Pochodne i calki_tablice.pdf

(194 KB) Pobierz
tablice.fm
POCHODNE FUNKCJI
STYCZNA DO WYKRESU FUNKCJI
Równanie stycznej
do wykresu funkcji
Dla funkcji f określonej w otoczeniu U ( x 0 , ) i różniczkowalnej w punkcie x 0
Równanie stycznej do wykresu funkcji
tg = f '( x 0 )
y – f ( x 0 ) = f '( x 0 )( x – x 0 )
Kąt
między krzywymi
Dla funkcji f i g określonych w otoczeniu U ( x 0 , ) i różniczkowalnych w x 0
Kąt przecięcia wykresów dwóch funkcji
tg =
1 f x () g x ()
,
gdy f '( x 0 ) · g '( x 0 ) –1
= 90°,
gdy f '( x 0 ) · g '( x 0 ) = – 1
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI
Reguły
różniczkowania
Dla funkcji f i g różniczkowalnych w punkcie x ∈ X i dla c ∈ R
Pochodna sumy funkcji
Pochodna różnicy funkcji
[ f ( x ) + g ( x )]' = f '( x ) + g '( x )
[ f ( x ) – g ( x )]' = f '( x ) – g '( x )
Pochodna iloczynu funkcji
Pochodna ilorazu funkcji
[ f ( x ) · g ( x )]' = f '( x ) · g ( x ) + f ( x ) · g '( x )
f ()
g ()
' f () g ()
=
g ()
f () g ()
, g ( x ) 0
[
]
2
Pochodna iloczynu stałej i funkcji
Pochodna funkcji stałej
[ c · f ( x )]' = c · f '( x )
c ' = 0
Pochodna logarytmiczna
Pochodna pierwiastka z funkcji
[ln f ( x )]' =
f ()
f ()
, f ( x ) 0
f ()
=
f ()
2 f ()
, f ( x ) > 0
62
f x () g x ()
'
189037686.015.png 189037686.016.png
Wzór
Założenie
Wzór
Założenie
Pochodne funkcji
elementarnych
– wzory
( ax + b )' = a
a , b ∈ R
(ln x )' =
1
x
x 0
( x n )' = nx n – 1
n ∈ N , n > 1
(sin x )' = cos x
( x )' = x – 1
x ∈ R + , ∈ R (cos x )' = – sin x
( ax 2 + bx + c )' = 2 ax + b a , b , c ∈ R
(tg x )' =
1
x + k ,
k ∈ C
cos
2
x
x '
=
1
2 x
x ∈ R +
(ctg x )' = –
1
x k , k ∈ C
sin
2
x
a
x
'
= –
a
x 2
x 0, a ∈
R
(arcsin x )' =
1
1 x 2
x ∈ (–1; 1)
( a x )' = a x · ln a
a ∈ R + \ {1}
(arccos x )' = –
1
1 x 2
x ∈ (–1; 1)
( e x )' = e x
(arctg x )' =
1
1 x 2
(log a x )' =
1
xa
ln
x 0,
a ∈ R + \ {1}
(arcctg x )' = –
1
1 x 2
Wzór
Założenie
Wzór
Założenie
Pochodne rzędu n
wybranych funkcji
– wzory
(sin x ) ( n ) = sin x + n
2
(cos x ) ( n ) = cos x + n
2
( a x ) ( n ) = a x · (ln a ) n
a ∈ R + \ {1}
( e x ) ( n ) = e x
1
x
()
= (–1) n ·
n
x n 1
(ln (1 + x )) ( n ) =
= (–1) n + 1 ·
x 0
(
n 1
)
x ∈ (– 1; + )
(
1 x
)
n
Dla złożenia f g i funkcji g różniczkowalnej w punkcie x ∈ X oraz funkcji f
różniczkowalnej w punkcie g ( x )
Pochodna funkcji złożonej
Pochodna funkcji
złożonej
[ f ( g ( x ))]' = f '( g ( x )) · g '( x )
63
2
189037686.017.png 189037686.018.png 189037686.001.png
ZASTOSOWANIA POCHODNEJ
Monotoniczność
funkcji
Dla funkcji f mającej pochodną f ' w dowolnym przedziale otwartym X = ( a ; b )
lub w zbiorze X = R
Monotoniczność
funkcja f rosnąca
funkcja f malejąca
funkcja f stała
Warunek
f '( x ) > 0
f '( x ) < 0
f '( x ) = 0
Interpretacja
geometryczna
Ekstrema lokalne
funkcji
Dla funkcji f mającej pochodną f ' w otoczeniu U ( x 0 , ) i f '( x 0 ) = 0
Ekstrema lokalne
maksimum
minimum
Warunki
f '( x ) > 0 dla x ∈ S – ( x 0 , )
f '( x ) < 0 dla x ∈ S + ( x 0 , )
f '( x ) < 0 dla x ∈ S – ( x 0 , )
f '( x ) > 0 dla x ∈ S + ( x 0 , )
Interpretacja
geometryczna
Funkcja wypukła
i wklęsła
Dla funkcji f mającej pochodną f '' w dowolnym przedziale otwartym X = ( a ; b )
lub w zbiorze X = R
Funkcja wypukła
Funkcja wklęsła
Warunki
f ''( x ) > 0
f ''( x ) < 0
Interpretacja
geometryczna
Punkt przegięcia
wykresu funkcji
Dla funkcji f mającej pochodną f '' ciągłą w otoczeniu U ( x 0 , ) i f ''( x 0 ) = 0
Punkt przegięcia wykresu funkcji
Warunki
f ''( x ) > 0 dla x ∈ S + ( x 0 , )
f ''( x ) < 0 dla x ∈ S – ( x 0 , )
f ''( x ) < 0 dla x ∈ S + ( x 0 , )
f ''( x ) > 0 dla x ∈ S – ( x 0 , )
Interpretacja
geometryczna
64
189037686.002.png 189037686.003.png 189037686.004.png 189037686.005.png 189037686.006.png
CAŁKI
Dla funkcji f i g całkowalnych w przedziale X i dla c ∈ R
Całka sumy
Reguły całkowania
Całka różnicy
[ f ( x ) + g ( x )] dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx
[ f ( x ) – g ( x )] dx = f ( x ) dx – g ( x ) dx
Całka iloczynu stałej i funkcji
Pochodna całki
[ c · f ( x )] dx = c · f ( x ) dx
f ( x ) dx = f ( x )
'
CAŁKOWANIE FUNKCJI
Dla funkcji f i g mających pochodne f ' i g ' ciągłe w przedziale X
Całkowanie przez części
Całkowanie
przez części
f ( x ) · g '( x ) dx = f ( x ) · g ( x ) – f '( x ) · g ( x ) dx
Dla funkcji f ciągłej w przedziale X i dla funkcji g : T X mającej pochodną g '
ciągłą w przedziale T
Całkowanie przez podstawienie
na
Całkowanie
przez podstawienie
f ( x ) dx = f ( g ( t )) g '( t ) dt , gdzie x = g ( t )
Dla funkcji f mającej pochodną f ' ciągłą w przedziale X i C ∈ R
Całki
pochodnych funkcji
Całka pochodnej funkcji
Całka pochodnej logarytmicznej
Całka pochodnej pierwiastka
z funkcji
f '( x ) dx = f ( x ) + C
f ()
f ()
dx = ln f ( x ) + C ,
f ()
2 f ()
dx =
f ()
+ C ,
f ( x ) 0
f ( x ) > 0
Dla dowolnych a , p , q , C ∈ R , k ∈ N + \ {1} i = p 2 – 4 q < 0
Całki
wybranych funkcji
wymiernych
i niewymiernych
1
xa
dx =
1
1 k
( x – a ) 1 – k + C
1
dx =
2
arctg
2 x p
+ C
k
x 2
(
)
px q
1
x 2
dx = ln x +
x 2
a
+ C
1
a 2
x 2
dx = arcsin + C , a 0
x
a
a
65
189037686.007.png 189037686.008.png 189037686.009.png 189037686.010.png
Całki nieoznaczone
– wzory
Wzór
Wzór
0 dx = C
1
dx = tg x + C
cos
2
x
adx = ax + C, a = const
1
dx = –ctg x + C
sin
2
x
x dx =
1
x + 1 + C , –1
tg xdx = –ln cos x + C
1
1
x
dx = ln x + C
ctg xdx = ln sin x + C
1
2 x
dx = + C
x
1
ax
dx = ln a + x + C
a x dx =
a x
a
+ C , a > 0, a 1
1
1 x 2
dx = ln
1
2
1 x
+ C
ln
e x dx = e x + C
1
1 x 2
dx = arctg x + C
sin xdx = –cos x + C
1
1 x 2
dx = arcsin x + C
cos xdx = sin x + C
1
1 x 2
dx = ln x +
1 x 2
+ C
Wzory
rekurencyjne
na całki
wybranych funkcji
Wzory rekurencyjne na całki wybranych funkcji
sin n xdx = – sin n – 1 x cos x +
1
n
n 1
sin n – 2 xdx , n ∈
N +
tg n xdx =
1
n 1
tg n – 1 x – tg n – 2 xdx , n ∈ N + \ {1}
1
1 x 2
dx =
1
2 n 2
·
x
1 x 2
+
2 n 2
1
1 x 2
dx , n ∈ N + \ {1}
n
n 1
n 1
(
)
(
)
(
)
x n · cos xdx = x n · sin x – nx n – 1 sin xdx , n ∈ N +
x n · sin xdx = – x n · cos x + nx n – 1 cos xdx , n ∈ N +
66
n
2 n 3
189037686.011.png 189037686.012.png 189037686.013.png 189037686.014.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin