Teoria pola
Niech
– obszar przestrzenny, ;
– pole skalarne, ;
– pole wektorowe, .
Wektorowym operatorem różniczkowym (operatorem Hamiltona) nazywamy symboliczny wektor ,
.
Korzystając z symbolu łatwo podać definicje funkcji pola skalarnego F i wektorowego :
· gradient pola F
,
· dywergencja pola
· rotacja pola
Niech S – powierzchnia dwustronna,
Strumieniem pola wektorowego przez powierzchnię S w kierunku wersora nazywamy całkę powierzchniową zorientowaną
Niech K – krzywa zamknięta
Cyrkulacją pola wzdłuż krzywej zamkniętej K nazywamy całkę krzywoliniową skierowaną
, gdzie- wersor styczny do krzywej K
skierowany zgodnie z tą krzywą.
Wzór Stokesa
, gdzie krzywa K i powierzchnia S mają
zgodną orientację.
Wzór Gaussa – Ostrogradskiego
Definicja
Niech ,
Pole wektorowe nazywamy polem potencjalnym, gdy , .
Funkcję U nazywamy potencjałem skalarnym pola wektorowego .
Jeśli V – jednospójny powierzchniowo, to
- potencjalne
Ponadto potencjał U wyznaczamy ze wzoru
gdzie jest ustalonym punktem,
Przykład
Obliczyć pracę wykonaną przez siłę działającą wzdłuż obwodu trójkąta DABC o wierzchołkach A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
Praca
Aby skorzystać z twierdzenia Stokesa wyznaczmy wersor normalny do trójkąta ABC. Płaszczyzna zawierająca ten trójkąt ma równanie
a więc wektor normalny oraz wersor normalny mają współrzędne:
, .
Ponadto
Zatem
gdzie
przy czym D jest rzutem DABC na płaszczyznę OXY.
Stąd zamieniając całkę powierzchniową niezorientowaną na całkę podwójną otrzymujemy
3
namanjali