funkcje dwóch zmoiennych wykład.pdf

(93 KB) Pobierz
MATWf2zmiennych.doc
14. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
14.1.
Podstawowe pojęcia
• Def.
Funkcją dwóch zmiennych x i y określoną w zbiorze
D nazywamy
R
2
przyporządkowanie każdej parze ( ) D
x ˛
dokładnie jednej liczby
z ˛ , co zapisujemy:
R
: .
x, y – zmienne niezależne (argumenty funkcji)
z – zmienna zależna (wartość funkcji)
( )
x
,
y
˛
D
z
=
f
( ) R
x
,
y
˛
PRZYKŁAD 46
Ze wzoru z=2x-3y+5 można obliczyć z dla dowolnej pary liczb (x,y) np. dla x=1, y=2: z=1.
• Def.
Dziedziną funkcji f nazywamy zbiór tych par (x,y) dla których wzór opisujący daną funkcję
ma sens liczbowy.
PRZYKŁAD 47
Określ i zilustruj w
R dziedzinę funkcji określonej wzorem:
f
( )
x
,
y
=
x
2
+
y
2
-
16
Wyrażenie
x
2
+ y
2
-
16
ma sens, gdy:
x
2
+ y
2
-
16
‡
0
, czyli
x
2
+ y
2
‡
16
. Dziedziną funkcji
jest więc zewnętrze koła o promieniu r=4 i środku (0,0) wraz z brzegiem:
( )
=
{
x
,
y
˛
R
2
:
x
2
+
y
2
‡
16
}
4
0
4
• Def.
Wykresem funkcji dwóch zmiennych
z
=
f
( )
x
,
y
nazywamy zbiór wszystkich punktów
= . (Na ogół jest więc to
pewna powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, którą znajdujemy przyporządkowując
określonym wartościom zmiennych x i y punkt P(x,y) na płaszczyźnie XY, a następnie punkt
R o tych samych współrzędnych x,y i o współrzędnej
R , dla których
z
f
( )
x
,
y
z
=
f
( )
x
,
y
).
Opracowała: K. Sokołowska
56
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
,
f
D
(x,y,z) w przestrzeni trójwymiarowej
285042900.013.png 285042900.014.png 285042900.015.png
z
z=f(x,y)
z R(x,y,z)
x
x
y
D
P(x,y)
y
14.2.
Granica i ciągłość funkcji
• Def.
Ciąg punktów płaszczyzny (
x ,
n
y
n
)
jest zbieżny do punktu (
x
0 , y
0
)
, gdy
x
n
,
x
0
n
¥
y
n
.
y
0
n
¥
• Def.
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie (
x
0 , y
0
)
, jeżeli dla każdego ciągu
punktów (
(
x ,
n
y
n
)
)
, takich, że (
x
n
,
y
n
) D
˛
, (
x
n
,
y
n
) (
„
x
0 ,
y
0
)
i zbieżnego do (
x
0 , y
0
)
,
odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (
f
x
n y
,
n
)
jest zbieżny do g, co zapisujemy:
(
lim
) (
)
f
(
x
n
,
y
n
) g
=
.
x n
n
,
x
0 ,
y
0
PRZYKŁAD 48
Obliczymy granicę:
lim
2
xy
=
-
2
x
-
y
x
1
y
• Def.
Funkcja
z
=
f
( )
x
,
y
jest ciągła w punkcie (
P
0 ,
x
y
0
) D
˛
jeżeli:
x
­ istnieje wartość funkcji w punkcie (
0 , y
0
)
x
­ granica jest równa wartości funkcji w punkcie (
0 , y
0
)
x
0 , y
0
)
,
co zapisujemy:
( ) (
lim
f
x
,
y
=
f
x
0 ,
y
0
)
x
x
0
y
y
0
PRZYKŁAD 49
Zbadajmy ciągłość funkcji ( )
f
x
,
y
=
xy
w punkcie
P
=
( )
2
.
x
-
y
0
lim
2
xy
=
-
2
, ( ) 2
f
1
2
=
-
, więc funkcja f jest ciągła w punkcie (1,2).
x
-
y
x
1
y
Opracowała: K. Sokołowska
57
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
­ ma granicę w punkcie (
1
285042900.016.png 285042900.001.png 285042900.002.png 285042900.003.png
14.3.
Pochodne cząstkowe
• Def.
Otoczeniem punktu (
P o promieniu R>0 nazywamy zbiór punktów
płaszczyzny, których współrzędne (x,y) spełniają nierówność (
0 , y
x
0
)
x
-
x
) (
2
+
y
-
y
)
2
<
R
2
i
0
0
oznaczamy (
Q ,
0
R
)
.
R
y
0
P
Q ,
0
(
R
)
x
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu (
x
0 , y
0
)
.
= jednej ze zmiennych przypiszemy konkretną wartość
liczbową, np. w miejsce y wstawimy liczbę
z
f
( )
x
,
y
y , to otrzymamy funkcję jednej zmiennej
z =
f
( )
x
, y
0
.
• Def.
Jeśli tak utworzona funkcja ma pochodną w punkcie x , tzn. jeżeli istnieje granica :
(
f
x
0
+
D
x
,
y
0
) (
-
f
x
0
,
y
0
)
,
D
x
0
D
x
to nazywamy ją pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji
z
=
f
( )
x
,
y
względem
zmiennej x w punkcie (
x
0 , y
0
)
i oznaczamy:
z
,
f
, f ¢ w punkcie (
x
0 , y
)
.
x
x
0
• Def.
Pochodną cząstkową funkcji
z
=
f
( )
x
,
y
względem zmiennej y w punkcie (
x
0 , y
0
)
definiujemy analogicznie:
(
f
x
0
,
y
0
+
D
y
) (
-
f
x
0
,
y
0
)
D
y
0
D
y
i oznaczamy:
z
,
f
, f ¢ w punkcie (
x
0 , y
)
.
y
y
0
14.4.
Interpretacja geometryczna pochodnej cząstkowej
• W interpretacji geometrycznej pochodna cząstkowa
f ¢ w punkcie (
x
0 , y
0
)
jest równa
tangensowi kąta między styczną do krzywej
z =
f
( )
, y
0
, a dodatnim kierunkiem osi
Opracowała: K. Sokołowska
58
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Jeżeli we wzorze
lim
lim
x
285042900.004.png 285042900.005.png
0X, tzn. równa tangensowi kąta miedzy styczną w punkcie (
x
0
,
y
0
,
z
0
)
, gdzie
z =
0
f
(
x
0
, y
0
)
, a osią równoległą do osi 0X przechodzącą przez punkt (
x
0
,
y
0
,
)
.
z
z=f(x,y)
z =
f
( )
x
, y
0
x
x
a
y
(
x
0 , y
)
y
0
14.5.
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
• Def.
Pochodne cząstkowe pochodnych:
f
,
f
nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu
x
y
drugiego i oznaczamy:
f
2
f
Ł
ł
=
=
f
¢
x
x
x
2
xx
pochodne cząstkowe jednorodne rzędu drugiego funkcji f(x,y)
f
2
f
Ł
ł
=
=
f
¢
y
y
y
2
yy
f
2
f
Ł
ł
=
=
f
¢
y
x
x
y
xy
pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego funkcji f(x,y)
f
2
f
Ł
ł
=
=
f
¢
x
y
y
x
yx
= ma w pewnym obszarze D ciągłe pochodne mieszane rzędu
drugiego, to pochodne te są sobie równe:
z
f
( )
x
,
y
2
f
=
2
f
x
y
y
x
w każdym punkcie ( ) D
x ˛
,
.
PRZYKŁAD 50
Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu dla funkcji:
( )
x
,
y
=
5
x
3
+
y
4
-
3
xy
+
4
xy
5
Opracowała: K. Sokołowska
59
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
• Tw. Schwarza
Jeżeli funkcja
f
285042900.006.png 285042900.007.png 285042900.008.png
f
=
15
x
2
-
3
y
+
4
y
5
,
f
=
4
y
3
-
3
x
+
20
xy
4
,
x
y
2
f
2
f
2
f
2
f
= x
30 ,
=
12
y +
2
80
xy
3
,
=
-
3
+
20
y
4
,
=
-
3
+
20
y
4
.
x
2
y
2
x
y
y
x
14.6.
Różniczka funkcji
Niech
z
=
f
( )
x
,
y
będzie określona w otoczeniu punktu (
x
0 , y
0
)
i różniczkowalna w tym
punkcie.
• Def.
Różniczką zupełną rzędu pierwszego funkcji f w punkcie (
x
0 , y
0
)
nazywamy wyrażenie
postaci:
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
dx
+
f
(
x
,
y
) dy
0
0
x
0
0
y
0
0
• Def.
Różniczką zupełną rzędu drugiego funkcji f w punkcie (
x
0 , y
0
)
nazywamy wyrażenie
postaci:
(
2
f
2
f
2
f
)
(
)
(
)
(
) dxdy
df
x
,
y
=
x
,
y
dx
2
+
x
,
y
dy
2
+
2
x
,
y
,
0
0
x
2
0
0
y
2
0
0
x
y
0
0
gdzie
dx =
2
dxdx
PRZYKŁAD 51
Wyznaczyć różniczkę zupełną drugiego rzędu dla funkcji: ( )
f
x
,
y
=
5
x
3
+
y
4
-
3
xy
+
4
xy
5
Ponieważ pochodne cząstkowe drugiego rzędu wynoszą:
2
f
2
f
2
f
2
f
= x
30 ,
=
12
y +
2
80
xy
3
,
=
-
3
+
20
y
4
,
=
-
3
+
20
y
4
.
x
2
y
2
x
y
y
x
+= .
Różniczka zupełna drugiego rzędu w punkcie (1,2) przyjmuje zaś postać:
( )
30
xdx
2
12
y
2
+
80
xy
3
dy
2
+
2
(
-
3
+
20
y
4
) dxdy
df
1
2
=
30
dx
2
+
688
dy
2
+
634
dxdy
14.7.
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Niech dana będzie funkcja
z
=
f
( )
x
,
y
określona w pewnym otoczeniu punktu (
P
0 , y
x
0
)
.
• Def.
Mówimy, że funkcja posiada w punkcie (
x
0 , y
0
)
maksimum (minimum) lokalne , jeżeli
istnieje otoczenie punktu (
x
0 , y
0
)
takie, że dla każdego punktu ( )
x , należącego do tego
y
f ‡
Maksima i minima lokalne łącznie nazywamy ekstremami lokalnymi.
• Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch
zmiennych:
x
,
y
£
f
x
0 ,
y
0
)
(
( ) (
x
,
y
f
x
0 ,
y
0
)
Opracowała: K. Sokołowska
60
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
df
Więc różniczka zupełna drugiego rzędu przyjmuje postać:
(
df
)
)
otoczenia spełniona jest nierówność:
( ) (
f
285042900.009.png 285042900.010.png 285042900.011.png 285042900.012.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin