DOWODY Z MATMY.pdf

(91 KB) Pobierz
Microsoft Word - DOWODY Z MATMY.doc
DOWODY Z MATMY
GRANICA I GI ġ GŁO ĺĘ FUNKCJI:
1.
lim
a n
− g
=
0
gdy
lim
a n
=
g
2. o 3 ci Ģ gach
3. granica iloczynu ci Ģ gów: zbie Ň nego do zera i ograniczonego;
4.
lim
x
®
x
f
(
x
)
=
g
Û
lim
x
®
x
−
f
(
x
)
=
im
x
®
x
+
f
(
x
)
=
g
0
0
0
5. o 3 funkcjach
6.
lim
sin
x
=
1
,
lim
a x
−
1
=
ln
a
x
®
0
x
x
®
0
x
7. Ci Ģ gło Ļę : 4 działania + zło Ň enie
RACHUNEK RÓ ņ NICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZN\MIENNEJ:
1. funkcja ró Ň niczkowalna ¼ f. ci Ģ gła /w punkcie/
2. Pochodna funkcji odwrotnej;
3. Pochodna funkcji zło Ň onej;
4. Tw, Fermata;
5. Tw. Rolle’a:
6.
"
x
Î
I
f
'
(
x
)
=
0
¼
f
CAŁKA NIEOZNACZONA:
1. Ka Ň de dwie pierwotne funkcji f ró Ň ni Ģ si ħ o stał Ģ ;
2. Całkowanie przez cz ħĻ ci;
CAŁKA OZNACZONA:
1. Liniowo Ļę ;
2. Nieujemno Ļę ;
3. Monotoniczno Ļę ;
4. Twierdzenie całkowe o warto Ļ ci Ļ redniej;
5. Twierdzenie podstawowe rachunku całkowego;
6. Wzór podstawowy rachunku całkowego (yw. Newtona – Leibniza)
7. Pole obszaru;
8. Obj ħ to Ļę bryły obrotowej;
9. Metoda wariacji (uzmienniania) stałej
: stała w przedziale I (wniosek z tw. Lagrange’a);
7. „O monotoniczno Ļ ci” (wnioski z tw. Lagrange’a);
8. Drugi WW dla ekstremum.
2898579.020.png 2898579.021.png
GRANICA I GI ġ GŁO ĺĘ FUNKCJI:
1.
lim
a n
− g
=
0
gdy
lim
a n
=
g
D)
"
e
>
0
$
n
0
"
n
Î
N
,
n
>
n
0
:
a
n
−
g
−
0
<
e
a n
− g
<
e
¼ ¥
lim
n
®
a n
=
g
2. o 3 ci Ģ gach
D)
a
n
£
b
n
£
c
n
,
n
>
n
0
Ù
lim
n
®
¥
a
n
=
lim
n
®
¥
c
n
=
g
¼
lim
n
®
¥
b
n
=
g
dla
g Î
R
"
e
>
0
$
n
0
"
n
³
n
0
:
b
n
−
g
<
e
lim
n
®
¥
a
n
=
g
¼
$
n
1
"
n
³
n
1
:
a
n
−
g
<
e
¼
a
n
>
g
−
e
lim
n
®
¥
c
n
=
g
¼
$
n
2
"
n
³
n
2
:
c
n
−
g
<
e
¼
g
+
e
>
c
n
n
'
=
max{
n
1
,
n
2
,
n
0
}
g
−
e
<
a
n
£
b
n
£
c
n
<
g
+
e
−
e
<
b
n
−
g
<
e
"
e
>
0
$
n
'
"
n
³
n
'
:
b
n
−
g
<
e
Û
lim
n
®
¥
b
n
=
g
3. granica iloczynu ci Ģ gów: zbie Ň nego do zera i ograniczonego;
D)
"
e
>
0
$
n
0
"
n
³
n
0
:
a
n
b
n
<
e
(
b
n
)
−
ograniczon
y
¼
$
M
>
0
"
n
Î
N
:
b
n
<
M
e
:
=
e
>
0
1
M
$
n
0
"
n
³
n
0
:
a
n
<
e
1
"
n
³
n
:
a
<
e
Ù
b
<
M
®
"
n
³
n
:
a
b
<
e
0
n
M
n
0
n
n
4.
lim
x
®
x
f
(
x
)
=
g
Û
lim
x
®
x
−
f
(
x
)
=
im
x
®
x
+
f
(
x
)
=
g
0
0
0
D)
lim
x
®
x
+
f
(
x
)
=
g
®
"
(
x
n
),
lim
x
n
=
x
0
,
x
n
>
x
0
(
n
Î
N
)
:
lim
n
®
¥
f
(
x
n
)
=
g
Ù
0
lim
x
®
x
−
f
(
x
)
=
g
®
"
(
x
n
),
lim
x
n
=
x
0
,
x
n
<
x
0
(
n
Î
N
)
:
lim
n
®
¥
f
(
x
n
)
=
g
¼
"
(
x
n
),
lim
x
n
=
x
0
,
x
n
¹
x
0
(
n
Î
N
)
:
lim
n
®
¥
f
(
x
n
)
=
g
¼
lim
x
®
x
0
f
(
x
)
=
g
5. o 3 funkcjach
D)
f , g ,h s Ģ okre Ļ lone w s Ģ siedztwie punktu
x
0
Î R
È
{
+¥
.
−
¥
}
, w którym jest spełniona
nierówno Ļę
f
(
x
)
£
g
(
x
)
£
h
(
x
)
Ù
lim
x
®
x
0
f
(
x
)
=
lim
x
®
x
0
h
(
x
)
=
g
¼
lim
x
®
x
0
g
(
x
)
=
g
"
(
x
n
),
lim
n
®
¥
x
n
=
x
0
,
x
n
¹
x
0
(
n
Î
N
)
:
lim
n
®
¥
f
(
x
n
)
=
g
we Ņ my dowolny ci Ģ g (x n )
lim
n
®
¥
x n
=
x
0
zatem prawie wszystkie wyrazy ci Ģ gu ã
0
2898579.022.png 2898579.023.png 2898579.001.png 2898579.002.png 2898579.003.png 2898579.004.png 2898579.005.png 2898579.006.png
$
n
0
"
n
³
n
0
:
x
n
Î
S
(
x
0
,
d
)
f
(
x
n
)
£
g
(
x
n
)
£
h
(
x
n
),
n
³
n
0
lim
n
®
¥
f
(
x
n
)
=
lim
n
®
¥
h
(
x
n
)
=
g
¼
(z tw. o 3 ci Ģ gach)
lim
n
®
¥
g
(
x
n
)
=
g
(z def. Heinego granicy
funkcji)
¼
lim
x
®
x
0 x
g
(
)
=
g
6.
lim
sin
x
=
1
,
lim
a x
−
1
=
ln
a
x
®
0
x
x
®
0
x
D) cz.I
AB
=
sin
x
CD
=
tan
x
sin
x
<
x
<
tan
x
/
:
sin
x
1
<
x
<
1
sin
x
cos
x
1
>
sin
x
>
cos
x
¾
¾ ®
®
0
+
1
x
(z tw. o 3 funkcjach)
lim
sin
x
=
1
x
®
0
+
x
(analogicznie dla
x
® 0
−
)
sin
x
ostatecznie dostajemy
lim
=
1
x
®
0
x
cz.II
a
x
−
1
lim
=
?
x
®
0
x
q
=
a
x
−
1
®
q
+
1
=
a
x
®
x
=
log
(
q
+
1
a
a
x
−
1
q
1
1
lim
=
lim
=
lim
=
lim
x
®
0
x
q
®
0
log
(
q
+
1
q
®
0
1
q
®
0
1
log
(
q
+
1
a
log
(
q
+
1
q
a
q
a
1
a
x
−
1
1
log
a
Ù
lim
(
q
+
1
q
=
e
¼
lim
=
lim
=
lim
a
=
ln
a
q
®
0
x
®
0
x
q
®
0
log
e
q
®
0
log
e
a
a
7. Ci Ģ gło Ļę : 4 działania + zło Ň enie
D)
D =
o
g
f
D
f
,
g o - okre Ļ lona w otoczeniu
f
x
0
"
(
x
n
),
lim
n
®
¥
x
n
=
x
0
,
x
n
¹
x
0
(
n
Î
N
)
:
lim
n
®
¥
(
g
o
f
)(
x
n
)
=
(
g
o
f
)(
x
0
),
(?)
(
x taki, Ň e
n
)
lim
n
®
¥
x
n
=
x
0
Ù
x
n
¹
x
0
(
n
Î
N
)
y
n
:
=
f
(
x
n
)
lim
n
®
¥
y
n
=
lim
n
®
¥
f
(
x
n
)
=
f
(
x
0
)
=
y
0
(
g
o
f
)(
x
)
=
g
(
f
(
x
))
=
g
(
y
)
¾
¾ ®
®
¥
n
n
n
lim
n
®
¥
(
g
o
f
)(
x
n
)
=
lim
n
®
¥
g
(
y
n
)
=
g
(
y
0
)
=
g
(
f
(
x
0
))
=
(
g
o
f
)(
x
0
)
+ dowody dla działa ı
RACHUNEK RÓ ņ NICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZN\MIENNEJ:
x
n
2898579.007.png 2898579.008.png 2898579.009.png 2898579.010.png 2898579.011.png 2898579.012.png 2898579.013.png
1. funkcja ró Ň niczkowalna ¼ f. ci Ģ gła /w punkcie/
D)
f jest okre Ļ lona w otoczeniu punktu
x
0
lim
x
®
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
),
(?)
lim
x
®
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
Û
lim
x
®
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
=
0
f
(
x
)
−
f
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
×
x
−
x
¾
¾ ®
®
x
0
f
(
x
)
×
0
=
0
0
x
−
x
0
0
0
2. Pochodna funkcji odwrotnej;
Z
:
f
:
(
a
,
b
)
®
(
c
,
d
)
Ù
f
- bijekcja, ró Ň niczkowalna
x
0
Î
(
a
,
b
),
y
=
f
(
x
0
),
f
'
(
x
0
)
¹
0
T
:
f
−
1
jest ró Ň niczkowalna w punkcie
y
0
D)
y
0
Î
(
c
,
d
)
f
−
1
:
(
c
,
d
)
®
(
a
,
b
)
f jest okre Ļ lona w otoczeniu punktu
−
y
0
f
−
1
(
y
)
−
f
−
1
(
y
)
x
−
x
1
1
f
−
1
(
y
)
=
lim
0
=
lim
0
=
lim
=
0
y
®
y
y
−
y
y
®
y
f
(
x
)
−
f
(
x
)
y
®
y
f
(
x
)
−
f
(
x
)
f
'
(
x
)
0
0
0
0
0
0
0
x
−
x
0
3. Pochodna funkcji zło Ň onej;
Z
:
f
,
g
−
ró Ň niczkowalne w punkcie
x
0
y =
0
f
(
x
0
)
T
:
(
g
o
f
)'
(
x
0
)
=
g
'
(
f
(
x
0
))
×
f
'
(
x
0
)
D)
g o
f
−
okre Ļ lona w otoczeniu punktu
x
0
(
g
o
f
0
(
x
)
=
lim
(
g
o
f
)(
x
)
−
(
g
o
f
)(
x
0
)
=
lim
g
(
f
(
x
))
−
g
(
f
(
x
0
))
=
0
x
®
x
0
x
−
x
x
®
x
0
x
−
x
0
0
=
lim
g
(
y
)
−
g
(
y
0
)
×
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
=
lim
g
(
y
)
−
g
(
y
0
)
×
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
=
x
®
x
0
,
y
®
y
0
x
−
x
f
(
x
)
−
f
(
x
)
x
®
x
0
,
y
®
y
0
y
−
y
x
−
x
0
0
0
0
=
g
'
(
y
0
)
×
f
'
(
x
0
)
=
g
'
(
f
(
x
0
))
×
f
'
(
x
0
)
¼
(
g
o
f
)'
(
x
)
=
g
'
(
f
(
x
))
×
f
'
(
x
)
4. Tw, Fermata;
−
Z :
f
ma ekstremum i jest ró Ň niczkowalna w punkcie
x
0
T
:
f
'
(
x
0 =
)
0
D)
dla maksimum lokalnego
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
£
0
x
>
x
Ù
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
³
0
x
<
x
¼
x
Î
S
(
x
,
d
)
x
−
x
0
x
−
x
0
0
0
0
z tw. o zachowaniu znaku w granicy funkcji
x
2898579.014.png 2898579.015.png 2898579.016.png 2898579.017.png 2898579.018.png
lim
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
£
0
Ù
lim
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
³
0
x
®
x
+
x
−
x
x
®
x
−
x
−
x
0
0
0
0
Ù
lim
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
=
lim
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
¼
x
®
x
+
x
−
x
x
®
x
−
x
−
x
0
0
0
0
lim
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
=
lim
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
=
0
¼
f
'
(
x
)
=
0
x
®
x
+
x
−
x
x
®
x
−
x
−
x
0
0
0
0
0
5. Tw. Rolle’a:
−
Z :
f
ci Ģ gła w
[
a
,
b
]
i ró Ň niczkowalna w
(
a
,
b
)
T
:
x
Î
(
a
,
b
)
:
f
'
(
x
)
=
0
D)
z tw. Weierstrassa
f
Î
C
0
[
a
,
b
]
¼
$
x
*
,
x
Î
[
a
,
b
]
:
f
(
x
*
)
=
max{
f
(
x
)
:
x
Î
[
a
,
b
]}
Ù
f
(
x
)
=
min{
f
(
x
)
:
x
Î
[
a
,
]}
*
*
1
o
®
x
*
,
x
Î
[
a
,
b
],
f
=
const
.,
f
'
(
x
)
=
0
x
Î
(
a
,
b
),
x
−
dowol
.
*
2
o
®
x
*
Î
(
a
,
b
)
Ú
x
Î
(
a
,
b
)
*
x Î (analogicznie dla drugiego przypadku)
f ma maksimum lokalne w punkcie
zał.
*
(
a
,
b
)
x
*
z tw. Fermata
f
'
(
x
*
)
=
0
6.
"
x
Î
I
:
f
'
(
x
)
=
0
¼
f
stała w przedziale I (wniosek z tw. Lagrange’a);
D)
f spełnia zało Ň enia tw. Rolle’a ã jest ci Ģ gła i ró Ň niczkowalna w I
$
x
Î
(
x
=
1
,
x
2
)
:
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
=
f
'
(
x
)(
x
2
−
x
1
)
=
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
7. „O monotoniczno Ļ ci” (wnioski z tw. Lagrange’a);
D)
$
x
Î
[
x
1
,
x
2
]
:
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
=
f
'
(
x
)(
x
2
−
x
1
)
Ù
f
'
(
x
0
>
0
Ù
(
x
2
−
x
1
)
>
0
¼
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
>
0
f
(
x
2
)
>
f
(
x
1
)
analogicznie w pozostałych przypadkach
8. Drugi WW dla ekstremum.
D)
Z
:
f
Î
C
2
(
x
−
d
,
x
+
d
)
0
0
f
'
(
x
0
)
=
0
T
:
f
'
'
(
x
0
)
<
0
®
max
Ù
f
'
'
(
x
0
)
>
0
®
min
f spełnia zało Ň enia tw. o wzorze Taylora dla n=1 w przedziale
(
x
0
− x
d +
,
0
d
)
f
Î
C
n
+
1
(
x
−
d +
,
x
d
)
0
0
f
'
'
(
x
0 <
)
0
jest ci Ģ gła w punkcie
x , zatem z tw. o zachowaniu znaku funkcji
ci Ģ głej ã
$
d
'
>
0
"
x
Î
(
x
0
−
d
'
,
x
0
+
d
'
)
:
f
'
'
(
x
)
<
0
mo Ň emy zało Ň y ę , Ň e
d <
'
d
we Ņ my
x
Î
(
x
0
−
d x
'
,
0
+
d
'
)
−
dowolne (ustalone)
f
(
x
)
<
f
(
x
0
)
- dla maksimum lokalnego
b
2898579.019.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin