CAŁKA NIEOZNACZONA.
Całka nieoznaczona funkcji nazywamy rodzinę wszystkich pierwotnych i oznaczamy:
, gdy
- - symbol całkowania
- - funkcja podcałkowa
- - stała całkowania
- - zmienna całkowania
- - wyrażenie podcałkowe
Funkcją pierwotną funkcji określonej w przedziale skończonym lub nie nazywamy każdą funkcję różniczkowalną taką, że dla każdego . Jeżeli jest funkcją pierwotną funkcji , to każda inna funkcja pierwotna funkcji jest równa , gdzie jest pewna stałą. Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną. Te, które ją mają nazywamy funkcjami całkowalnymi.
Całki funkcji elementarnych:
·
Tablica całek:
Podstawowe prawa całkowania:
- całkowanie przez podstawienie
, gdzie i
- całkowanie przez części.
- całka z sumy (różnicy) funkcji
- całka z iloczynu funkcji przez stałą
, gdzie
Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
Całki wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne o postaci:
można sprowadzić do podstawowych wzorów całkowania, a tym samym obliczać na podstawie następujących reguł:
1. Jeżeli n liczbą nieparzystą, to stosujemy podstawienie cos x = t przy obliczaniu pierwszej całki i sin x = t gdy obliczamy drugą całkę.
2. Gdy n jest liczbą parzystą to mamy do wyboru dwie możliwości:
a) przekształcić funkcję podcałkową wg wzorów (obniżenie wykładnika potęgi)
b) wykorzystując wzory rekurencyjne :
a) m – liczba nieparzysta
b) n – liczba nieparzysta
c) m, n – parzyste liczby ( wzory rekurencyjne)
a.) Jeśli m jest liczbą nieparzystą, to podstawiamy cos x = t
b.) Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to podstawiamy sin x = t
c.) Jeśli obie liczby są parzyste, to przekształcamy funkcję podcałkową wykorzystując do tego wzory
Obliczamy przez podstawienie nowej zmiennej, zamiast lub odpowiednio .
Obliczamy przez przekształcenie iloczynów wyrażeń podcałkowych na sumę, wg wzorów:
Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci , , gdzie (wielomian stopnia k-tego)
¨ - funkcja wymierna niewłaściwa
¨ - funkcja wymierna właściwa
Uwaga:
Każdy wielomian może być przedstawiony w postaci iloczynu dwumianów lub trójmianów
- rozkład na ułamki proste w postaci
,
a) Jeżeli
to:
b) - rozkład na ułamki proste
c) to
d) doprowadzenie do pochodnej mianownika i zastosowanie
wzoru na arctg .
tzn
Całkowanie funkcji przestępnych (nie algebraicznych).
Do całek funkcji wymiernych sprowadzają się następujące całki (R – funkcja wymierna):
przez podstawienie
;
wtedy
oraz
andrzej-199017