intro4.pdf
(
97 KB
)
Pobierz
381442638 UNPDF
WSTE¸PDOMATEMATYKI
Lista4
1.
Zakładamy,»e
A,B
X
s¡zbiorami.Zbada¢,czynast¦puj¡cawłasno±¢jestprawdziwa:
A
B
wtedyitylkowtedy,gdy
P
(
A
)
P
(
B
)
.
2.
Sprawdzi¢,czynast¦puj¡cezbiorys¡równe:
{
1
}
i
{
x
2
R
:
log
2
(
x
)=0
}
,
{
1
}
i
{{
1
}}
,
{;}
i
;
,
{;
,
{;}}
i
{{;}}
,
;
i
{
A
:
A
;}
,
{
N
}
i
N
,
{
N
}
i
{
R
}
,
{
x
2
R
:sin(
x
)
>
1
}
i
;
,
{
(
x,y
)
2
R
2
:
ln
(
x
)=1
}
i
{
(
e,
1)
}
.
3.
Wskaza¢wszystkieelementyipodzbioryka»degoznast¦puj¡cychzbiorów:
{;
,
{;}}
,
{{;}
,
{{;}}}
,
{;
,
N
,
{;}}
,
{
N
,
{
N
}}
.
4.
Wypisa¢wszystkieelementynast¦puj¡cychzbiorów
P
(
;
)
,P
(
{;}
)
,P
(
{
a,b,
{
a
}
,
{
a,b
}}
)
.
5.
Pokaza¢,»e»adenzbiór
A
niejestrównyswojemuzbiorowipot¦gowemu(tzn.
A
6
=
P
(
A
)).
6.
Niech
a,b
2
R
.
Definiujemyprzedziałyotwarte:
(
a,b
)=
{
x
2
R
:
a<x<b
}
(
−1
,b
)=
{
x
2
R
:
x<b
}
(
a,
1
)=
{
x
2
R
:
a<x
}
.
(Zauwa»my,»eje»eli
b
¬
a
to(
a,b
)=
;
.
)Niech
P
oznaczarodzin¦wszystkichprzedziałówotwartych,
tzn.
P
=
{
(
a,b
):
a,b
2
R
}
.
Sprawdzi¢,czyprawdziwes¡nast¦puj¡cewłasno±ci:
1.(
a,b
)
\
(
c,d
)
2P
dladowolnychliczbrzeczywistych
a,b,c,d,
2.
;2P
,
3.(
a,b
)
[
(
c,d
)
2P
dladowolnychliczbrzeczywistych
a,b,c,d,
4.
R
\
(
a,b
)
2P
.
Wprzypadkupytania,naktóreodpowied¹jestnegatywnazastanowi¢si¦,czywpewnychszczególnych
sytuacjachodpowied¹mo»eby¢twierdz¡ca.
7.
.Pokaza¢,»e
A
×
B
=
B
×
A
wtedyitylkowtedy,gdy
A
=
B
lub
A
=
;
lub
B
=
;
.
8.
Znale¹¢przykład±wiadcz¡cyotym,»e:
(a)zrówno±ci(
A
×
B
)
\
(
C
×
D
)=
;
niewynika,»e
A
\
C
=
;
;
(b)(
A
×
A
)
\
(
B
×
C
)niemusiby¢równe(
A
\
B
)
×
(
A
\
C
);
(c)(
A
×
A
)
\
(
B
×
C
)niemusiby¢równe(
A
\
B
)
×
C.
9.
Niech
A
n
=
{
x
2
R
:
|
x
−
3
|
<
1
n
}
.
Obliczy¢
S
1
n
=1
A
n
oraz
T
1
n
=1
A
n
.
10.
Niech
A
t
=
{
(
x,y
)
2
R
(
S
t
2
T
A
t
)
×
(
S
t
2
T
B
t
)=
S
s
2
T
S
t
2
T
(
A
s
×
B
t
)
B
n
+1
=
A
n
+1
\
S
n
k
=0
A
k
.
Pokaza¢,»ezbiory
B
n
s¡paramirozł¡cznei»e
S
1
n
=0
A
n
=
S
1
n
=0
B
n
.
14.
Dlaci¡guzbiorów
A
n
definiujemy:
limsup
n
A
n
=
T
1
S
1
k
=
n
A
k
liminf
n
A
n
=
S
1
T
1
k
=
n
A
k
n
=0
n
=0
Wykaza¢,»e:
(a)
x
2
liminf
n
A
n
wtedyitylkowtedy,
gdyistniejetakiindeksn
0
,»edlawszystkichk
n
0
,x
2
A
k
.
(b)liminf
n
A
n
limsup
n
A
n
.
(c)liminf
n
A
c
n
=(limsup
n
A
n
)
c
.
(d)limsup
n
A
n
=liminf
n
A
n
gdyci¡g
A
n
jestmonotoniczny(tzn.dlawszystkichliczbnaturalnych
n,A
n
A
n
+1
lubdlawszystkich
n,A
n
+1
A
n
).
15.
Dladodatnichliczbnaturalnychdefiniujemyzbiory:
1
n
+1
,
1
A
n
=
,B
n
=
1
,
2
n
−
1
n
,C
n
=[1
,n
]
.
Obliczy¢:
1
[
1
\
1
[
1
\
1
[
1
\
1
[
1
\
A
n
,
A
n
,
B
n
,
B
n
,
C
n
,
C
n
,
(
A
n
[
C
n
)
,
(
A
n
\
C
n
)
.
n
=1
n
=1
n
=1
n
=1
n
=1
n
=1
n
=1
n
=1
2
:
y
¬
tx
}
.
Obliczy¢
S
t>
0
A
t
oraz
T
t>
0
A
t
.
11.
Zbada¢-przedstawiaj¡cdowódlubpodaj¡ckontrprzykład-prawdziwo±¢nast¦puj¡cychwzorów:
(
S
t
2
T
A
t
)
×
(
S
t
2
T
B
t
)=
S
t
2
T
(
A
t
×
B
t
)
,
(
T
t
2
T
A
t
)
×
(
T
t
2
T
B
t
)=
T
t
2
T
(
A
t
×
B
t
)
,
13.
Dladowolnejrodzinyzbiorów
A
n
definiujemyrodzin¦
B
n
kład¡c:
B
0
=
A
0
,
ZADANIEDOMOWE
Lista4
1.
Jakiezwi¡zkizachodz¡pomi¦dzyzbiorami
A
=
;
,B
=
{;}
,D
=
{{;}}
,E
=
{;
,
{;}}
?
2.
Niechsymbol
K
(
r
)oznaczakoło(domkni¦te)
{
(
x,y
)
2
R
2
:
x
2
+
y
2
¬
r
}
opromieniu
r
0
,
a
K
rodzin¦wszystkichtakichkół,tzn.
{
K
(
r
):
r
0
}
.
Sprawdzi¢,czyprawdziwes¡nast¦puj¡cewłasno±ci:
1.
K
(
r
1
)
\
K
(
r
2
)=
K
(min(
r
1
,r
2
))
,
dladowolnychnieujemnychliczbrzeczywistych
r
1
,r
2
.
2.
K
(
r
1
)
[
K
(
r
2
)=
K
(max(
r
1
,r
2
))
,
dladowolnychnieujemnychliczbrzeczywistych
r
1
,r
2
.
3.
;2K
.
4.
{
(0
,
0)
}2K
.
k
!
zbiorów
k
elementowych(
k
¬
n
).
6.
(Nadobowi¡zkowe)Udowodni¢,»epo±róddowolnych2
n
−
1
+1podzbiorówzbioru
n
-elementowego
znajdziemyconajmniejjedn¡par¦(ró»nychmi¦dzysob¡)zbiorówrozl¡cznych.
7.
Sprawdzi¢,czywzory
A
×
(
B
\
C
)=(
A
×
B
)
\
(
A
×
C
)
A
×
(
B
[
C
)=(
A
×
B
)
[
(
A
×
C
)
A
×
A
)
\
(
B
×
C
)=(
A
\
B
)
×
(
A
\
C
)
s¡prawdziwe.
8.
Dla
A
X,B
Y
wyprowadzi¢wzorynadopełnieniazbiorów
A
×
Y,X
×
B,A
×
B
w
przestrzeni
X
×
Y.
9.
Wukładziewspółrz¦dnychnapłaszczy¹niezaznaczy¢nast¦puj¡cezbiory:
{
(
x,y
):
y>
ln(
x
2
−
1)
}\{
(
x,y
):
x
2
+
y
2
¬
4
}
{
(
x,y
):sin((
x
2
+
y
2
)
)
>
0
}
{
x
:(
x
2
=1)
_
([
x
]
jestpodzielnaprzez
7)
}×{
y
:sin(
y
)
¬
0
}
{
y
:cos(
·
[
y
])=1
}×{
x
:
x
2
=9
}
»e
A
n
+1
A
n
oraz
T
1
n
=0
A
n
=
;
.
Pokaza¢,»e
A
0
=
S
1
n
=0
(
A
n
\
A
n
+1
)
.
14.
Dlaci¡guzbiorów
A
n
definiujemy:
limsup
n
A
n
=
T
1
11.
Niech
A
t
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:
y
=
tx
}
.
Obliczy¢
S
t>
0
A
t
oraz
T
t>
0
A
t
.
12.
Niech
A
t
=[
t,
2]
×
[0
,t
]
.
Obliczy¢
S
t
2
(0
,
1)
A
t
.
13.
Zakładamy,»e
A
n
jestrodzin¡zbiorówindeksowan¡liczbaminaturalnymi.Ponadtozakładamy,
S
1
k
=
n
A
k
liminf
n
A
n
=
S
1
T
1
k
=
n
A
k
n
=0
n
=0
Wykaza¢,»e:
(a)
x
2
limsup
n
A
n
wtedyitylkowtedy,
gdyxjestelemnentemniesko«czeniewieluzbiorówA
n
.
(b)limsup
n
(
A
n
[
B
n
)=limsup
n
A
n
[
limsup
n
B
n
.
(c)limsup
n
(
A
n
\
B
n
)
limsup
n
A
n
\
limsup
n
B
n
.
1
m
+1
,n
+1
15.
Niech
A
m,n
=
dlawszystkichliczbnaturalnych
n,m.
Obliczy¢:
1
\
1
[
1
\
1
[
1
[
1
\
1
[
1
\
A
m,n
,
A
m,n
,
A
m,n
,
A
m,n
.
m
=0
n
=0
n
=0
m
=0
n
=0
m
=0
m
=0
n
=0
16.
Zakładamy,»e
A
n
oraz
B
n
s¡malej¡cymici¡gamizbiorów.Pokaza¢,»e
1
\
\
\
(
A
n
[
B
n
)=
A
n
[
B
n
.
n
=0
n
=0
n
=0
Policzy¢
S
K
.
3.
Udowodni¢,»edladowolnejrodzinyzbiorów
A
,
A
P
(
S
A
)
.
4.
Udowodni¢,»edowolny
n
-elementowyzbiórma2
n
podzbiorów.
5.
Udowodni¢,»edowolnyzbiór
n
-elementowyma
n
·
(
n
−
1)
·
...
·
(
n
−
k
+1)
1
1
Plik z chomika:
Jaszczomp
Inne pliki z tego folderu:
intro1.pdf
(93 KB)
intro10.pdf
(80 KB)
intro11.pdf
(125 KB)
intro2.pdf
(78 KB)
intro3.pdf
(88 KB)
Inne foldery tego chomika:
inne
PG
PP
PW
PWJSTK
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin