METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH (MEB).
Za prekursorów metody elementów brzegowych uważa się zwykle Somigliana (1885), Fredholma (1903), który opublikował pracę dotyczącą zastosowania równań całkowych do problemu brzegowego w teorii potencjału, oraz Muskhelishvili’ego (1953), Smirnova (1964) i Kupradze (1965), którzy zajmowali się sformułowaniem równań całkowych i ich właściwości, przybliżonymi rozwiązaniami oraz ich zastosowaniem m.in. w teorii sprężystości. Jako początek powstania metody można przyjąć publikacje: Jawsona (1963) i Symma (1963), w których to publikacjach autorzy zaproponowali bezpośrednie sformułowanie metody do rozwiązania zagadnienia potencjału przy wykorzystaniu tożsamości Greena, a metodę nazwali Boundary Integral Equation Methods. Jednakże rozwój metody nastąpił dopiero w latach 70-tych wraz z rozwojem komputerów i technik obliczeniowych. Nazwa metoda elementów brzegowych (Boundary Element Method) została wprowadzona przez Banerjeego i Butterfielda (1977) w pracy poświęconej zastosowaniu tej metody w zagadnieniach mechaniki gruntów oraz przez Brebbiego (1977) dla opisu problemu potencjału. Brebbia i inni (1977,1978) w swoich pracach wykazali, że metoda elementów skończonych i elementów brzegowych, jak również inne metody numeryczne, mogą być traktowane jako szczególne zastosowania ogólnej teorii ważonych reziduów. Omawiając w skrócie historię tej metody, należy także wspomnieć o pracach Zienkiewicza i innych (1977) nad łączeniem MES i MEB. Autorzy jako pierwsi wskazywali korzyści płynące z jednoczesnego zastosowania tych obydwu metod. Począwszy od wczesnych lat 80-tych, odnotowuje się ciągły wzrost zastosowań tej metody w coraz nowszych dziedzinach nauki i techniki, m.in. w ogólnej teorii potencjału, mechanice płynów, akustyce, teorii pola magnetycznego i elektrycznego, mechanice ośrodków porowatych, hydrogeologii, mechanice i dynamice budowli, teorii sprężystości i plastyczności i wielu innych dziedzinach.
Metoda elementów brzegowych ma dwa podstawowe sformułowania - bezpośrednie i pośrednie. To pierwsze korzysta z techniki ważonych reziduów i teorii Greena. W drugim, określanym także mianem metody źródła, wykorzystuje się pojęcie gęstości źródła, która to gęstość nie jest wielkością fizyczną, oraz teorię potencjału warstwy pojedynczej lub podwójnej. Poniżej będą w skrócie omówione te dwie metody.
IX.4.2 Bezpośrednie sformułowanie MEB.
Zasada ważonych reziduów jest ogólnym pojęciem techniki stosowanej szeroko, w różnych metodach numerycznych do rozwiązania problemu zdefiniowanego równaniem różniczkowym, zwykle o pochodnych cząstkowych. Metoda polega na minimalizacji błędu- reziduum, wynikającego z rozwiązania przybliżonego w obszarze Ω poprzez wyrażenie całkowe, ważone za pomoc funkcji testowej :
. 168)
W zależności od wyboru funkcji testowej równanie to stanowi podstawę m.in. metody kolokacji, metody momentów, metody Galerkina (w tym metody elementów skończonych) oraz metody najmniejszych kwadratów. Również metoda elementów brzegowych w sformułowaniu bezpośrednim posługuje się tą techniką.
PRZYKŁAD 1.
Zasadę formułowania równań metody elementów brzegowych najlepiej wyjaśnić jest na 1-wymiarowym przykładzie niejednorodnego równania różniczkowego z operatorem w postaci:
. 169)
Przyjmijmy następującą postać równania oraz warunki brzegowe (Gaul 2003, Brebbia 1980):
, 170)
. 171)
Analityczne rozwiązanie tego równania dane jest wzorem:
, 172)
a po uwzględnieniu warunków brzegowych i wyznaczeniu stąd stałych C1 i C2 otrzymuje się rozwiązanie w postaci:
. 173)
Zastosowanie metody ważonych reziduów do równania prowadzi do następującego wyrażenia:
. 174)
Istotą MEB jest przekształcenie wyrażenia poprzez całkowanie przez części, aby operator różniczkowania działał na funkcję testową, której postać jest znana. Ponieważ równanie jest rzędu drugiego, to całkowanie należy przeprowadzić dwukrotnie. Całkowanie pierwszego członu równania prowadzi do wyrażenia:
. 175)
Po drugim całkowaniu otrzymuje ono następującą postać:
. 176)
Wstawiając następnie otrzymaną zależność do równania otrzymuje się:
, 177)
w którym występują nieznane wartości brzegowe pochodnej funkcji .
W metodzie elementów brzegowych poszukuje się rozwiązania fundamentalnego operatora różniczkowania, który oznacza się zwykle jako i który dla naszego zadania ma postać:
, 178)
gdzie jest dystrybucją Diraca, oznacza punkt, w którym przyłożony jest potencjał źródłowy. Należy zauważyć, że operatory i są tożsame i nazywa się je samosprzężonymi [Burczyński 1995].
Dystrybucja Diraca ma tę właściwość, że:
. 179)
Przyjmując następnie, że , równanie możemy przepisać w postaci:
. 180)
Stosując następnie zależność i do otrzymujemy:
. 181)
Rozwiązaniem równania , stanowiącego przypadek równania Helmholza, w całej przestrzeni jest funkcja:
,
którą to funkcję należy następnie podstawić do równania . Oznaczając oraz uwzględniając, że funkcja przyjmuje wartość zero na brzegu, otrzymujemy:
182)
Wyrażenie reprezentuje wartość potencjału w punkcie w zależności od brzegowych, nieznanych wartości i . Całka po obszarze, stanowiąca ostatni człon tego równania, nie zawiera niewiadomych i może być w obliczeniach traktowana jako stała. Wyznaczenia wartości na brzegach dokonuje się przez umieszczenie punktu na brzegu:
, 183)
. 184)
Po obliczeniu wartości całek w wzorach i , które wynoszą odpowiednio:
oraz
można obliczyć poszukiwane wartości :
Aby móc obliczyć wartość funkcji w dowolnym punkcie wewnątrz obszaru, należy wprowadzić wyznaczone wartości brzegowe do równania , które stanowi ostateczne rozwiązanie postawionego problemu:
185)
W celu porównania rozwiązania przybliżonego MEB z rozwiązaniem analitycznym obliczmy wartości wyrażeń i w środku obszaru [0,1]:
Jak widać, otrzymana wartość jest zgodna z rozwiązaniem dokładnym, danym wzorem .
Przechodząc teraz do ogólnego sformułowania MEB za pomocą ważonych reziduów, możemy sformułować ogólną postać równania różniczkowego odpowiadającemu równaniu jako:
oraz stosując wcześniej opisaną zasadę minimalizacji reziduum:
. 186)
Obszar został przedstawiony na rysunku 9.61 jako ograniczony brzegiem , na którym spełnione są warunki brzegowe Neumana i Dirichleta, tak, że .
Rys. 9.61. Definicja brzegu obszaru do zagadnienia potencjału.
Różniczkując wyrażenie dwukrotnie przez części lub stosując tożsamość Greena otrzymuje się wyrażenie całkowe:
, 187)
gdzie oraz oznaczają operatory brzegowe w odniesieniu do funkcji zaś i odpowiadające im operatory działające na funkcję .
Następnym krokiem rozwiązania jest przyjęcie odpowiedniego rozwiązania fundamentalnego w postaci:
. 188)
Przez zastąpienie funkcji wagi funkcją i korzystając z właściwości delty Diraca otrzymuje się równanie pozwalające obliczyć wartości wewnątrz obszaru w zależności od wartości brzegowych funkcji u, określonych poprzez warunki brzegowe oraz :
. 189)
Metoda elementów brzegowych pozwala również rozwiązywać zagadnienia, w których na części brzegu określony jest warunek Dirichleta, a na pozostałej Neumana, co jest częstym przypadkiem problemów inżynierskich. Procedura obliczeniowa wymaga przeniesienia punktu na brzeg, aby w pierwszym kroku obliczyć brakujące wartości brzegowe, tak jak to uczyniliśmy w przytoczonym jednowymiarowym przykładzie. Następnie można już wyliczyć wartości leżące w dowolnym punkcie wewnątrz obszaru obliczeniowego.
Procedura ta zostanie przedstawiona szczegółowo na przykładzie zagadnienia potencjału wyrażonego równaniami Laplace’a i Poissona.
IX.4.3 Zagadnienie przepływu potencjalnego.
Wiele problemów w mechanice może być wyrażonych za pomocą równań opisujących zachowanie pola potencjalnego, m.in. dla przypadku przepływu potencjalnego cieczy, przepływu ustalonego ciepła, w zagadnieniach filtracji, przepływu strumienia elektrycznego i magnetycznego, skręcania prętów. Podstawowe równania różniczkowe opisujące te zjawiska są proste i z tego względu pierwsze zastosowania MEB dotyczyły rozwiązania właśnie tych zagadnień.
Teoria potencjału opiera się na rozwiązaniu równania Laplace’a oraz Poissona. W rozdziale IV przedstawione zostało dwuwymiarowe zagadnienie przepływu filtracyjnego przez ośrodek jednorodny oraz izotropowy. W niniejszym punkcie przedstawimy to samo zagadnienie w odni...
madziaipawelek