am2_2.pdf

(137 KB) Pobierz
am2-lz.dvi
ANALIZAMATEMATYCZNA2
MAP:2005,2013,2014,2025,2026,2031,2032
Listazadań
Semestrletni2008/09
Całkioznaczone
1 Korzystając z denicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne obliczyć podane całki oznaczone i
podać ich interpretację geometryczną:
2
3
2
a)
( x − 1) dx ; b)
x 2 dx ; c)
e x dx .
1
2
− 1
Wskazówka.Ad. b) .Zastosowaćwzory1+2+ ... + n = n ( n +1)
2
,1 2 +2 2 + ... + n 2 = n ( n +1)(2 n +1)
6
;
Ad. c) . Zastosować wzór na sumę ciągu geometrycznego a + aq + ... + aq n − 1 = a 1 − q n
1 − q oraz wykorzystać równość
e h − 1
h
lim
h → 0
=1;
2 Korzystając z twierdzenia NewtonaLeibniza obliczyć podane całki:
2
√
1
9
x + 1
4
x − 1
x +1 dx ; c)
dx
x 2 +9 ;
a)
3
√
dx ; b)
x
1
0
0
1
2
dx
x 2 − 1 ; e)
e
d)
ln xdx ; f)
sin 2 x cos xdx .
− 2
e
0
* 3 Korzystając z denicji całki oznaczonej uzasadnić podane równości:
a) lim
n !1
4 n
tg
4 n +tg 2
4 n + ... +tg n
=ln
√
2;
4 n
b) lim
n !1
1 3 +2 3 + ... + n 3
n 4
= 1
4 ;
c) lim
n !1
n ln (1+ n ) (2+ n ) ... ( n + n )
=ln4 − 1.
n n
4 Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
1
2 ln3
e x dx
1+ e 2 x , t = e x ; b)
3
xdx
√
a)
sin xe cos x dx, t =cos x ; c)
x +1 , 1+ x = t 2 ;
0
0
1
√
1
3
1
dx
3
x − x 3 dx
x 4
, x = 1
d)
√
x (4 − x ) , x = t 2 ; e)
9 − x 2 dx, x =3sin t ; f)
t .
0
1
3
1
4
5 Metodą całkowaniaprzez części obliczyć podane całki oznaczone:
1
4
a)
x 2 e 2 x dx ; b)
x sin2 xdx ; c)
x (1+cos x ) dx ;
0
0
0
2
1
e
ln x
x 2 dx .
d)
ln xdx ; e)
arcsin xdx ; f)
p
1
0
e
1
1
126511408.008.png 126511408.009.png
6 Narysować funkcje podcałkowe i obliczyć podane całki oznaczone:
2
1
a)
|| x |− 1 | dx ; b)
| e x − 1 | dx ;
− 2
− 1
2
x − x 2
3
c)
sgn
dx ; d)
x ⌊ x ⌋ dx .
− 2
1
7 Obliczyćwartościśredniepodanychfunkcjinawskazanychprzedziałachipodaćichinterpretacjegeome
tryczną:
a) f ( x )=
1
x 2 +4 , [0 , 2]; b) f ( x )=sin 3 x, [0 , ];
c) f ( x )=arctg x,
0 ,
√
3
; d) f ( x )=
x
1+ x 2 , [0 , 2].
8 Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uzasadnić podane
równości:
1
x 5 − 3 x 3 + x
x 4 +2 x 2 +1 dx =0; b)
x sin xdx
2+cos x 2 =2
x sin xdx
2+cos x 2 ;
a)
− 1
−
0
e
ln 1+sin x
5
1
c)
1 − sin x dx =0; d)
( x −⌊ x ⌋ ) dx =5
( x −⌊ x ⌋ ) dx .
− e
0
0
9 Obliczyć pola obszarów ograniczonychpodanymi krzywymi:
a) y =2 x − x 2 , x + y =0; b) y = x 3 , y =2 x ;
c) y = x 2 , y = 1
2 x 2 , y =3 x ;
8
x 2 +4 ; e) yx 2 =1 , y = x, y =8 x ; f) yx 4 =1 , y =1 , y =16.
d) 4 y = x 2 , y =
10 Obliczyć długości podanych krzywych:
a) y =2
√
x 3 , gdzie 0 x 11; b) y =ch x, gdzie 0 x 1;
1 − x 2 , gdzie 0 x 1; d) y =lncos x, gdzie 0 x
c) y =
4 .
11 Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych gur T wokół wskazanych osi:
a) T :0 x 2 , 0 y 2 x − x 2 , Ox ; b) T :0 x
4 , 0 y tg x, Ox ;
√
x 2 +4 , Oy ; d) T :0 x 1 , x 2 y √
5 , 0 y 2
c) T :0 x
√
x, Oy .
12 Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanychosi:
a) f ( x )=
√
4+ x, − 4 x 2 , Ox ; b) f ( x )=cos x, 0 x
2 , Ox ;
√
c) f ( x )=ln x, 1 x
3 , Oy ; d) f ( x )= | x − 1 | +1 , 0 x 2 , Oy .
13 a) Punkt materialny rozpoczął ruch prostoliniowy z prędkością początkową v 0 =10m/s i przyspiesze
niem a 0 = 2m / s 2 . Po czasie t 1 = 10s punkt zaczął poruszać się z opóźnieniem a 1 = − 1m / s 2 . Znaleźć jego
położenie po czasie t 2 =20s .
b) Dwie cząstki A i B położonew odległości d =36 zaczynajązbliżać się do siebie z prędkościamiodpowiednio
v A ( t )=10 t + t 3 , v B ( t )=6 t , gdzie t 0 . Po jakim czasie nastąpi ich zderzenie?
2
126511408.010.png
Całkiniewłaściwepierwszegorodzaju
14 Korzystając z denicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
1
1
1
dx
( x +2) 2 ; b)
dx
a)
√
3 x +5 ; c)
x sin xdx ;
3
1
1
1
0
1
dx
x 2 +4 ; f)
dx
x 2 − 4 x +13 .
d)
x (2 − x ) e
− x dx ; e)
0
−1
−1
15 Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego
rodzaju:
1
1
1
dx
dx
x ( x +1) dx
x 4 + x +1 ;
a)
√
x +1) ; b)
√
x − 3 ; c)
x (
0
10
1
1
x 2 +1
1
1
√
dx
x 4 + x 2 +1 ; e)
( x +sin x ) dx
x 3
2+cos x
dx
d)
; f)
√
.
x − 1
−1
2
16 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego ro
dzaju:
1
√
1
x 2 dx
√
1
x +1 dx
x ( x +1) ; b)
x +1 dx
√
a)
x 5 − 3 ; c)
1 − x 3 ;
1
5
−1
1
1
x 2 dx
x 3 − sin x ; f)
− 1
e 2 x +1
sin 2 1
dx
d)
x dx ; e)
.
e x − 1
1
1
−1
x 2 +4 oraz osią Ox .
b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D =
17 a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = 1
( x,y ) ∈
R 2 : x 0 , 0 y e
− x
.
c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y =
√
1
x dla x 1 wokół osi Ox ma
x
skończoną wartość.
Funkcjedwóchitrzechzmiennych
18 Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji:
a) f ( x,y )=
2 x − 5 y ; b) f ( x,y )= sin
3 x
x 2 + y 2
;
c) f ( x,y )=
x 2 y
;
x 2 + y 2
x 2 + y 2 − 25
d) f ( x,y )=ln x 2 + y 2 − 4
√
√
9 − x 2 − y 2 ; e) f ( x,y,z )=
x +
y − 1+
z − 2; f) f ( x,y,z )=arcsin
x 2 + y 2 + z 2 − 2
.
19 Podane wykresy (rys. a) – c) ) połączyć z odpowiadającymi im poziomicami (rys. A) – C) ) wykonanymi
dla h =2 , 3 2 , 1 , 1 2 , 0:
a)
z
√
b)
z
√
c)
z
z =
x 2 + y 2
z =
4 − ( x 2 + y 2 )
z = 2 ( x 2 + y 2 )
O
y
O
y
O
y
x
x
x
3
126511408.011.png 126511408.001.png 126511408.002.png 126511408.003.png
A)
y
B)
y
C)
y
2
x
2
x
2
x
20 Naszkicować wykresy podanych funkcji:
a) f ( x,y )=1 −
x 2 + y 2 ; b) f ( x,y )=
4 − ( x − 1) 2 − y 2 ; c) f ( x,y )=1+( x − 1) 2 +( y +1) 2 ;
d) f ( x,y )=sin y ;
e) f ( x,y )= x 2 − 1;
f) f ( x,y )=1 −| x | .
21 Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją:
a) lim
( x,y ) ! ( , 0)
sin 2 x
y 2 ; b) lim
( x,y ) ! (1 , 1)
x + y − 2
x 2 + y 2 − 2 ;
c) lim
( x,y ) ! (0 , 0)
x 2 y 2
x 4 + y 4 ; d) lim
( x,y ) ! (0 , 0)
x 2 y
x 4 + y 2 .
22 Obliczyć, podane granice funkcji:
a) lim
( x,y ) ! (0 , 0)
x 4 − y 4
x 2 − y 2 ; b) lim
x 2 y 2 − 4 x 2 − y 2 +4
xy − 2 x − y +2 ; c) lim
1 − cos
x 2 + y 2
;
( x,y ) ! (1 , 2)
( x,y ) ! (0 , 0)
( x 2 + y 2 ) 2
x 3 − y 3
d) lim
( x,y ) ! (0 , 0)
tg
; e) lim
( x,y ) ! (0 , 0)
xy 2
x 2 + y 2 ;
f) lim
( x,y ) ! (0 , 0)
x 2 + y 2
sin 1
x − y
23 Dobrać parametr a ∈
8
<
R tak, aby podane funkcjie były ciągłe w punkcie ( x 0 ,y 0 )=(0 , 0):
8
<
: sin xy
dla ( x,y ) =(0 , 0) ,
: xy 2
dla ( x,y ) =(0 , 0) ,
a) f ( x,y )=
y
b) f ( x,y )=
x 2 + y 2
a dla ( x,y )=(0 , 0);
a dla ( x,y )=(0 , 0);
: x 2 + y 2
dla ( x,y ) =(0 , 0) ,
: tg
x 2 + ay 2
dla ( x,y ) =(0 , 0) ,
c) f ( x,y )=
x 2 + y 2 +1 − 1
d) f ( x,y )=
x 2 +2 y 2
a
dla ( x,y )=(0 , 0);
1
dla ( x,y )=(0 , 0) .
Rachunekróżniczkowyfunkcjidwóchitrzechzmiennych
24 Korzystającz denicji obliczyć pochodne cząstkowerzędupierwszegopodanychfunkcji wewskazanych
punktach:
8
<
a) f ( x,y )= x 2 − xy +1, (0 , 1); b) f ( x,y )= x + y
: x 2 + y 3
dla ( x,y ) =(0 , 0)
x , (1 , 1); c) f ( x,y )=
x 2 + y 2
, (0 , 0);
0 dla ( x,y )=(0 , 0)
d) f ( x,y,z )= xy 2
z , (0 , 1 , 1); e) f ( x,y,z )= y
z
x , (1 , 1 , 1) .
25 Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
a) f ( x,y )= x 2 + y 2
xy
;
b) f ( x,y )=arctg 1 − xy
x + y ; c) f ( x,y )= e
sin x ;
d) f ( x,y,z )= x 2 + xz
y + yz 3 ; e) f ( x,y,z )=
x
x 2 + y 2 + z 2 ; f) f ( x,y,z )=sin( x cos( y sin z )).
4
xy .
8
<
8
<
126511408.004.png 126511408.005.png 126511408.006.png
26 Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne
cząstkowe mieszane są równe:
a) f ( x,y )=sin
x 2 + y 2
;
b) f ( x,y )= xe xy ;
c) f ( x,y )= x + y
x ;
d) f ( x,y )= y ln xy ;
e) f ( x,y,z )=
x 2 + y 2 + z 2 ; f) f ( x,y,z )=ln
1
x 2 + y 4 + z 6 +1
.
27 Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji:
a) @ 3 f
@y 2 @x@y , f ( x,y )= x + y
@ 4 f
x − y ;
@x@y@z , f ( x,y,z )= x 2 y 3
z ; d)
@ 5 f
@x@y 2 @z 2 , f ( x,y,z )= e xy + z .
28 Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wy
kresu:
a) z = x 2
y +1 , ( x 0 ,y 0 ,z 0 )=(1 , 3 ,z 0 ); b) z = e x +2 y , ( x 0 ,y 0 ,z 0 )=(2 , − 1 ,z 0 );
c) z = arcsin x
− 1
3
2 ,z 0
arccos y , ( x 0 ,y 0 ,z 0 )=
2 ,
; d) z = x y , ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) =(2 , 4 ,z 0 ).
29 a) Na wykresie funkcji z =arctg x
y wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległado
płaszczyzny x + y − z =5 .
a) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z =arcctg 1 − xy
x + y , która jest prostopadła do
prostej x = t
2 , y = t
2 , z = t , gdzie t ∈
R .
30 Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżone wartościpodanych wyrażeń:
a) (1 . 02) 3 (0 . 997) 2 ; b) 3
(2 . 93) 3 +(4 . 05) 3 +(4 . 99) 3 ;
c) 2 . 97 e 0 . 05 ;
d) cos0 . 05
1 . 96 .
31 a) Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością ± 1 mm. Otrzymano h = 350 mm
oraz r =145mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V tego stożka?
b) Krawędzieprostopadłościanumajądługości a =3m, b =4m, c =12m.Obliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni
się długość przekątnej prostopadłościanu d , jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.
c) Oszacować błąd względny V objętości prostopadłościamu V , jeżeli pomiaru jego boków x , y , z dokonano z
dokładnością odpowiednio x , y , z .
32 Korzystając z denicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i
kierunkach:
√
√
2
2 ,
2
2
a) f ( x,y )=2 | x | + | y | , ( x 0 ,y 0 )=(0 , 0) ,
~ v =
;
√
2 , 1
3
b) f ( x,y )= 3
xy, ( x 0 ,y 0 )=(1 , 0) ,
~ v =
;
2
c) f ( x,y,z )= x 2 + yz, ( x 0 ,y 0 ,z 0 )=( − 1 , 0 , 1) , ~ v =
13 , 4
3
13 , 12
.
13
33 Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
5
@x@y 2 , f ( x,y )=sin xy ; b)
c) @ 3 f
√
√
126511408.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin