e
x
+2
y
f
yxy
(
x,y
)=4
e
x
+2
y
f
yyx
(
x,y
)=4
e
x
+2
y
f
yyy
(
x,y
)=8
e
x
+2
y
•
d
3
f
(
x
c
,y
c
)(
x,y
)=
e
x
c
+2
y
c
x
3
+6
e
x
c
+2
y
c
x
2
y
+12
e
x
c
+2
y
c
xy
2
+8
e
x
c
+2
y
c
y
3
ZatemwzórMaclaurinazreszt¡
R
3
dlafunkcji
f
(
x,y
)=
e
x
+2
y
przyjmieposta¢:
e
x
+2
y
=1+
x
+2
y
+
1
2
x
2
+2
xy
+2
y
2
+
1
6
e
x
c
+2
y
c
x
3
+
e
x
c
+2
y
c
x
2
y
+2
e
x
c
+2
y
c
xy
2
+
4
3
e
x
c
+2
y
c
y
3
.
Plik z chomika:
Dawcio250
Inne pliki z tego folderu:
12.2 - Całka podwójna.pdf
(85 KB)
02.4 - Przebieg zmienności funkcji.pdf
(100 KB)
02.3 - Twierdzenie de L'Hospitala.pdf
(92 KB)
02.2 - Twierdzenie Tolle'a i Lagrange'a.pdf
(90 KB)
01.0 - Granice i ciągłość funkcji.pdf
(111 KB)
Inne foldery tego chomika:
Eligiusz Mieloszyk - Liczby Zespolone
Eligiusz Mieloszyk - Macierze, wyznaczniki i układy równań
liczby zespolone
Wykłady - Matematyka podstawowa (gikpra)
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin