Wykład_Nr9_skrypt.pdf

(107 KB) Pobierz
(Microsoft Word - Wyk\263ad_Nr9_skrypt_v2.doc)
WYKŁAD Nr 9 skrypt
MODELOWANIE
SFORMUŁOWANIE LOKALNE I GLOBALNE
Sformułowanie lokalne na przykładzie problemu zginania belki prostej
p y (x)
b
h
x 0
x L
x
M
z
J z , E
M
x
T
T
y
L
x
y, v(x)
Rys.9.3. Schemat belki wspornikowej
gdzie:
p v (x) - obciąŜenie ciągłe (prostopadłe do osi belki),
v(x) - przemieszczenie pionowe belki w kierunku osi y (ugięcie belki),
K (x) odkształcenie krzywizna osi belki,
J=J z =bh 3 /12 - moment bezwładności przekroju poprzecznego belki,
E moduł Younga,
T(x), M(x) uogólnione siły przekrojowe: siła poprzeczna i moment zginający.
Zagadnienie brzegowe zginania belki prostej:
a) układ czterech równań:
¨ równanie fizyczne
M k
( x
x
)
=
EJ
(
)
(9.1)
¨ równanie kinematyczne
d
2
v
(
x
)
k
(
x −
)
=
,
(9.2)
dx
2
¨ dwóch równań równowagi
dT
(
x
)
=
−
p
(
x
)
,
dM
(
x
)
= ;
(
x
)
(9.3)
dx
y
dx
b) równanie róŜniczkowe drugiego rzędu:
d
2
v
( )
x
M
( )
EJ
x
=
−
(9.4)
dx
2
c) przemieszczeniowe równanie róŜniczkowe:
d
4
v
( )
x
( )
EJ
=
p
x
,
(9.5)
dx
4
y
1
T
116470460.001.png
Warunki brzegowe :
¨ dla x 0 = 0:
v oraz ( ) ( ) 0
( ) 0
x
0
=
j
x
0
= x
v
' 0
=
(9.6)
¨ dla x L = L
M
( )
x
L
= k
EJ
( )
x
L
=
−
EJv
' =
'
( ) M
x
L
ˆ
,
(9.7)
oraz
T
( )
x
L
=
M
'
( )
x
L
=
−
EJv
'
'
'
( ) P
x
L
=
ˆ
d
2
n
bowiem z (9.2):
k
(
x
)
=
−
⇒
k
(
x
)
=
−
n
'
'
(
x
)
; z (9.1):
M k
( x
x
)
=
EJ
(
)
L
dx
2
L
L
Sformułowanie globalne na przykładzie problemu zginania belki prostej
Całkowita energia potencjalna zginanej belki p[v(x)]:
p
=
U −
W
(9.8)
gdzie:
U sumą energii spręŜystej zginania
1
L
1
L
1
L
( )
U
=
∫
M
k
dx
=
∫
EJ
k
2
dx
=
∫
EJ
v
'
'
2
dx
(9.9)
2
2
2
0
0
0
− W potencjał obciąŜenia:
L
(
) (
)
W
= ∫
p
y
v
dx
+
T
L
v
L
−
M
L
j
L
+
−
T
0
v
0
+
M
0
j
0
(9.10)
0
Warunek minimum całkowitej energii potencjalnej:
dp
=
0
(9.11)
Obliczenie wariacji dU i dW:
L
L
(
)
L
d
U
=
∫
EJv
'
d
v
'
'
dx
=
EJ
v
'
'
d
v
'
−
∫
EJv
'
'
'
d
v
'
dx
=
0
0
0
,
(9.12)
L
(
)
L
(
)
L
=
EJ
v
'
'
d
v
'
−
EJ
v
'
'
'
d
v
+
∫
EJv
iv
d
vdx
0
0
0
L
d
=
∫
p
y
d
vdx
+
(
T
L
d
v
−
M
L
dj
) (
+
−
T
0
d
v
+
M
0
dj
)
.
(9.13)
0
2
'
W
116470460.002.png
Równanie dla dowolnej wariacji funkcji ugięcia w dowolnym miejscu na długości belki
oraz na jej brzegach:
L
(
)
(
)
L
(
)
L
∫
EJv
iv
−
p
d
vdx
+
EJv
'
+
M
d
v
'
+
−
EJv
'
'
−
T
d
v
=
0
(9.14)
y
0
0
0
RÓWNANIA EULERA:
¨ przemieszczeniowe równanie róŜniczkowe
EJv = ,
iv
p
(9.15)
y
¨ warunki brzegowe statyczne (naturalne)
−
d
2
v
d
EJ
dM
d
(
EJ
k
x
)
)
dx
2
d
3
v
d
3
v
T
=
dT
⇒
=
T
⇒
=
T
⇒
−
EJ
=
T
⇒
=
−
dx
dx
dx
dx
3
dx
3
EJ
=> EJ
v i
'
=
−
M
ˆ
/
, EJ
v i
i /
'
'
'
=
−
T
ˆ
.
(9.16)
i
dp
= 0
⇒
d
U d
=
W
;
W
d
L z
w
=
d
L
⇒
d
U
=
d
.
LITERATURA:
[1] Radwańska M.: Metody komputerowe w wybranych zagadnieniach konstrukcji.
Politechnika Krakowska, Kraków 2004.
[2] Cichoń Cz.: Metody obliczeniowe. Wybrane zagadnienia. Politechnika
Świętokrzyska. Kielce 2005.
3
'
'
116470460.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin