Trójkąty i kwadraty A3.pdf

Trójkąty i kwadraty

a 2 +b 2 =c 2 to jedno z nielicznych twierdzeń matematycz-

nych, jakie zapamiętujemy ze szkoły. Ale czy wiecie, że

wcale nie odkrył go Pitagoras? Albo że można je udo-

wodnić na ponad 500 sposobów? A może chcecie je

zastosować do obliczania pola… księżyców?

CENTRUM NAUKI

KOPERNIK

Trochę teorii

Rysunek 1

Rysunek 2

Rysunek 4

– „W obie strony jednakowe

spodnie Pitagorasowe”. Faktycznie,

jeżeli c jest długością przeciwprosto-

kątnej trójkąta prostokątnego oraz

a i b są długościami jego przypro-

stokątnych, to a 2 +b 2 =c 2 . W języku

geometrii oznacza to, że jeżeli trój-

kąt jest prostokątny, to suma pól

kwadratów zbudowanych na jego

przyprostokątnych równa jest polu

kwadratu zbudowanego na jego

przeciwprostokątnej.

Prześledźmy teraz jeden z dowodów

twierdzenia, ten, który – najprawdo-

podobniej – znany był samemu Pita-

gorasowi. Narysujmy kwadrat o dłu-

gości boku a+b i na każdym z jego

boków odmierzmy odcinek długości

b – jak na rysunku 1. Połączmy punkty

podziału, otrzymując cztery trójkąty

prostokątne o bokach a, b, c. Trójkąty

te można zgrupować też w sposób

pokazany na rysunku 2.

Porównajmy oba rysunki. Patrząc

na rysunek po lewej, widać, że jeśli

od pola dużego kwadratu odejmie-

my pola czterech trójkątów, otrzy-

mamy pole kwadratu o boku c.

Patrząc na rysunek po prawej,

widzimy, że jeśli od pola dużego

kwadratu odejmiemy pola czte-

rech trójkątów, otrzymamy pole

dwóch kwadratów: o boku

a i o boku b.

Stąd wniosek, że kwadrat o boku c

ma pole identyczne z sumą pól kwa-

dratów o boku a i b.

A co będzie, gdy na bokach trój-

kąta prostokątnego zbudujemy nie

kwadraty, ale trójkąty równobocz-

ne? (rysunek 3). Bardzo podobnie.

Czerwony trójkąt ma pole równe

a 2 3

, niebieski b 2 3

wykorzystaniu podobieństwa trój-

kątów. W istocie znane są dziesiąt-

ki różnych dowodów tego chyba

najsławniejszego na świecie twier-

dzenia. W 1894 roku czasopismo

„American Mathematical Monthly”,

wydawane przez Amerykańskie Sto-

warzyczenie Matematyczne ( The Ma-

thematical Assosiation of America ),

rozpoczęło publikację serii dowo-

dów, ale po setnym odcinku zabawę

zawieszono. Jedna z zawiedzionych

czytelniczek – Elisha S. Loomis, na-

uczycielka z Ohio – zebrała więc na

własną rękę kolekcję 230 dowodów,

którą wydała w postaci książeczki

w 1927 roku. Druga edycja tego

dzieła, z 1940 roku, zawierała już

370 dowodów. „Księga rekordów

Guinessa” („Guinness Book of World

Records”) podaje nazwisko człowie-

ka, który skompletował ich aż 520.

W prezentowanym na wystawie

doświadczeniu mamy do czynienia

z bardzo nietypowymi, bo płaskimi

akwariami. Ale twierdzenie Pitago-

rasa można sformułować także dla

figur trójwymiarowych (rysunek 4):

suma objętości prostopadłościanów

o równych wysokościach, których

podstawami są kwadraty zbudo-

wane na przyprostokątnych trójkąta

prostokątnego, jest równa objęto-

ści prostopadłościanu o tej samej

wysokości, którego podstawą jest

kwadrat zbudowany na przeciwpro-

stokątnej tego trójkąta.

Kto ma trochę czasu i wagę szalko-

wą, może zbudować szczelne prosto-

padłościany i napełnić je wodą. Dwa

mniejsze, postawione na jednej szalce

wagi, zrównoważą trzeci stojący na

drugiej szalce.

żółty c 2 3

. Skoro a 2 +b 2 =c 2

to i a 2 3

b 2 3

c 2 3

Jeżeli na bokach trójkąta prostokąt-

nego będziemy budowali nie trójkąty

czy czworokąty, ale pięciokąty, sze-

ściokąty i inne wielokąty – ich pola

również spełnią pitagorejską zależ-

ność. Co więcej, nie musimy się nawet

ograniczać do wielokątów – mogą

to być zupełnie dowolne figury, byle

były podobne (różniące się wielkością,

ale nie kształtem). Pole figury opartej

na przeciwprostokątnej, to suma pól

figur zbudowanych na przyprosto-

kątnych.

Rysunek 3

Przedstawiony przez nas dowód

różni się od tego, który najczęściej

można znaleźć w szkolnych pod-

ręcznikach, a który opiera się na

S tary szkolny wierszyk głosi

O historii

w ogóle nie istniał i jest jedynie

postacią legendarną. Do naszych cza-

sów nie zachowały się bowiem żadne

pisma świadczące o jego geniuszu.

Wszystko, co wiemy o Pitagorasie,

pochodzi od żyjącego w III wieku n.e.

Diogenesa Laertiosa, autora dzieła

„Żywoty i poglądy słynnych filozofów”

oraz z „Żywotów Pitagorasa” napisa-

nych przez Jamblichosa i Porfiriusza

na przełomie III i IV wieku n.e.

Na ogół przyjmuje się jednak, że

Pitagoras urodził się w Samos około

572 roku p.n.e. W wieku 40 lat wyemi-

grował do kolonii jońskich i zamieszkał

w Krotonie. Zmarł około 497 roku

p.n.e. w Metaponcie (kolonii achajskiej

na południu Italii). Był matematykiem

i filozofem (jako pierwszy użył terminu

filozofia w rozumieniu „miłość mądro-

ści”), założył też związek religijno-po-

lityczny zwany później szkołą pitago-

rejską. Twierdzenie sformułował około

530 roku p.n.e. i wówczas to głośny

ryk stu wołów oznajmił światu, jak

bardzo grecki matematyk wdzięczny

jest bogom za przychylność i natchnie-

nie. Pitagoras jest również uważany

za autora koncepcji harmonii kosmosu

i prekursora teorii liczb.

Odnalezione przez archeologów

tabliczki z pismem klinowym świad-

czą, że już Babilończycy wiedzieli,

iż „suma pól kwadratów zbudowa-

nych na przyprostokątnych trójkąta

prostokątnego jest równa polu kwa-

dratu zbudowanego na jego przeciw-

prostokątnej”. Jednak dopiero Grecy

włączyli to twierdzenie do matema-

tyki, to znaczy dostrzegli potrzebę

przeprowadzenia ścisłego dowodu,

prawdziwego dla każdego trójkąta

prostokątnego. Ujmując rzecz mniej

poważnie, możemy powiedzieć, że

Babilończycy mówili: „zgadzało się

tyle razy, to chyba i następnym razem

się zgodzi”. Grecy natomiast raz na

zawsze stwierdzili, że nie „chyba”, ale

„na pewno”.

Pitagoras przekazywał wiele ze swo-

ich nauk w postaci maksym, z których

znaczna część – z uwagi na kontekst

historyczny – jest dzisiaj trudna do

zrozumienia. Są jednak i takie, które

zachowały aktualność do dzisiaj.

Oto kilka przykładów:

• Kto mówi, sieje, kto słucha, zbiera.

Pitagoras zajmował się nie tylko

matematyką, był też filozofem i aktyw-

nym politykiem

• Liczba jest istotą wszystkich rzeczy.

• Muzyka budzi w sercu pragnienie

dobrych czynów.

• Nic w nadmiarze.

• Trudno jest iść przez życie wieloma

drogami jednocześnie.

• Trzeba milczeć albo mówić rzeczy

lepsze od milczenia.

Współczesne zastosowania

nie Pitagorasa jest twierdzenie

odwrotne do niego. Jeżeli suma pól

kwadratów zbudowanych na dwóch

krótszych bokach trójkąta jest równa

polu kwadratu zbudowanego na je-

go najdłuższym boku, to ten trójkąt

jest prostokątny. Lub – jak kto woli:

jeżeli a, b, c są długościami boków

trójkąta i prawdą jest, że a 2 +b 2 =c 2 ,

to trójkąt ten jest prostokątny. Na

przykład, ponieważ 3 2 +4 2 =5 2 , to

trójkąt o bokach długości 3, 4, 5,

jest prostokątny. Wynika to nie

z twierdzenia Pitagorasa, ale właśnie

z twierdzenia odwrotnego. Można

je wykorzystać praktycznie, np. do

precyzyjnego wyznaczania kąta pro-

stego w terenie.

Przeprowadźmy eksperyment. Wy-

starczy zaopatrzyć się w kawałek

sznurka o długości 12 m. Następnie

odmierzmy i zaznaczmy od jednego

z jego końców 3 m, a od drugie-

go 4 m. Pozostanie nam odcinek

o długości 5 m. Z naszego sznur-

ka utwórzmy teraz trójkąt. Jest on

z całą pewnością prostokątny. Ten

sposób jest prosty i dokładny, a zna-

ny był już w starożytnym Egipcie

i w Babilonii. Zasada ta jest dzisiaj

wykorzystywana m.in. w pomiarach

geodezyjnych.

N ie można wykluczyć, że Pitagoras

R ównie ważne jak samo twierdze-

A to ciekawe

przygodę. Przygodę, która przytrafiła

się wówczas, gdy usiłowano obliczyć

przekątną kwadratu o boku długo-

ści 2. Co otrzymano w wyniku? Liczbę

monstrum. Dziwadło, które nie dało

się przedstawić w postaci żadnego

ułamka!

Odkrycie to było szokiem dla pita-

gorejczyków, którzy czcili liczby ja-

ko doskonałość. Odebrali je jako za-

mach na koncepcję filozoficzną świata,

którym miały rządzić liczby natural-

ne oraz ich proporcje i w którym nie

było miejsca na takie dziwolągi jak

√

straszliwą tajemnicę istnienia liczb

niewymiernych.

Z twierdzeniem Pitagorasa związane

są również tzw. księżyce Hipokratesa.

Na trójkącie prostokątnym opisujemy

koło (rysunek A). Następnie budu-

jemy półkola, których średnicami są

przyprostokątne. Suma pól księżyców

zielonego i granatowego jest równa

polu trójkąta.

Nawiasem mówiąc, Hipokrates od

księżyców nie ma nic wspólnego z Hi-

pokratesem uważanym za prekursora

medycyny. Ten od księżyców pochodził

z Chios i w latach 450–420 działał

w Atenach, udowodnił również, że

suma pól księżyców zbudowanych

na bokach czworokąta wpisanego

w okrąg jest równa polu tego czwo-

rokąta (rysunek B).

Pomnik Pitagorasa na wyspie Samos

związane brzemienne w skutki

odkrycie liczb niewymiernych. Zwy-

kle dokonanie to jest przypisywane

Hippasusowi z Mezopotamii. Temu

niewątpliwie doniosłemu odkryciu nie

towarzyszył jednak ryk zwierząt ofiar-

nych. Więcej – rzecz całą starano się

utrzymać w tajemnicy, niby wstydliwą

Rysunek A

Rysunek B

Więcej doświadczeń

W internecie

stawimy te dane do wzoru a 2 +b 2 =c 2 , okaże się, że zgodnie z twierdze-

niem Pitagorasa jest to trójkąt prostokątny. Czy liczby 3, 4, 5 to jedyne liczby

naturalne spełniające twierdzenie Pitagorasa? Spróbujmy znaleźć inne. Dla

zachęty podajemy kilka przykładów:

Inne dowody twierdzenia Pitagorasa

www.matmaserwis.scholaris.pl/

serwis_m/index1.html

5 2 +12 2 =13 2

7 2 +24 2 =25 2

44 2 +117 2 =125 2

693 2 +1924 2 =2045 2

Wiecej o Pitagorasie

www.matkram.republika.pl/

pitagoras.htm

Czy poszukiwanie takich liczb można jakoś zautomatyzować? Oczywiście!

Po podstawieniu do wzoru:

Pitagoras i Pitagorejczycy

http://history.hanover.edu/texts/

presoc/pythagor.html

(2n+1) 2 + (2n 2 +2n) 2 = (2n 2 +2n+1) 2

Dowody, dowody

www.cut-the-knot.org/pythagoras/

index.shtml

w miejsce n dowolnej liczby naturalnej otrzymamy w nawiasach liczby będące

długościami boków trójkąta prostokątnego.

CENTRUM NAUKI

KOPERNIK

www.kopernik.org.pl

2. Legenda głosi, że Pitagoras, który

nie potrafił zaakceptować odkrycia

swojego ucznia, skazał go na śmierć

przez utopienie. Inna wersja podaje,

że Hippasus poniósł śmierć, ponieważ

złamał przysięgę i wyjawił publicznie

Z twierdzeniem Pitagorasa było

N a poprzedniej stronie mówiliśmy o trójkącie o bokach 3, 4 i 5. Jeśli pod-

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: