1 Twierdzenie o 3 ciągach
Jeżeli wyrazy ogólne 3 ciągów {an } {bn} {cn}spełniają dla n≥n0 nierówność an ≤ bn ≤ cn
i jeżeli ciągi {an } {cn} mają wspólną granicę g limn→∞ an = limn→∞ cn = g
to ciąg {bn} ma tę samą granicę limn→∞ bn=g
Twierdzenie o ciągu mon. i ograniczonym
Jeżeli ciąg an jest niemalejący dla n>n0 oraz ograniczony z góry to jest on zbieżny
a1, a2, … an0 ≤ an0+1 ≤ an0+2 ≤ …≤ b
wszystkie wyrazy tego ciągu są ≤ b Vn an≤ bn
2 Twierdzenie o 2 ciągach
(an) (bn) an≤bn n>n0 an→+∞ |=> bn→+∞ gdy n→∞
Tw. ( o arytmetyce granic nieskończonych)
+∞+a=+∞ dla -∞<a≤+∞ a(+∞)=+∞ dla 0<a≤+∞
a/ ± ∞ = 0 dla -∞ < a < +∞ a/0+ = +∞ dla 0< a ≤+∞
a+∞= 0 dla 0+ ≤ a<1 a+∞= +∞ dla 1< a ≤+∞
+∞b= 0 dla -∞≤b<0 +∞b= +∞ dla 0<b≤+∞
Podstawowe wyrażenia nieoznaczone
+∞ -∞ ,0∙∞, 0/0,∞/∞, 1∞ ,∞0,00
Granice specjalne
en=(1+ 1/n)n → e, an=ⁿ√n =n1/n → 1 n→∞ a>0 ⁿ√a = 1
3 Szereg liczbowy
Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenei postaci a1 + a2 + a3 + …+an + … =∑ an
an – n-ty wyraz
Sn = a1 + a2 + a3 + …+an – n-ta suma częściowa
Mówimy, że szereg an jest zbieżny jeżeli istnieje granica skończona ciągu jego sum częściowych Sn→y Sn→+∞ Sn→-∞
Szereg jest rozbieżny do +∞ (odpowiednio - ∞) jeżeli nie ma granicy.
Sumę szeregu zbieżnego nazywamy liczbę lim Sn = ∑ an
n-tą resztą szeregu zbieżnego nazywamy liczbę ∑ an = Rn
a1 + a2 + a3 + …+an + an+1 + an+2 +… = Sn + Rn
Twierdzenie o zbieżności kombinacji liniowej szeregów
∑an ∑bn ∑(an+bn)=∑an+∑bn
Dla każdego c€R szereg ∑(c∙an) też jest zbieżny, suma jest równa c∙∑an
Zastąpienie skończonej liczby wyrazów nie zmienia jego zbieżności
Nie można zmienić kolejności sumowania wyrazów szeregu
Warunek konieczny zbieżności szeregów
Jeśli ∑an jest zbieżny to an→0 n→∞
Jeśli granica wyrazu szeregu ∑an nie równa się 0 lub nie istnieje to szereg ∑an jest rozbieżny
4 Kryteria zbieżności szeregów
porównawcze 0≤an≤bn n>n0
jeżeli szereg ∑bn jest zbieżny to ∑an też jest zbieżny jeżeli ∑an jest rozbieżny to ∑bn jest rozbieżny ilorazowe an, bn >0 n>n0 oraz istnieje granica lim→an/bn=c 0<c<∞ wtedy szeregi ∑an i ∑bn są zbieżne lub rozbieżne jednocześnie
d’Alamberta Niech mamy ciąg liczb an≠0 i niech istnieje granica lim │an+1/an│=c wtedy szereg ∑an jest zbieżny gdy c<1 i rozbieżny gdy c>1 dla c=1 kryterium nie rozstrzyga.
Cauchy’ego Niech istnieje limⁿ√|an|=c , szereg ∑an jest zbieżny, gdy c<1 i rozbieżny gdy c>1. Gdy c=1 kryterium nie rozstrzyga
5 Zbiezność bezwzględna szeregów
Jeżeli szereg ∑|an|, którego wyrazy są równe wartościom bezwzględnym wyrazów szeregu ∑an, jest zbieżny to i szereg ∑an jest zbieżny
Szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli szereg ∑|an| jest zbieżny
Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny, jest szeregiem warunkowo zbieżnym
Kryterium Leibniza Jeżeli w szeregu przemiennym ∑an począwszy od pewnego miejsca N bezwzględne wartości wyrazów szeregu dążą monotonicznie do 0, n>N i spełnione są warunki WK i |an+1|≤|an| to szereg ∑an jest zbieżny
6 Funkcje cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.
Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne.
arcsin f odwrotna do f sin rozpatrywana na przedziale[-pi/2;pi/2] . W przedziale tym sin jest f rosnącą (różnowartościową), więc ma f odwrotną, która jest określona na przedziale[-1;1] .
arccos f odwrotna do f cos rozpatrywanej na przedziale[0; pi] .W przedziale tym cos jest f malejącą (różnowart.), więc ma f odwrotną, która jest określona na przedziale [-1;1]
arctg f odwrotna do f tg rozpatrywanej na przedziale (-pi/2; pi/2) . W przedziale tym tg jest f rosnącą (różnow), ma f odwrotną, która jest określona w zbiorze R
arcctg jest f odwrotna do f ctg rozpatrywanej na przedziale (0;pi) . W przedziale tym ctg jest f
Wnioski:
- o monotoniczności:
- tożsamościach – niech mamyfunkcje f i g określone w przedziale [a,b]
- nierównosciach - niech mamy funkcje f i g określone w przedziale [a,b]
Twierdzenie Couchy’ego – niecj funkcje f i g spłeniają warunki: są ciągłe w przedziale [a,b], mają pochodne skończone w (a,b) i g’(x) jest różne od 0 dla każdego x należącego do (a,b), wtedy istnieje punkt posredni c taki, że Twierdzenie Couchy’ego to uproszczenie twierdzenia Lagrange’a.Regułyde L’Hospitala:
Jeżeli funkcje f i g są określone na sąsiedztwie punktu xo i spełniają warunki
1o 20
To
1o20
Wielomian Taylor’a:
Niech funkcja f ma w pktcie xo pochodne 10, 20,... k0 – rzędu. Wielomian nazywamy wielomianem Taylor’a funkcji f w punkcie i oznaczamy .Wzór Taylora z resztą Lagrange’a.
Jeżeli funkcja f ma pochodna n-1 na przedziale [,x], pochodną skonczoną n na przedziale (,x) to punkt taki, że
16. Ekestrema lokalne, twierdzenie Fermata, wniosek. I i II warunek wystarczający istnienia ekstremum. Wartość najmniejsza funkcji na zbiorze. Algorytm szukania ekstrem’ów lokalnych.Funkcja f ma w punkcie minimum lokalne jeżeli taka, że zachodzi nierowność .Minima i maxima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.Twierdzenie Fermata – jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie i pochodną to =0. Implikacja odwrotna jest fałszywa.
Wnioski:Funkcja może mieć ekstrema lokalne w punkcie, w którym jej pochodna równa się 0, albo w punkckcie, w którym jej pochodna nie istnieje.Warunki:I warunek– jeżeli funkcja oraz , że dla , a dla to funkcja f ma w punkcie lokalne. Zamiast można przyjąć, że jest ciągła w punkcie . II warunek – jeżeli ’ a to funkcja f ma w pkt lokalne. Wartości najmniejszej funkcji na zbiorze:Liczba m jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze A jeżeli pkt i oraz .
Podobnie macierze stojące w j-tej kolumnie muszą mieć te same liczby kolumn.
28. Suma i różnica macierzy. Iloczyn macierzy przez liczbę. Własności. Def.: i będą macierzami wymiaru . Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy macierz , której elementy. i wtedy piszemy C=A+B Def. A i Podstawowe własności działań na macierzach: Niech A, B i C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru oraz
A+B=B+A
A+(B+C)=(A+B)+C
a(bA)=(ab)A
a(A+B)=Aa+Ab
(a+b)A=aA+Ba
A+0=A
A+(-1)B=A-B
1A=A
Własności te wynikają z odp. Własności liczb rzeczywistych. Zbiór macierzy tego samego wymiaru to przestrzeń liniowa.
29. Iloczyn macierzy A=[aij]mxn, B=[bij]nxk, Iloczynem macierzy A i B nazywamy taka macierz C=[cij]wymiaru mxk ktorej elementy cij=ai1*b1j+ai2*b2j+ai3*b3j+…+ain*bnj C=A*B Uwaga:Iloczyn można obliczyc tyko wtedy gdy liczba kolumn pierwszej macierzy rowna się liczbie wierszy drogiej macierzy
Schemat:
Wlasnosci:
1. A mxn,B nxk, C nxk wtedy :A(B+C)=AB+AC
2.A,B mxn, C nxk: (A+B)C=AC+BC
3. A mxn, B nxk: A(aB)=a(AB)=(aA)B
4.A mxn, B nxk, C kxl: (AB)C=A(BC)
5.A mxk, In, Im: AIn=ImA=A
Macierz transponowana: Niech A bedzie macierza wymiaru mxn a elementach [aij] Macierza transponowana do macierzy A nazywamy macierz B wmiaru nxm, ktorej elementy [bij] sa okreslone wzorem bij=aji oznaczamy B=AT
Wlasnosci macierzy transponowanych:
1.A mxn, (AT)T =A
2. (aAT)=a(AT)
3. A,B mxn, (A+BT)= (AT)+ (BT)
4. Amxn, Bnxk, (A*BT)= (AT)* (BT)
30.Odwzorowaniem dowolnego zbioru X w dowolny zbior Y nazywamy przyporzadkowanie kazdemu xєX dokladnie jednego elementu yєY. Odwzorowania takie oznaczamy T: XY. Odwzorowanie jest uogolnieniem pojecia funkcji. Macierz: macierza odwzorowania liniowego nazywamy T: XY w podanych bazach nazywamy macierz A o m wierszach i n kolumnach mxn ktorej kolejne kolumny sa wspolrzednymi wektorow T(x1), T(x2),…T(xn)w bazie (y1,…ym)Tw. O postac odwozorowania liniowego:...
Master_chomik