anpol_w03.pdf

(372 KB) Pobierz

Pole skalarne i wektorowe

Deﬁnicje operatorów

Zale»no±ci pomi¦dzy operatorami

ANALIZA PÓL

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

Budownictwo, studia I stopnia, semestr III

rok akademicki 2010/2011

Instytut L-5, Wydział In»ynierii L¡dowej, Politechnika Krakowska

EwaPabisek

AdamWosatko

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ANALIZA PÓL

781416256.030.png

781416256.031.png

781416256.032.png

781416256.033.png

781416256.001.png

781416256.002.png

781416256.003.png

781416256.004.png

781416256.005.png

Pole skalarne i wektorowe

Deﬁnicje operatorów

Zale»no±ci pomi¦dzy operatorami

Deﬁnicje pola skalarnego i wektorowego

Je±li ka»demu punktowi pewnego obszaru przyporz¡dkujemy:

pewn¡ warto±¢ liczbow¡, to ten obszar nazywamy polem skalarnym ,

np. rozmieszczenie temperatury, g¦sto±¢ punktów ciała,

pewien wektor to obszar ten nazywamy polem wektorowym , np.

pr¦dko±¢ poszczególnych punktów ciała, nat¦»enie pola

elektrycznego.

Funkcja realizuj¡ca takie przyporz¡dkowanie to funkcja pola .

Pole skalarne

Pole wektorowe

Rozkład temperatury

Kierunki napr¦»e« głównych

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ANALIZA PÓL

781416256.006.png

781416256.007.png

781416256.008.png

781416256.009.png

781416256.010.png

Pole skalarne i wektorowe

Deﬁnicje operatorów

Zale»no±ci pomi¦dzy operatorami

Ró»niczka funkcji pola skalarnego

Oznaczmy funkcj¦ pola skalarnego przez

f ( x , y , z )

Ró»niczka funkcji pola przy przej±ciu od punktu P do punktu P 1

(wyznaczone przez odpowiednie wektory miejsca):

r = x i + y j + z k ,

r 1 =( x + dx ) i +( y + dy ) j +( z + dz ) k

wynosi:

df = @ f

@ x dx + @ f

@ y dy + @ f

@ z dz

któr¡ mo»na zapisa¢ w postaci iloczynu skalarnego:

df =( i @ f

@ x + j @ f

@ y + k @ f

@ z ) · ( i dx + j dy + k dz )= grad f · d r

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ANALIZA PÓL

781416256.011.png

781416256.012.png

781416256.013.png

781416256.014.png

781416256.015.png

781416256.016.png

781416256.017.png

781416256.018.png

Pole skalarne i wektorowe

Deﬁnicje operatorów

Zale»no±ci pomi¦dzy operatorami

Gradient

Deﬁnicja

Gradientem pola w punkcie P nazywamy:

grad f = i @ f

@ x + j @ f

@ y + k @ f

@ z

Natomiast czynnik d r jest wektorem inﬁnitezymalnym:

d r = r 1 − r = i dx + j dy + k dz

maj¡cym pocz¡tek w P a koniec w P 1 .

Funkcj¦ pola grad f zapisujemy za pomoc¡ symbolu r :

grad f = r f

a przyrost funkcji skalarnej pola f :

df = r f · d r

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ANALIZA PÓL

781416256.019.png

781416256.020.png

781416256.021.png

781416256.022.png

781416256.023.png

781416256.024.png

Pole skalarne i wektorowe

Deﬁnicje operatorów

Zale»no±ci pomi¦dzy operatorami

Gradient

Deﬁnicja

Gradient pola skalarnego f to operator ró»niczkowy, który przypisuje

ka»demu punktowi tego pola ±ci±le okre±lony wektor, wyznacza wi¦c pole

wektorowe, przyporz¡dkowane danemu polu skalarnemu .

Wektor grad f jest prostopadły do powierzchni izoskalarnej

(ekwiskalarnej).

Gradient ma zwrot skierowany od powierzchni izoskalarnej o

mniejszej warto±ci do powierzchni o wi¦kszej warto±ci.

Gradient jest niezmiennikiem wzgl¦dem transformacji ortogonalnej.

Przykład:

Oblicz gradient funkcji f ( x , y , z )= 2 x + 3 y 2 − sin z

r f = @ f

@ x , @ f

@ y , @ f

= 2 , 6 y , − cos z

@ z

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ANALIZA PÓL

781416256.025.png

781416256.026.png

781416256.027.png

781416256.028.png

781416256.029.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin