4. Teoria stanu naprężenia.pdf

Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu napr ħŇ enia.

4. TEORIA STANU NAPR Ħņ ENIA

4.1. Definicja napr ħŇ enia

W poprzednim rozdziale zdefiniowali Ļ my sił ħ wewn ħ trzn Ģ w danym punkcie i przekroju.

Stwierdzili Ļ my te Ň , Ň e dokonuj Ģ c podziału bryły na dwie cz ħĻ ci mo Ň emy analizowa ę

zachowanie si ħ tylko jednej cz ħĻ ci pod warunkiem, Ň e do ka Ň dego punktu przekroju

przyło Ň ymy sił ħ wewn ħ trznych z jak Ģ oddziałuj Ģ na niego wszystkie punkty odrzuconej

cz ħĻ ci. Siły te tworz Ģ w przekroju niesko ı czony układ sił wewn ħ trznych, który jest bardzo

wa Ň ny w analizie zachowania si ħ konstrukcji i b ħ dzie przedmiotem szczegółowych rozwa Ň a ı

w toku dalszych wykładów.

Aby móc dokonywa ę analizy układu sił wewn ħ trznych nale Ň y precyzyjnie zdefiniowa ę ich

miar ħ któr Ģ nazwiemy napr ħŇ eniem.

W tym celu rozwa Ň my dowolny,

pokazany na rys. 4.1, przekrój bryły

płaszczyzn Ģ o wersorze normalnym v

przechodz Ģ c Ģ przez dowolny punkt C

o wektorze wodz Ģ cym r . Do ka Ň dego

punktu płaszczyzny przekroju

przyło Ň ona jest siła wewn ħ trzna.

Wydzielmy wokół punktu C element

powierzchni D A. Niech D oznacza

sum ħ sił wewn ħ trznych przyło Ň onych

do punktów powierzchni D A.

Rys. 4.1

Przyjmiemy definicj ħ :

napr ħŇ eniem w punkcie o wektorze wodz Ģ cym r na powierzchni przekroju o normalnej v

nazywamy wektor

li ®

(4.1)

D 0

Fizycznie napr ħŇ enie jest g ħ sto Ļ ci Ģ sił wewn ħ trznych i jak wida ę ze wzoru (4.1) w ogólno Ļ ci,

podobnie jak siła wewn ħ trzna, w bryle (konstrukcji) jest funkcj Ģ wektorow Ģ dwóch wektorów

, wektora wodz Ģ cego punktu r i wersora normalnego płaszczyzny przekroju v .

s +

W ogólno Ļ ci kierunek wektora napr ħŇ enia

jest dowolny w odniesieniu do płaszczyzny na

której wyst ħ puje. Mo Ň emy go rozło Ň y ę , jak

pokazuje rys. 4.2, na dwie składowe których

kierunki s Ģ normalne i styczne do przekroju

nazywaj Ģ c je odpowiednio napr ħŇ eniem

normalnym i stycznym. Tak wi ħ c napr ħŇ enie

normalne s to składowa napr ħŇ enia

prostopadła do płaszczyzny przekroju a

napr ħŇ enie styczne t to składowa napr ħŇ enia

styczna do płaszczyzny przekroju.

Rys. 4.2

Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu napr ħŇ enia.

4.2. Stan napr ħŇ enia w punkcie

Stan napr ħŇ enia w punkcie to niesko ı czony zbiór wektorów napr ħŇ e ı przyporz Ģ dkowanych

wszystkim płaszczyznom przeci ħ cia bryły, przechodz Ģ cych przez ten punkt.

Mówimy, Ň e znamy stan napr ħŇ enia w bryle je Ļ li znamy stan napr ħŇ enia w ka Ň dym jej

punkcie.

Rozró Ň niamy trzy rodzaje stanów napr ħŇ enia w punkcie: jednoosiowy, płaski i przestrzenny.

Jednoosiowy stan napr ħŇ enia wyst ħ puje wówczas, gdy wektory napr ħŇ e ı przyporz Ģ dkowane

dowolnym płaszczyznom ci ħ cia bryły w danym punkcie maj Ģ ten sam kierunek.

Płaski stan napr ħŇ enia wyst ħ puje wówczas, gdy wektory napr ħŇ e ı przyporz Ģ dkowane

dowolnym płaszczyznom ci ħ cia bryły w danym punkcie le ŇĢ w jednej płaszczy Ņ nie

(płaszczy Ņ nie stanu napr ħŇ enia).

Przestrzenny stan napr ħŇ enia wyst ħ puje wówczas, gdy wektory napr ħŇ e ı przyporz Ģ dkowne

dowolnym płaszczyznom ci ħ cia bryły w danym punkcie s Ģ w ogólno Ļ ci ró Ň ne (maj Ģ ró Ň ne

długo Ļ ci, kierunki i zwroty).

Ka Ň dy z tych charakterystycznych stanów napr ħŇ enia w punkcie, w całej bryle mo Ň e by ę

jednorodny lub niejednorodny. Jednorodny jest wówczas gdy nie zale Ň y od wyboru punktu.

Z definicji stanu napr ħŇ enia w punkcie jest zrozumiałe, Ň e jego znajomo Ļę jest nieodzowna

przy analizie tego co si ħ dzieje w danym punkcie ciała poddanego działaniu układu sił

zewn ħ trznych. To oznacza, Ň e musimy zna ę wektory napr ħŇ e ı na ka Ň dej dowolnej

płaszczy Ņ nie ci ħ cia bryły w danym punkcie a przy analizie zachowania si ħ konstrukcji w

ka Ň dym jej punkcie.

4.3. Macierz napr ħŇ e ı . Graficzny obraz macierzy napr ħŇ e ı

Dokonajmy przekroju rozwa Ň anej bryły w dowolnie wybranym punkcie C trzema

płaszczyznami prostopadłymi do osi układu ( X, Y, Z ). Wektory napr ħŇ e ı przyporz Ģ dkowane

tym płaszczyznom ci ħ cia oznaczymy, odpowiednio, przez

(rys. 4.3).

Rys. 4.3

Ka Ň dy z tych wektorów napr ħŇ e ı mo Ň emy rozło Ň y ę na trzy składowe równoległe do osi

układu. Jak łatwo zauwa Ň y ę , zawsze jedna z tych składowych b ħ dzie normalna do

płaszczyzny przeci ħ cia a dwie pozostałe b ħ d Ģ do niej styczne. Zgodnie z rys. 4.3 mo Ň emy

zapisa ę :

(4.2)

Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu napr ħŇ enia.

, oznacza ę b ħ dziemy podobnie jak ich składowe,

opuszczaj Ģ c jedynie nadkre Ļ lenie i zapiszemy je w formie macierzy T nazywanej macierz Ģ

napr ħŇ e ı :

(4.3)

Mo Ň emy wi ħ c powiedzie ę , Ň e:

macierz napr ħŇ e ı w punkcie to uporz Ģ dkowany zbiór współrz ħ dnych trzech wektorów

napr ħŇ e ı na płaszczyznach prostopadłych do osi układu współrz ħ dnych.

Uporz Ģ dkowany w ten sposób, Ň e wiersze przedstawiaj Ģ kolejne współrz ħ dne, kolejnych

wektorów napr ħŇ e ı . W wyniku takiego uporz Ģ dkowania na przek Ģ tnej macierzy znajduj Ģ si ħ

napr ħŇ enia normalne a poza przek Ģ tn Ģ napr ħŇ enia styczne. Jasna jest te Ň wymowa indeksów

przy napr ħŇ eniach. Indeks przy napr ħŇ eniu normalnym pokazuje płaszczyzn ħ na której ono

wyst ħ puje i do której jest ono prostopadłe, czyli o Ļ układu do której to napr ħŇ enie jest

równoległe. Indeksy przy napr ħŇ eniu stycznym pokazuj Ģ : pierwszy płaszczyzn ħ na której ono

wyst ħ puje, a drugi o Ļ układu do której to napr ħŇ enie jest równoległe.

Zatem np.

s to napr ħŇ enie normalne na płaszczy Ņ nie prostopadłej do osi Z , a

y t to

napr ħŇ enie styczne na płaszczy Ņ nie prostopadłej do osi Y i równoległe do osi X .

Powszechnie jest stosowana i co wa Ň niejsze jest wygodna szczególna umowa znakowania

elementów macierzy napr ħŇ e ı (czyli współrz ħ dnych wektorów napr ħŇ e ı na płaszczyznach

prostopadłych do osi układu).

Za dodatnie, w macierzy napr ħŇ e ı , uwa Ň amy współrz ħ dne takich składowych, które maj Ģ :

• zwrot zgodny ze zwrotem osi do której s Ģ równoległe

• i zwrot normalnej zewn ħ trznej płaszczyzny na której one wyst ħ puj Ģ tak Ň e zgodny ze

zwrotem osi układu do której ta normalna jest równoległa

lub je Ļ li zarówno składowa jak i normalna maj Ģ zwroty przeciwne do odpowiednich osi, do

których s Ģ równoległe.

Jest tzw. reguła podwójnej zgodno Ļ ci. W ka Ň dym innym przypadku współrz ħ dna jest ujemna.

Zgodnie z przyj ħ t Ģ umow Ģ napr ħŇ enie normalne jest dodatnie je Ļ li jest rozci Ģ gaj Ģ ce, a ujemne

je Ļ li jest Ļ ciskaj Ģ ce.

Nale Ň y powiedzie ę , Ň e macierz napr ħŇ e ı w punkcie to zbiór liczb. Gdyby Ļ my rozszerzyli to

poj ħ cie na cał Ģ obj ħ to Ļę bryły to miejsce liczb zajm Ģ funkcje współrz ħ dnych wektora

wodz Ģ cego dowolnego punktu obszaru bryły.

Jak si ħ wkrótce przekonamy macierz napr ħŇ e ı w punkcie b ħ dzie podstaw Ģ okre Ļ lenia w nim

stanu napr ħŇ enia.

Dla lepszego zrozumienia oraz utrwalenia przyj ħ tych definicji i umów znakowania

elementów macierzy napr ħŇ e ı przedstawimy jej graficzn Ģ interpretacj ħ .

We Ņ my obci ĢŇ one, pozostaj Ģ ce w równowadze ciało i wybierzmy w nim dowolny punkt

materialny C (rys. 4.4).

B ħ dziemy go modelowa ę za pomoc Ģ dowolnie małego sze Ļ cianu, którego Ļ cianki s Ģ

równoległe do płaszczyzn układu odniesienia.

Współrz ħ dne wektorów napr ħŇ e ı

Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu napr ħŇ enia.

Rys. 4.4

Ten punkt materialny mo Ň emy wyj Ģ c z rozwa Ň anej bryły pod warunkiem, Ň e przyło Ň ymy do

niego wszystkie siły z jakimi pozostałe punkty ciała działaj Ģ na niego. Wielko Ļ ci tych sił

otrzymamy mno ŇĢ c elementy macierzy napr ħŇ e ı pokazane na rys. 4.4 przez powierzchnie

odpowiednich Ļ cianek sze Ļ cianu. Tak wi ħ c pokazany na rys. 4.4 sze Ļ cian pokazuje graficzny

obraz macierzy napr ħŇ e ı (wszystkie narysowane na nim składowe macierzy napr ħŇ e ı s Ģ

dodatnie) i równocze Ļ nie siły z jakimi wszystkie punkty bryły działaj Ģ na punkt C .

Z zało Ň enia o równowadze rozwa Ň nej bryły wynika równowaga sił wewn ħ trznych

działaj Ģ cych na punkt C .

Rozpisuj Ģ c warunki równowagi tych sił otrzymamy zale Ň no Ļ ci:

• z warunków zerowania si ħ momentów sił wzgl ħ dem osi układu

(4.4)

• z warunków zerowania si ħ rzutów sił na osie układu

(4.5)

gdzie:

współrz ħ dne siły masowej.

Równania (4.4) dowodz Ģ , Ň e macierz napr ħŇ e ı jest symetryczna, a równania ró Ň niczkowe

(4.5) stanowi Ģ warunki konieczne które winny spełnia ę funkcje trzech zmiennych aby móc

by ę elementami macierzy napr ħŇ e ı . Równania ró Ň niczkowe (4.5) nosz Ģ nazw ħ równa ı

równowagi wewn ħ trznej lub równa ı Naviera i musz Ģ by ę stowarzyszone ze statycznymi

Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Teoria stanu napr ħŇ enia.

warunkami brzegowymi wi ĢŇĢ cymi obci ĢŇ enie brzegu bryły z elementami macierzy

napr ħŇ e ı .

4.4. Współrz ħ dne wektora napr ħŇ enia na dowolnej płaszczy Ņ nie. Tensor napr ħŇ e ı

Wytnijmy z wn ħ trza bryły, b ħ d Ģ cej w równowadze, niesko ı czenie mały czworo Ļ cian wokół

dowolnego punktu C , którego trzy Ļ ciany b ħ d Ģ równoległe do płaszczyzn układu odniesienia

a czwarta b ħ dzie równoległa do dowolnej płaszczyzny o wersorze normalnym (

)

na tej czwartej dowolnej płaszczy Ņ nie (rys. 4.5).

(

)

Rys. 4.5

Oznaczmy pola Ļ cianek czworo Ļ cianu odpowiednio prostopadłych do osi układu odniesienia

przez:

a pole czwartej przez

D Poniewa Ň współrz ħ dne wersora

normalnego

czwartej

dowolnie

nachylonej Ļ cianki

czworo Ļ cianu

cos

( )

cos

( )

cos

( )

to mi ħ dzy polami powierzchni Ļ cianek czworo Ļ cianu

zachodz Ģ zale Ň no Ļ ci:

, .

Tilda „~” nad napr ħŇ eniami na rys. 4.5 oznacza Ļ redni Ģ warto Ļę napr ħŇ e ı na powierzchni

Ļ cianki czworo Ļ cianu.

Warunki równowagi sił działaj Ģ cych na wyci ħ ty czworo Ļ cian daj Ģ równania:

Po wykonaniu przej Ļ cia granicznego z bokami czworo Ļ cianu do zera z zachowaniem

nachylenia czwartej Ļ cianki w powy Ň szych równaniach w miejsce Ļ rednich warto Ļ ci

współrz ħ dnych napr ħŇ e ı otrzymujemy warto Ļ ci w rozwa Ň anym punkcie i po wykorzystaniu

symetrii macierzy napr ħŇ e ı otrzymujemy zale Ň no Ļ ci wi ĢŇĢ ce jej współrz ħ dne ze

współrz ħ dnymi wektora napr ħŇ enia:

, .

Zakładaj Ģ c, Ň e znamy macierz napr ħŇ e ı w tym punkcie b ħ dziemy chcieli wyznaczy ę wektor

napr ħŇ enia (

(

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: