Kol2_zad_roz.pdf

(111 KB) Pobierz
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
Zad.1
Zapisać wzory na interpolację Lagrange'a wprost i odwrotną dla dyskretnych argumentów i
wartości (1,2), (3,4), (4,5). Sprawdzić, czy te interpolanty są funkcjami wzajemnie
odwrotnymi.
Wzór interpolacyjny Lagrange'a (interpolacja wprost)
n
∑
p x
( )
=
f L
( )
x
=
f L
( )
x
+
f
L
( )
x
+
...
+
f
L
( )
x
i
i
1
1
2
2
n
n
i
=
1
gdzie
n
Õ
(
x
-
x
)
j
j
j
=
¹
1
(
x
-
x
) (
×
x
-
x
) ... (
×
×
x
-
x
) (
×
x
-
x
) ... (
×
×
x
-
x
)
i
L
( )
x
=
1
2
i
-
1
i
+
1
n
=
i
n
(
x
-
x
) (
×
x
-
x
) ... (
×
×
x
-
x
) (
×
x
-
x
) ... (
×
×
x
-
x
)
Õ
(
x
-
x
)
i
1
i
2
i
i
-
1
i
i
+
1
i
n
i
j
j
j
=
¹
1
i
dla danych z zadania
x
f
1
3
4
=
2
4
5
(
x
-
3)(
x
-
4)
(
x
-
1)(
x
-
4)
(
x
-
1)(
x
-
3)
L
( )
x
=
,
L
( )
x
=
,
L
( )
x
=
1
2
3
(1
-
3)(1
-
4)
(3
-
1)(3
-
4)
(4
-
1)(4
-
3)
2
2
2
x
-
7
x
+
12
x
-
5
x
+
4
x
-
4
x
+
3
p x
( )
=
f L
( )
x
+
f
L
( )
x
+
f L
( )
x
=
2
+
4
+
5
=
x
+
1
(
)
1
1
2
2
3
3
6
-
2
3
Wzór na interpolację odwrotną Lagrange'a (funkcja musi być różnowartościowa!)
n
∑
p y
(
)
=
x L
(
y
)
=
x L
(
y
)
+
x L
( )
y
+
...
+
x L
( )
y
i
i
1
1
2
2
n
n
i
=
1
gdzie
n
Õ
(
y
-
f
)
j
j
j
=
¹
1
(
y
-
f
) (
×
y
-
f
) ... (
×
×
y
-
f
) (
×
y
-
f
) ... (
×
×
y
-
f
)
i
L
(
y
)
=
1
2
i
-
1
i
+
1
n
=
i
n
(
f
-
f
) (
×
f
-
f
) ... (
×
×
f
-
f
) (
×
f
-
f
) ... (
×
×
f
-
f
)
Õ
(
f
-
f
)
i
1
i
2
i
i
-
1
i
i
+
1
i
n
i
j
j
j
=
¹
1
i
Dla danych z zadania
(
y
-
4)(
y
-
5)
(
y
-
2)(
y
-
5)
(
y
-
2)(
y
-
4)
L
(
y
)
=
,
L
( )
y
=
,
L
(
y
)
=
1
2
3
(2
-
4)(2
-
5)
(4
-
2)(4
-
5)
(5
-
2)(5
-
4)
1
781418919.040.png 781418919.041.png 781418919.042.png 781418919.043.png 781418919.001.png
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
2
2
2
y
-
9
y
+
20
y
-
7
y
+
10
y
-
6
y
+
8
p y
(
)
=
x L
(
y
)
+
x L
(
y
)
+
x L
(
y
)
=
1
+
3
+
4
=
y
-
1
(
)
1
1
2
2
3
3
6
-
2
3
Dla interpolacji odwrotnej
x
=
y
-
1
®
y
=
x
+
1
otrzymujemy interpolację wprost i na
odwrót. Są to funkcje wzajemnie odwrotne.
Zad.2
Dokonać najlepszej aproksymacji (funkcją liniową, a następnie wykładniczą, ekspotencjalną
postaci
x
a
+
be
dla danych z poprzedniego zadania.
Obliczenia dla aproksymacji liniowej
p x
( )
=
ax
+
b
- postać aproksymacji
Funkcjonał błędu aproksymacji (suma kwadratów odchyłek pomiędzy wartością na prostej, a
wartością oryginalną)
3
∑
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
B a b
( ,
)
=
p x
(
)
-
f
=
a
+
b
-
2
+
3
a
+
b
-
4
+
4
a
+
b
-
5
i
i
i
=
1
Optymalizacja funkcjonału
B
(
)
(
)
(
)
=
2
a
+
b
-
2
+
2 3
×
×
3
a
+
b
-
4
+
2 4
×
×
4
a
+
b
-
5
=
0
a
B
(
)
(
)
(
)
=
2
a
+
b
-
2
+
2 3
a
+
b
-
4
+
2 4
a
+
b
-
5
=
0
b
26
a
+
8
b
=
34
a
=
1
®
8
a
+
3
b
=
11
b
=
1
Końcowa postać aproksymacji
p x
( )
=
x
+
1
- funkcja idealnie odtwarza wartości węzłowe
Obliczenia dla funkcji ekspotencjalnej
x
p x
( )
=
a
+
be
- postać aproksymacji
3
(
)
(
)
2
2
∑
(
)
2
(
)
2
3
4
B a b
( ,
)
=
p x
(
)
-
f
=
a
+
be
-
2
+
a
+
be
-
4
+
a
+
be
-
5
i
i
i
=
1
B
(
)
(
)
(
)
3
4
=
2
a
+
be
-
2
+
2
a
+
be
-
4
+
2
a
+
be
-
5
=
0
a
B
(
)
(
)
(
)
=
2
e a
+
be
-
2
+
2
e
3
a
+
be
3
-
4
+
2
e
4
a
+
be
4
-
5
=
0
b
2
781418919.002.png 781418919.003.png 781418919.004.png 781418919.005.png 781418919.006.png
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
(
)
3
4
3
a
+
e
+
e
+
e
b
=
11
(
)
(
)
3
4
2
6
8
3
4
e
+
e
+
e
a
+
e
+
e
+
e
b
=
2
e
+
4
e
+
5
e
Dla przypomnienia:
e »
2.7182
3
a
+
77.4020
×
b
=
11
a
=
2.2800
®
77.4020
×
a
+
3391.7758
×
b
=
358.7695
b
=
0.0537
x
Końcowa postać aproksymacji
p x
( )
=
2.2800
+
0.0537
e
Sprawdzenie: wartości funkcji aproksymacyjnej w węzłach:
p
(1)
=
2.4261
,
p
(3)
=
3.3595
,
p
(4)
=
5.2144
Oczywiście jest różnica w stosunku do oryginalnych wartości (2,4,5), ale jest to wynik
aproksymacyjny, więc można spodziewać się takiej różnicy.
Zad.3
Wyprowadzić wzory różnicowe dla 3 węzłów
x
<
x
<
x
i
-
1
i
i
+
1
na pierwszą pochodną
f
'
»
a
f
+
a
f
+
a
f
i
1
i
-
1
2
i
3
i
+
1
oraz drugą pochodną
» + +
Zastosować metodę interpolacji Lagrang'e oraz współczynników nieoznaczonych.
f
''
b
f
b
f
b
f
i
1
i
-
1
2
i
3
i
+
1
W celu łatwiejszych obliczeń przyjęte zostaną oznaczenia 1
h
=
x
-
x
,
h
=
x
-
x
i
i
-
1
2
i
+
1
i
Układ współrzędnych zostanie przyjęty w punkcie o numerze "i", w którym należy znaleźć
wartości pochodnych numerycznych: pozostałe punkty będą więc leżeć w odległości -h1 oraz
h2 od środka. Dodatkowo zamiast indeksów dolnych: "i-1", "i" oraz "i+1" będą używane
oznaczenia: 1,2, 3.
Dane do interpolacji Lagrange'a
x
-
h
0
h
1
2
=
f
f
f
f
1
2
3
Wielomiany Lagrange'a
(
)
(
)(
)
(
)
x x
-
h
x
+
h
x
-
h
x
+
h
x
2
1
2
1
L
( )
x
=
,
L
( )
x
=
,
L
( )
x
=
(
)(
)
(
)(
)
(
)
1
2
3
-
h
-
h
-
h
0
+
h
0
-
h
h
+
h
h
1
1
2
2
2
2
1
2
Interpolacja Lagrange'a i jej pochodne
p x
( )
=
f L
( )
x
+
f L
( )
x
+
f L
( )
x
1
1
2
2
3
3
3
781418919.007.png 781418919.008.png 781418919.009.png
 
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
2
x
-
h
2
x
-
h
+
h
2
x
+
h
p
'( )
x
=
f L
'( )
x
+
f L
'( )
x
+
f L
'( )
x
=
f
2
-
f
2
1
+
f
1
(
)
(
)
1
1
2
2
3
3
1
2
3
h
h
+
h
h h
h
+
h
h
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
p
''( )
x
=
f L
''( )
x
+
f L
''( )
x
+
f L
''( )
x
=
f
-
f
+
f
(
)
(
)
1
1
2
2
3
3
1
2
3
h
h
+
h
h h
h
+
h
h
1
1
2
1
2
2
1
2
Wzory różnicowe = wartości pochodnych interpolacji w punkcie centralnym wzoru ( x = 0)
h
h
-
h
h
f
'
»
p
'(0)
= -
f
2
+
f
2
1
+
f
1
(
)
(
)
2
1
2
3
h
h
+
h
h h
h
+
h
h
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
f
''
»
p
''(0)
=
f
-
f
+
f
(
)
(
)
2
1
2
3
h
h
+
h
h h
h
+
h
h
1
1
2
1
2
2
1
2
Metoda współczynników nieoznaczonych
Należy rozwinąć każdą z wartości funkcyjnych wzoru różnicowego
f f f rozwinąć w
szereg Taylora względem punktu centralnego wzoru (o numerze 2). Rozwinięcie obejmuje
wyrazy rzędu 0,1,2, czyli trzy pierwsze, dlatego, że na trzech wartościach funkcji oparty jest
wzór: są trzy niewiadome współczynniki, więc potrzeba trzech równań.
,
,
1
2
3
1
2
f
=
f
-
h f
'
+
h f
''
+
...
1
2
1
2
1
2
2
f
=
f
2
2
1
f
=
f
+
h f
'
+
h f
2
''
+
...
3
2
2
2
2
2
2
Następnie każde z rozwinięć należy pomnożyć przez odpowiedni współczynnik: według
założonego wzoru na pierwszą pochodną:
1
2
f
=
f
-
h f
'
+
h f
''
+
...
/
×
a
1
2
1
2
1
2
1
2
f
=
f
/
×
a
2
2
2
1
2
f
=
f
+
h f
'
+
h f
''
+
...
/
×
a
3
2
2
2
2
2
3
2
W dalszej kolejności należy dodać powyższe równania: po stronie prawej uzyskamy w ten
sposób postać wzoru różnicowego, a po lewej - zbiór wartości funkcji i jej pochodnych, z
uporządkowanymi współczynnikami:
1
1
(
)
(
)
2
2
f
a
+
f
a
+
f
a
=
f
a
+
a
+
a
+
f
'
-
h
a
+
h
a
+
f
''
h
a
+
h
a
1
1
2
2
3
3
2
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
2
2
Lewa strona powyższego wzoru ma być przybliżeniem pierwszej pochodnej:
1
1
(
)
(
)
2
2
f
'
»
f
a
+
a
+
a
+
f
'
-
h
a
+
h
a
+
f
''
h
a
+
h
a
2
2
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
2
2
4
781418919.010.png 781418919.011.png 781418919.012.png 781418919.013.png 781418919.014.png 781418919.015.png 781418919.016.png 781418919.017.png 781418919.018.png 781418919.019.png 781418919.020.png 781418919.021.png
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
Pozostaje więc porównań współczynniki stojące po obydwu stronach powyższej równości
(przy odpowiednich pochodnych) i rozwiązać uzyskany w ten sposób układ równań.
-
h
a
=
2
(
)
1
h
h
+
h
1
1
2
a
+
a
+
a
=
0
1
1
2
3
h
-
h
-
h
a
+
h
a
=
®
a
=
2
1
1
1
2
3
2
h h
1
2
1
1
2
2
h
a
+
h
a
=
0
h
1
1
2
3
2
2
a
=
1
(
)
3
h
h
+
h
2
1
2
Końcowa postać wzoru
h
h
-
h
h
f
'
» -
f
2
+
f
2
1
+
f
1
(
)
(
)
2
1
2
3
h
h
+
h
h h
h
h
+
h
1
1
2
1
2
2
1
2
Dla drugiej pochodnej te same rozwinięcia wartości funkcyjnych będziemy mnożyć przez
współczynniki "beta":
1
2
f
=
f
-
h f
'
+
h f
''
+
...
/
×
b
1
2
1
2
1
2
1
2
f
=
f
/
×
b
2
2
2
1
2
f
=
f
+
h f
'
+
h f
''
+
...
/
×
b
3
2
2
2
2
2
3
2
1
1
(
)
(
)
2
2
f
b
+
f
b
+
f
b
=
f
b
+
b
+
b
+
f
'
-
h
b
+
h
b
+
f
''
h
b
+
h
b
1
1
2
2
3
3
2
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
2
2
Lewa strona powyższego wzoru ma być przybliżeniem drugiej pochodnej:
1
1
(
)
(
)
f
''
»
f
b
+
b
+
b
+
f
'
-
h
b
+
h
b
+
f
''
h
2
b
+
h
2
b
2
2
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
2
2
2
b
=
(
)
1
h
h
+
h
1
1
2
b
+
b
+
b
=
0
1
2
3
2
-
h
b
+
h
b
=
0
®
b
= -
1
1
2
3
2
h h
1
2
1
1
h
2
b
+
h
2
b
=
1
2
1
1
2
3
2
2
b
=
(
)
3
h
+
h
h
2
1
2
Końcowa postać wzoru
2
2
2
f
''
»
f
-
f
+
f
2
1
(
)
2
3
(
)
h
h
+
h
h h
h
+
h
h
1
1
2
1
2
2
1
2
5
781418919.022.png 781418919.023.png 781418919.024.png 781418919.025.png 781418919.026.png 781418919.027.png 781418919.028.png 781418919.029.png 781418919.030.png 781418919.031.png 781418919.032.png 781418919.033.png 781418919.034.png 781418919.035.png 781418919.036.png 781418919.037.png 781418919.038.png 781418919.039.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin