01_Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego i sprawdzenie twierdzenia Steinera.pdf

(150 KB) Pobierz
01_Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego i sprawdzenie twierdzenia Steinera.
Cel wiczenia
Celem wiczenia jest poznanie ruchu drgaj cego wahadła fizycznego, ruchu obrotowego bryły
sztywnej, zasad dynamiki dla takiego ruchu oraz dowiadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera poprzez
okrelenie zaleno małych drga fizycznego wahadła grawitacyjnego od momentu bezwładnoci badanych ciał
wzgldem osi rodkowej.
Układ i metody pomiarowe
Moment bezwładnoci bryły wzgldem wybranej osi mona wyznaczy zawieszajc j tak, aby
stanowiła ona wahadło fizyczne. Naszymi badanymi bryłami bd: metalowa tarcza kołowa z symetrycznie
wycitymi otworami, piercie oraz jednorodny metalowy prt. W celu zrobienia z nich wahadła fizycznego:
• w przypadku tarczy i piercienia posłuymy si odpowiedni podstaw z poziom
pryzmatyczn belk, która bdzie stanowiła o wahadła
• dla jednorodnego prta skorzystamy ze statywu z łoyskiem
Schematy badanych ciał prezentuj Rysunki 1-3:
Rysunek 1. Schemat tarczy kołowej
z zaznaczonymi otworami dla
których zostały wykonane pomiary.
Rysunek 2. Schemat piercienia
oraz jego tablicowy moment
bezwładnoci.
Rysunek 3. Schemat jednorodnego
prta oraz jego tablicowy moment
bezwładnoci.
Schematy układów pomiarowych znajduj si na Rysunkach 4-6:
Rysunek 4. Schemat układu
pomiarowego tarczy z
zaznaczonymi osiami
Rysunek 5. Schemat układu
pomiarowego piercienia z
zaznaczonymi osiami
Rysunek 6. Schemat układu
pomiarowego prta
Pomiary bd wygldały nastpujco: waymy badany przedmiot oraz mierzymy 6-krotnie suwmiark
zaznaczone na rysunkach odpowiednie dla kadej bryły parametry. Nastpnie wychylajc badany przedmiot nie
wicej ni o kt = 9˚, mierzymy (równie 6-krotnie) czas, w jakim bryła wykona 20 wahni. Na podstawie tak
uzyskanych danych, obliczymy redni okres drga, a nastpnie rónymi metodami moment bezwładnoci bryły
wzgldem osi obrotu według wzorów odpowiednich dla kadej z badanych brył.
Dla jednorodnego prta pomiary zostały wykonane dla 2 rónych odległoci osi obrotu prta od osi
rodkowej w w/w celu.
607734450.051.png 607734450.061.png 607734450.067.png 607734450.068.png 607734450.001.png 607734450.002.png
Pomiary i obliczenia
CZ.I Tarcza kołowa z otworami
Moment bezwładnoci tarczy wyliczymy na dwa sposoby. Bezporednio z twierdzenia Steinera, które
mówi, e moment bezwładnoci wzgldem dowolnej osi O równoległej do osi S przechodzcej przez rodek
masy jest równy sumie momentu bezwładnoci wzgldem osi O i iloczynu całej masy bryły i kwadratu
odległoci midzy osiami (d), czyli:
I S = I O - m d2
Jednym z wniosków wynikajcych z twierdzenia Steinera jest fakt, e wyraenie:
2 4P
Wyraenie to w dalszej czci bdziemy oznacza jako C. Pomiary dla tarczy wykonamy dla 3 rónych
otworów w celu sprawdzenia czy twierdzenie Steinera jest zachowane tzn. czy wyliczona na podstawie
pomiarów wielko C jest stała. Wybrane przez nas otwory zostały zaznaczone na Rysunku 1.
T
gd
−
2
d
2
=
const
Przy pomocy C moemy wyznaczy moment bezwładnoci ciała wzgldem osi S ze wzoru:
m
I
=
C
S
2
4P
B dzie to drugi sposób wyliczenia momentu bezwładno ci dla tej bryły, który zaprezentujemy w
sprawozdaniu. Istnieje równie trzecia metoda i jest ni policzenie całki:
nie jest to jednak proste zadanie ze wzgldu na nieregularny kształt tarczy.
Do oblicze wykorzystane zostały nastpujce parametry i wartoci stałe:
Tabela 1. Wartoci i stałe wykorzystane w obliczeniach
m m
[g]
[g]
n n
g
966,3
± 0,1
20
± 1
9,8
3,14
Natomiast uporzdkowane pomiary prezentuje Tabela 2:
Tabela 2. Pomiary i przygotowanie danych do obliczenia momentu bezwładnoci
L.p.
d d
d r d r
t i
t r t r
T T
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[s]
[s]
[s]
[s]
[s]
1.
62,80
12,90
2.
62,75
12,92
3.
62,80
62,77
12,95
12,90
0,07
0,64
0,04
4.
62,75
12,82
5.
62,70
13,02
6.
62,80
12,76
1.
54,80
12,60
2.
54,80
12,77
3.
54,80
0,10
54,78
0,06
12,67
12,70
0,06
0,63
0,03
4.
54,78
12,60
5.
54,73
12,72
6.
54,75
12,60
1.
34,80
12,79
2.
34,80
12,62
3.
34,80
34,78
12,76
12,70
0,06
0,64
0,03
4.
34,80
12,69
5.
34,75
12,77
6.
34,75
12,71
607734450.003.png 607734450.004.png 607734450.005.png 607734450.006.png 607734450.007.png 607734450.008.png 607734450.009.png 607734450.010.png 607734450.011.png 607734450.012.png 607734450.013.png 607734450.014.png 607734450.015.png
Wykorzystujc powysze dane liczymy moment bezwładnoci ciała wzgldem osi wahadła O oraz
wzgldem osi rodka masy S:
Tabela 3. Moment bezwładnoci tarczy liczony z twierdzenia Steinera
I o I o I o /I o
I S I S I S / I S
[kgm 2 ]
[kgm 2 ]
%
[kgm 2 ]
[kgm 2 ]
%
0,006265 0,000700 11,18% 0,002458 0,000693 28,17%
0,005270 0,000587 11,15% 0,002371 0,000581 24,50%
0,003380 0,000378 11,18% 0,002211 0,000374 16,90%
Wyliczamy równie stałe C dla kadego z otworów oraz moment bezwładnoci metod, która je
angauje:
Tabela 4. Moment bezwładnoci tarczy liczony z wykorzystaniem stałej C
C C
C r C r
I Sc I Sc I Sc /I Sc
[m 2 ]
[m 2 ]
[m 2 ]
[m 2 ]
[kgm 2 ]
[kgm 2 ]
[%]
0,10
0,03
0,10
0,02
0,0958 0,0030 0,002347 0,000073
3,09%
0,09
0,02
607734450.016.png 607734450.017.png 607734450.018.png 607734450.019.png 607734450.020.png 607734450.021.png 607734450.022.png 607734450.023.png 607734450.024.png 607734450.025.png 607734450.026.png 607734450.027.png 607734450.028.png 607734450.029.png 607734450.030.png 607734450.031.png 607734450.032.png 607734450.033.png 607734450.034.png 607734450.035.png 607734450.036.png 607734450.037.png 607734450.038.png 607734450.039.png 607734450.040.png 607734450.041.png 607734450.042.png 607734450.043.png 607734450.044.png 607734450.045.png 607734450.046.png 607734450.047.png 607734450.048.png 607734450.049.png
Wzory i przykładowe obliczenia
Przeanalizujmy teraz wzory wykorzystane podczas uzupełniania tabel. Bdziemy omawia tylko te
wzory, które zostały wykorzystane pierwszy raz. Jeli dana metoda lub wzór zostanie wykorzystany ponownie
bdzie on pominity.
Dokładn analiz oblicze przeprowadzimy dla otworu nr 1:
Pierwszym godnym uwago wzorem jest wzór na niepewnoredniej liczony wg wzoru:
\
s
c
x
)
=
(
s
x
)
2
+
1
(
D
d
.
e
.
)
2
=
0,0003
+
0,0033
=
0,06
3
Niepewno redniego czasu jest równie niepewnoci złoona, liczymy ja z wykorzystaniem w/w
wzoru.
Okres to czas niezbdny do wykonania jednego wahnicia.
T
=
t
r
=
12,9
=
0
64
s
n
20
WartoT wyznaczymy metod róniczki zupełnej:
D
T
=
T
×
D
t
+
T
×
D
n
=
1
×
D
t
+
t
×
D
n
=
0
07
+
12
90
*
1
=
0
04
s
t
n
n
2
20
2
n
20
Moment bezwładnoci wokół osi wahadła liczymy ze wzoru:
T
2
×
m
×
g
×
d
0
64
2
*
0
9663
*
9
*
0
06277
2
I
=
=
=
0
006265
kgm
0
2
2
P
Liczc niepewno I o ponownie skorzystamy z metody róniczki zupełnej. Wyprowadzony wzór
wyglda nastpujco:
4
×
4
*
3
14
D
I
=
I
O
×
D
T
+
I
0
×
D
m
+
I
0
×
D
d
=
g
×
(
2
×
T
×
m
×
d
×
D
T
+
T
2
×
d
×
D
m
+
T
2
m
×
D
d
)
O
T
m
d
2
P
A po podstawieniu danych otrzymujemy I 0 =0,0007 kgm 2
Uwzgldniajc odległo midzy osi wahadła a osi rodka masy moemy obliczy moment
bezwładnoci wzgldem osi S:
4
×
T
2
×
m
×
g
×
d
I
=
I
−
m
×
d
2
=
−
m
×
d
2
=
0
006265
−
0
9663
*
0
6277
2
=
0
002458
kgm
2
S
o
2
4
×
P
Niepewno I S policzymy ponownie z róniczki zupełnej:
2
I
I
I
2
Tmgd
T gd
T mg
2
=0,000693kgm 2
D =
I
0
× D +
T
0
× D +
m
0
× D =
d
× D +
T
−
d
2
× D +
m
−
2
md
× D
d
0
T
m
d
4
P
2
4
P
2
P
2
C
=
T
2
×
W celu sprawdzenia twierdzenia Steinera wyliczymy stałe C dla kadego otworu ze wzoru:
d
g
×
d
−
4P
2
×
A nastpnie je urednimy. Niepewno złoonredniej liczymy tak jak w przypadku czasu.
D
C
=
2
Tgd
Niepewno tak wyliczonej stałej liczymy metod róniczki zupełnej:
2
*
D
d
+
T
2
gd
*
D
T
+
(
T
2
g
−
8
d
P
2
)
*
D
d
=
0,003m
Moment bezwładnoci I Sc z wykorzystaniem stałej C wyglda nastpujco:
I
=
m C
×
=
0
9663
*
0
0958
=
0,002347kg
m
2
0
2
4
*
3
14
2
4
×
P
Natomiast jego niepewno:
D =
I
I
0
D +
m
I
0
D =
C
D ×
m C m C
+
× D
=0,000073 kgm 2
0
m
C
4
×
P
2
4
×
P
2
CZ.II Piercie
Moment bezwładnoci piercienia policzymy dwoma metodami, pierwsza metoda bdzie analogiczna
jak dla tarczy, wykorzystamy twierdzenie Steinera. Drug metod bdzie obliczenie momentu bezwładnoci z
całki po masie wczeniej zaprezentowanej. Jest to moliwe ze wzgldu na regularny kształt przedmiotu. Wzór
ten bdziemy w dalszej czci nazywa wzorem tablicowym i bdzie on wygldał nastpujco:
I Stab
=
1
m
(
R
2
+
r
2
)
2
(
,
×
4
607734450.050.png 607734450.052.png
 
Do oblicze wykorzystane zostały nastpujce parametry i wartoci stałe:
Tabela 5. Wartoci i stałe wykorzystane w obliczeniach
m m
[kg]
[kg]
n n
g
0,0774 0,0001
20
± 1
9,8
3,14
Natomiast uporzdkowane pomiary rednic piercienia oraz wyliczony okres prezentuje Tabela 6:
Tabela 6. Pomiary i przygotowanie danych do obliczenia momentu bezwładnoci
R i R
R r R r
r i r
r r r r
t i
t r t r
T T
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[s]
[s]
[s]
[s]
[s]
69,35
59,7
14,72
69,40
59,7
14,72
69,40
0,10
69,35
0,18
59,7
0,1
59,67
0,18
14,77
14,71
0,06
0,74
0,04
69,35
59,6
14,68
69,30
59,7
14,73
69,30
59,6
14,65
Wykorzystujc powysze dane liczymy moment bezwładnoci ciała wzgldem osi wahadła O oraz
wzgldem osi rodka masy S z twierdzenia Steinera oraz z wzoru tablicowego:
Tabela 7. Moment bezwładnoci piercienia liczony z twierdzenia Steinera
I o I o I o /I o
I S I S I S / I S
[kgm 2 ]
[kgm 2 ]
%
[kgm 2 ]
[kgm 2 ]
%
0,000621
0,000070 11,26% 0,000345 0,000068 19,64%
Tabela 8. Mom ent bezwładnoci piercienia liczony ze wzo ru tablicowego
I Stab I Stab I Stab /I Stab
[kgm 2 ]
[kgm 2 ]
%
0,0003239 0,000002
0,70%
Wzory i przykładowe obliczenia
I Stab
=
1
Jedynym nowo wykorzystanym wzorem jest wzór tablicowy na moment bezwładnoci ciała:
(
m
R
2
+
r
2
)
=
1
0
0774
*
(
0
0693
5
+
0
05967
2
)
=
0,0003239k
gm
2
2
2
Jego niepewno :
D
I
=
I
Stab
+
I
Stab
+
I
Stab
=
D
m
(
R
2
+
r
2
)
+
mR
D
R
+
mr
D
r
=
0,000002kg
m
2
Stab
m
R
r
2
607734450.053.png 607734450.054.png 607734450.055.png 607734450.056.png 607734450.057.png 607734450.058.png 607734450.059.png 607734450.060.png 607734450.062.png 607734450.063.png 607734450.064.png 607734450.065.png 607734450.066.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin