RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
Niech będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej
Niech oraz . Ilorazem różnicowym funkcji pomiędzy punktami i nazywamy liczbę .
Załóżmy, że wraz z pewnym otoczeniem (otoczeniem lewostronnym, otoczeniem prawostronnym).
Definicja pochodnej .
Pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną) funkcji w punkcie nazywamy granicę (, ) o ile ona istnieje. Oznaczamy ją wtedy jako (,).
Definicja różniczkowalności funkcji.
Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna (różniczkowalna lewostronnie, prawostronnie) w punkcie jeśli ma w tym punkcie skończoną pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną).
Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w przedziale otwartym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w przedziale domkniętym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału, oraz prawostronnie różniczkowalna w lewym krańcu i lewostronnie różniczkowalna w prawym krańcu.
Definicja kąta nachylenia.
Niech będzie dowolną prostą na płaszczyźniew którejoznacza oś odciętych. Jeśli , to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej jest zero. Jeśli to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej jest kąt, którego jednym z ramion jest , a drugim odcinek przebiegający w górnej półpłaszczyźnie.
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego i pochodnej.
Prostą przechodzącą przez punkty, , nazywać będziemy sieczną. Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji pomiędzy punktami i jest tangensem kąta nachylenia siecznej. Przy ustalonym i zmierzającym do zauważamy, że sieczne wyznaczone przez te punkty przyjmują w granicy o ile ona istnieje położenie prostej, którą nazwiemy styczną do wykresu funkcji w punkcie. Pozwala to na spostrzeżenie, że pochodna funkcji jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie .
Wniosek.
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie ma postać .
Definicja.
Normalną do wykresu funkcji f w punkcie nazywamy prostą prostopadłą do stycznej w tym punkcie i przechodzącą przez ten punkt.
Niech funkcje f i g przecinające się w punkcie o odciętej będą różniczkowalne w . Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy nie większy od prostego kąt , pomiędzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.
Wniosek. .
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym punkcie, to jest w tym punkcie ciągła.
Uwaga. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe. (przykład )
Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie oraz , to funkcje
są różniczkowalne w tym punkcie, oraz prawdziwe są wzory:
Ostatni wzór jest prawdziwy przy dodatkowym założeniu, że .
Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych oraz dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.
Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej).
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , zaś funkcja jest różniczkowalna w punkcie to funkcja jest różniczkowalna w punkcie przy czym .
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech U będzie dowolnym podzbiorem otoczenia punktu oraz f dowolną funkcją taką, że. Jeśli jest ciągłą i różnowartościową funkcją różniczkowalną w punkcie , taką, że , to funkcja odwrotna jest różniczkowalna w punkcie i .
Uwaga. Twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i pochodnej funkcji odwrotnej są prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.
Definicja różniczki .
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie . Różniczką funkcji f w punkcie nazywamy funkcję liniową, która dowolnej liczbie rzeczywistej przypisuje liczbę . Różniczkę funkcji f w punkcie będziemy oznaczać jako .
Uwaga. Zauważmy, że różniczka funkcji identycznościowej obliczana w dowolnym punkcie przypisuje dowolnej liczbie rzeczywistej nią samą. Stąd wniosek, że . Ponieważ różniczka funkcji f w dowolnym punkcie to , więc możemy zapisać, że . W powyższym wzorze jest funkcją, jest funkcją, a jest liczbą. Wzór ten można zapisać w postaci . Jest on oczywiście prawdziwy dla dowolnego argumentu i stwierdza, że iloraz dwóch różniczek jest funkcją stałą. Argument z przyczyn praktycznych w powyższym wzorze nie występuje.
Definicja pochodnej rzędu n (indukcja).
Załóżmy, że wraz z pewnym otoczeniem, oraz że zdefiniowaliśmy już pochodną funkcji rzędu w każdym punkcie wspomnianego otoczenia. Jeśli jest funkcją różniczkowalną w punkcie to jej pochodną w tym punkcie nazywać będziemy pochodną rzędu funkcji w punkcie . Pochodną rzędu funkcji w punkcie oznaczać będziemy jako . Przyjmujemy ponadto, że .
Twierdzenie
Jeżeli f i g mają pochodne rzędu w punkcie , to funkcja ma pochodną rzędu n w punkcie i wyraża się ona wzorem
(wzór Leibniza).
Załóżmy, że .
TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ:
Twierdzenie (ROLLE’A)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale , różniczkowalna w przedziale , oraz , to istnieje przynajmniej jeden punkt taki, że .
Twierdzenie (CAUCHE’EGO )
Jeżeli funkcje i są ciągłe w przedziale , różniczkowalne w przedziale to istnieje przynajmniej jeden punkt taki, że.
Twierdzenie (LAGRANGEA).
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale i różniczkowalna w przedziale , to istnieje punkt taki, że .
Powyższe trzy twierdzenia zwane są twierdzeniami o wartości średniej.
Twierdzenie.(warunki dostateczne monotoniczności funkcji)
Niech funkcja będzie różniczkowalna w przedziale .
1) Jeśli to funkcja f jest stała w przedziale I.
2) Jeśli to funkcja f jest rosnąca w przedziale I.
3) Jeśli to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I.
4) Jeśli to funkcja f jest malejąca w przedziale I.
5) Jeśli to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I.
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w przedziale I oraz jest niemalejąca w tym przedziale, to.
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w przedziale I, to jest ona rosnąca w tym przedziale, wtedy i tylko wtedy, gdy oraz zbiór nie zawiera przedziału.
Niech , będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz niech . Jeżeli oraz ...
andrzej-199017