Problem 3

Ocena poziomu jakości  wykonania

W literaturze przedmiotu, w normach międzynarodowych i krajowych, a także w praktyce, podstawowa rolę odgrywają dwie miary jakości wykonania, a mianowicie

·         wadliwość, oraz

·         przeciętna liczba wad w jednostce produktu.

Każda z tych miar może być miarą cząstkową, albo agregatową. Z miarą cząstkową mamy do czynienia wówczas, gdy jakość produktu oceniana jest ze względu na pojedynczą cechę. Jeśli natomiast oceniamy jakość produktu ze względu na pewien zbiór (agregat) cech traktowanych łącznie, to mamy do czynienia z miarą agregatową.

Wadliwość może być miarą jakości wykonania tylko wówczas, gdy każdą jednostkę produktu można zakwalifikować do jednej z dwóch kategorii, a mianowicie do

·         kategorii jednostek spełniających stawiane wymagania, albo do

·         kategorii jednostek nie spełniających tych wymagań.

Wadliwość jest oznaczana zwykle symbolem p. W odniesieniu do wadliwości cząstkowej często jest stosowany symbol p(X), dla podkreślenia, że chodzi o ocenę jakości produktu, albo procesu, ze względu na zmienną diagnostyczną X. Symbol p(X) odczytujemy następująco: „wadliwość ze względu na zmienną diagnostyczną X”.

Jeśli zmienną X chcemy wykorzystać jako zmienna diagnostyczną w procesie oceny jakości wykonania, to musimy zdefiniować zbiór wartości (X0) tej zmiennej, a następnie musimy rozciąć ten zbiór na podzbiór wartości pożądanych (X+) oraz podzbiór wartości niepożądanych (X-).

W zarządzaniu jakością podstawową rolę odgrywają dwa typy zmiennych diagnostycznych, a mianowicie

·         zmienne zero – jedynkowe, stosowane w przypadku alternatywnej oceny właściwości produktu albo stanu procesu, oraz

·         ciągłe zmienne diagnostyczne, wykorzystywane wówczas, gdy stosuje się tak zwaną liczbową ocenę właściwości produktu albo stanu procesu.

Zero – jedynkowe zmienne diagnostyczne definiowane są następująco:

                   (4.1)

Mamy tu więc:

                                     , ,

Proces definiowania ciągłej zmiennej pokażemy na przykładzie.

Przykład 4.1

Jakość dżemu owocowego oceniana jest – między innymi – ze względu na zawartość cukru. Cukier poprawia walory smakowe dżemu a jednocześnie pełni rolę środka konserwującego. Odpowiednią zmienną diagnostyczną możemy więc zdefiniować następująco: X – procentowa zawartość cukru w dżemie. Zmienna ta może przyjmować wartości z przedziału . Ustalono, że każdy słoik dżemu powinien zawierać x0 = 10% cukru, a dopuszczalne odchylenia od tej wartości ustalono na poziomie ±2%. Zbiór pożądanych wartości ma więc postać przedziału . Zbiór wartości niepożądanych składa się natomiast z dwóch przedziałów i ma postać .

W przypadku ciągłych zmiennych diagnostycznych zbiory pożądanych wartości () przyjmują postać tak zwanych technicznych przedziałów tolerancji. W powyższym przykładzie obserwowana zmienna diagnostyczna jest nominantą jakości i w konsekwencji mamy do czynienia z dwustronnie ograniczonym przedziałem tolerancji ogólnej postaci

                                                                                                   (4.2)

gdzie xd jest ograniczeniem lewostronnym (czyli ograniczeniem od dołu), natomiast xg oznacza ograniczenie od góry, czyli ograniczenie prawostronne.

Jeśli obserwowana zmienna diagnostyczna jest destymulantą jakości, to przedział tolerancji ograniczony jest tylko od góry przez wartość

                                                                                                    (4.3)

Jeśli natomiast mamy do czynienia ze zmienną diagnostyczną o charakterze stymulanty jakości, to przedział tolerancji ograniczony jest tylko od dołu przez wartość xd

                                                                                                     (4.4)

Występujące we wzorach (4.3) i (4.4) ograniczenia a i b nie mają związku z oceną jakości produktu. Są to ograniczenia związane najczęściej z zastosowaną skalą pomiarową. W przypadku skali procentowej (jak w powyższym przykładzie 4.1) a = 0, natomiast b = 100.

Wadliwość cząstkową możemy definiować jako prawdopodobieństwo lub jako frakcję. Jeśli istnieją powody by miarę tę definiować jako prawdopodobieństwo, to wówczas

                                                                                        (4.5)

Jest to więc prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego na tym, że losowo wybrana jednostka produktu (na przykład słoik dżemu) nie spełni wymagań jakościowych. Jeśli wadliwość chcemy (albo musimy) definiować jako frakcję to wówczas

                                                                                        (4.6)

gdzie N jest ogólną ilością jednostek produktu, natomiast N(xÎ) oznacza ilość jednostek produktu nie spełniających wymagań jakościowych ze względu na zmienną  diagnostyczną X.

Niezależnie od tego, którą z tych definicji  stosujemy w konkretnym przypadku, wadliwość przyjmuje wartości z przedziału [0; 1]. Frakcja zdefiniowana wzorem (4.3) może być oczywiście wyrażana w procentach (po pomnożeniu przez 100) i wówczas przyjmuje ona wartości z przedziału [0; 100].

Przykład 4.2

W magazynie znajduje się partia produktu A o liczności N1 = 1000 jednostek. Wadliwość  tej partii wynosi p1 = 3%. Do magazynu dostarczono kolejną partię tego produktu o liczności N2 = 600 jednostek i o wadliwości p2 = 2%. Jaka jest wadliwość produktu po połączeniu obu partii?

Obliczamy ilość jednostek wadliwych (albo niezgodnych) w obu partiach produktu:

z1 = 0.03 ´ 1000 = 30,  z2 = 0.02 ´ 600 = 12

Obliczamy wadliwość po połączeniu obu partii:

Taki sam wynik uzyskamy oczywiście obliczając po prostu ważoną średnia arytmetyczną obu wadliwości procentowych:

Uzyskane wyniki należy interpretować jako frakcje. Jest to najbardziej naturalna interpretacja, albowiem mamy tu do czynienia z istniejącą już partią produktu.

Przykład 4.3

W celu oceny poziomu jakości wykonania pobierano kolejne próbki losowe ze strumienia produktu. Poddawano je badaniu, stosując alternatywną ocenę właściwości, a następnie zliczano wykryte jednostki niezgodne ze  specyfikacją właściwości wzorca typu produktu. Uzyskano następujące wyniki:

Łączna ilość zbadanych jednostek produktu równa jest sumie liczebności próbek losowych pobranych do badania. Mamy więc:

Ogólną ilość niezgodnych jednostek produktu wynika z następującego rachunku:

Na podstawie tych danych obliczamy oszacowanie wadliwości obserwowanego strumienia produktu:

Obliczoną wadliwość należy interpretować jako prawdopodobieństwo, albowiem dotyczy ona przyszłości. Należy mianowicie oczekiwać, że przeciętnie 4 na 100 wyprodukowanych jednostek wyrobu nie będzie wykazywać  pożądanej zgodności ze specyfikacja wzorca typu.

Znając poziom wadliwości produktu, albo procesu, można rozwiązywać różnego rodzaju problemy pojawiające się w procesie zarządzania jakością.

Przykład 4.4

Z połączonych partii produktu, o których mowa w przykładzie 4.2, pobrano losowo n = 5 jednostek i przekazano je klientowi. Jakie jest prawdopodobieństwo tego,  że klient nie znajdzie wśród nich żadnej jednostki wadliwej? Obliczoną w przykładzie 4.2 wadliwość p12 = 0.02625 potraktujemy obecnie jako prawdopodobieństwo. Do obliczeń wykorzystamy rozkład dwumianowy, który jest najwłaściwszym modelem formalnym rozważanego tu problemu. Mamy mianowicie

Tak więc, w około 88 przypadkach na 100, klient kupujący n = 5 jednostek produktu nie znajdzie wśród nich jednostek niezgodnych. Można więc założyć, że 88% nabywców będzie zadowolonych z zakupu, albowiem przystępując do transakcji zaakceptowali oni jakość typu, a kupione jednostki nie będą wykazywały odstępstw od wzorca typu produktu. Niezadowolonych będzie natomiast 12%, przy czym stopień owego niezadowolenia będzie różny. Skrajnie niezadowoleni byliby ci, w przypadku których wszystkie kupione jednostki produktu okazałyby się się niezgodne. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest jednak znikome:

Mamy więc do czynienia ze zdarzeniem praktycznie niemożliwym, mimo że formalnie prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest większe od zera.

Zadanie 4.1

Kontynuując ro...