8. Energia sprężysta.pdf

(60 KB) Pobierz
Microsoft Word - 08ene.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Energia spr ħŇ ysta
8. ENERGIA SPR Ħņ YSTA
8.1. Podstawowe poj ħ cia
L = .
Powy Ň sza równo Ļę wynika z I prawa termodynamiki dla procesów adiabatycznych, tzn.
takich przy których nie ma wymiany ciepła z otoczeniem albo, inaczej, takich, Ň e nie zachodzi
dyssypacja energii układu, co jest charakterystyczn Ģ cech Ģ układu spr ħŇ ystego.
Mo Ň na dowie Ļę , Ň e w przypadku ciała spr ħŇ ystego i obci ĢŇ e ı statycznych energia
wewn ħ trzna układu jest równa energii potencjalnej W p , która równa si ħ pracy sił
wewn ħ trznych na odkształceniach przez nie wywołanych i nazywana jest energi Ģ spr ħŇ yst Ģ
układu U :
L
=
W
=
W
p =
U
.
Zatem:
energia spr ħŇ ysta U to praca sił wewn ħ trznych na odkształceniach przez nie
wywołanych.
Energia ta jest odwracalna, co znaczy, Ň e po usuni ħ ciu sił obci ĢŇ aj Ģ cych zu Ň ywa si ħ na
odzyskanie pocz Ģ tkowej konfiguracji ciała i w nie napr ħŇ onym i nie odkształconym stanie
układu jest równa zeru .
G ħ sto Ļ ci Ģ energii spr ħŇ ystej F lub, inaczej, energi Ģ spr ħŇ yst Ģ wła Ļ ciw Ģ nazywamy ilo Ļę
energii spr ħŇ ystej na jednostk ħ obj ħ to Ļ ci ciała. St Ģ d:
U
=
ÐÐÐ
F ,
dV
(8.1)
V
gdzie: V jest obj ħ to Ļ ci Ģ ciała.
Dalej dla prostoty wzorów, łatwo Ļ ci wyprowadze ı i zapisów, wprowadzimy wska Ņ nikowy
zapis napr ħŇ e ı i odkształce ı . Jego istot ħ pokazuj Ģ macierze napr ħŇ e ı i odkształce ı ni Ň ej
zapisane w zapisie klasycznym i wska Ņ nikowym:
układ współrz ħ dnych ( X, Y, Z )
układ współrz ħ dnych ( X 1 , X 2 , X 3 )
Ä
s
x
t
xy
t
xz
Ô
Ä
s
11
s
12
s
13
Ô
T
=
Å
t
s
t
Õ
,
T
=
s
s
s
,
Å
Õ
s
Å
yx
y
yz
Õ
21
22
23
Å
Õ
Æ
t
zx
t
zy
s
z
Ö
Æ
s
31
s
32
s
33
Ö
Ä
e
1
g
1
g
Ô
Ä
e
e
e
Ô
Å
x
2
xy
2
xz
Õ
Å
11
12
13
Õ
T
=
Å
1
g
e
1
g
Õ
,
T
=
Å
e
e
e
Õ
.
e
2
yx
y
2
yz
21
22
23
Å
Õ
Å
Õ
Æ
1
g
1
g
e
Ö
Æ
e
e
e
Ö
2
zx
2
zy
z
31
32
33
67
Ka Ň de ciało rzeczywiste pod działaniem sił zewn ħ trznych doznaje deformacji, na których siły
obci ĢŇ aj Ģ ce wykonuj Ģ pewn Ģ prac ħ L . Praca ta w przypadku adiabatycznego procesu
termodynamicznego jest niezale Ň na od sposobu jej wykonania i równa si ħ energii
wewn ħ trznej układu W , tj. funkcji, której przyrost w czasie D jest równy pracy
dostarczonej układowi w tym czasie:
W
Å
Õ
Å
Õ
88670261.007.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Energia spr ħŇ ysta
Obliczmy ile wynosi F dla ciała o obj ħ to Ļ ci V znajduj Ģ cego si ħ w równowadze pod
działaniem pewnego układu sił zewn ħ trznych. W wyniku obci ĢŇ enia w ka Ň dym punkcie tego
ciała powstaj Ģ stany napr ħŇ enia i odkształcenia charakteryzowane poprzez macierze T i
T .
Wyznaczmy wpierw dowolnie mały przyrost g ħ sto Ļ ci energii spr ħŇ ystej na dowolnie małych
przyrostach odkształce ı :
d
F
=
s
11
d
e
11
+
s
12
d
e
12
+
...
+
s
33
d
e
33
=
s
ij
d
e
ij
.
(8.2)
W równaniu (8.2) zastosowana została umowa sumacyjna Einsteina, która mówi, Ň e:
je Ň eli w wyra Ň eniu wska Ņ nikowym b ħ d Ģ cym jednomianem wska Ņ niki powtarzaj Ģ si ħ , to
nale Ň y dokona ę sumowania po powtarzaj Ģ cych si ħ wska Ņ nikach do odpowiedniej
wymiarowo Ļ ci obiektu. I tak np.:
a i
i
b
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
;
e
ii
=
e
11
+
e
+
e
33
, i = 1, 2, 3 .
Równanie (8.2) mo Ň na, wykorzystuj Ģ c poj ħ cie iloczynu skalarnego (poprawniej mówi Ģ c
iloczynu diadycznego ze zw ħŇ eniem) tensorów, zapisa ę w bardzo prostej formie:
d =
F
T
s
dT
e
(8.3)
Iloczyn skalarny tensorów otrzymujemy dodaj Ģ c do siebie iloczyny jednoimiennych
elementów.
Pozwala to zapisa ę g ħ sto Ļę energii spr ħŇ ystej F w postaci:
T
e
F
=
Ð
T
s
dT
e
(8.4)
0
15.2. Energia spr ħŇ ysta ciała Hooke’a
Dla ciała liniowo spr ħŇ ystego zwi Ģ zek fizyczny mo Ň emy zapisa ę w formie:
T =
s
D
T
e
(8.5)
gdzie: D – macierz (tensor) współczynników materiałowych.
Po podstawieniu (8.5) do (8.4) i wykonaniu całkowania otrzymujemy:
T
e
1
1
F
= Ð
D
T
dT
=
D
T
2
=
T
T
(8.6)
e
e
e
s
e
2
2
0
Wzór (8.6) zapiszemy w innej postaci po dokonaniu rozkładu macierzy (tensorów) napr ħŇ e ı i
odkształce ı na sum ħ odpowiednich aksjatorów i dewiatorów.
T
s
=
A
s
+
D
s
i
T
e
=
A
e
+
D
e
(8.7)
Przypomnimy, Ň e zwi Ģ zki fizyczne mi ħ dzy aksjatorami i dewiatorami napr ħŇ e ı i odkształce ı
(wyprowadzili Ļ my je formułuj Ģ c III posta ę prawa Hooke’a) mo Ň na zapisa ę w formie zwykle
nazywanej prawem zmiany obj ħ to Ļ ci i prawem zmiany postaci:
A
s
=
3
K
A
e
oraz
D
s
=
2
GD
e
(8.8)
68
22
88670261.008.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Energia spr ħŇ ysta
gdzie:
3
K
=
E
oraz
2
G
= 1
E
to stałe materiałowe.
1
−
2
+
n
Korzystaj Ģ c ze wzorów (8.7) otrzymujemy:
F
=
1
(
A
+
D
) (
A
+
D
)
=
1
A
A
+
1
D
D
(8.9)
2
s
s
e
e
2
s
e
2
s
e
gdy Ň z bardzo łatwej analizy rachunkowej wynika, Ň e :
A
s D
e
=
0
oraz
D
s A
e
=
0
.
Mo Ň emy zatem powiedzie ę , Ň e g ħ sto Ļę energii spr ħŇ ystej stanowi sum ħ
F
=
F
V F
+
f
,
(8.10)
gdzie:
F
=
1
A
A
- g ħ sto Ļę energii spr ħŇ ystej zwi Ģ zanej ze zmian Ģ obj ħ to Ļ ci,
(8.11)
V
2
s
e
F
=
1
D
D
- g ħ sto Ļę energii spr ħŇ ystej zwi Ģ zanej ze zmian Ģ postaci.
(8.12)
f
2
s
e
I analogicznie, energia spr ħŇ ysta układu stanowi sum ħ :
U
=
U
V
+
U
f
,
(8.13)
gdzie:
U
V Ð
= F
V
dV
,
(8.14)
V
jest energi Ģ odkształcenia obj ħ to Ļ ciowego i przedstawia prac ħ sił zewn ħ trznych zu Ň yt Ģ na
zmian ħ jego obj ħ to Ļ ci, a
U
f Ð
= F
f
dV
,
(8.15)
V
jest energi Ģ odkształcenia postaciowego i przedstawia prac ħ sił zewn ħ trznych zu Ň yt Ģ na
zmian ħ postaci układu.
Wzory na odpowiednie g ħ sto Ļ ci energii spr ħŇ ystej, wyra Ň one przez elementy macierzy
napr ħŇ e ı maj Ģ posta ę :
F n
=
1
−
2
n
(
s
+
s
+
s
) 2
(8.16)
x
y
z
6
E
F
=
1
+
n
[
(
s
−
s
) (
2
+
s
−
s
) (
2
+
s
−
s
) (
2
+
6
t
2
+
t
+
t
2
)
]
(8.17)
f
x
y
y
z
z
x
xy
yz
zx
6
E
F
=
1
[
s
2
+
s
2
+
s
2
−
2
n
(
s
s
+
s
s
+
s
s
) ( ) (
+
2
1
+
n
t
2
+
t
2
+
t
2
)
]
.
(8.18)
x
y
z
x
y
y
z
z
x
xy
yz
zx
2
E
Łatwo mo Ň na stwierdzi ę , Ň e pochodne g ħ sto Ļ ci energii spr ħŇ ystej po elementach macierzy
napr ħŇ e ı równaj Ģ si ħ odpowiednim elementom macierzy odkształce ı .
Wyznaczymy przykładowo:
69
2
88670261.009.png 88670261.010.png 88670261.001.png 88670261.002.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Energia spr ħŇ ysta
F
=
1
[
2
s
−
2
n
(
s
−
s
]
=
1
s
−
n
(
s
−
s
)
] x
=
e
,
s
2
E
x
y
z
E
x
y
z
x
=
1
[
4
( )
1
+
n
t
]
=
2
( )
1
+
n
t
=
t
xy
=
g
.
t
2
E
xy
E
xy
G
xy
x
Jest rzecz Ģ oczywist Ģ , Ň e korzystaj Ģ c ze zwi Ģ zków fizycznych Hooke’a, mo Ň emy wyrazi ę
g ħ sto Ļ ci energii spr ħŇ ystej tylko poprzez elementy macierzy odkształce ı . Wówczas pochodne
F po elementach macierzy odkształce ı s Ģ równe odpowiednim elementom macierzy
napr ħŇ e ı .
70
)
[
88670261.003.png 88670261.004.png 88670261.005.png 88670261.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin