Wytrzymałość materiałów metody energetyczne.pdf

(5367 KB) Pobierz
1
Metody energetyczne
Przykład 1
Wyznaczyć wspłczynnik
dla przekroju prostokątnego, ktry wzdłuż osi y ma wymiar b , wzdłuż osi
z
z - h .
Funkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem
2
b
h
( )
2
S y
z
z
. Po podstawieniu do definicji otrzymamy
2
4
h
2
( )
( )
2
2
4
2
2
A
S
z
bh
b
h
h
z
1
1
1
y
4
d
A
z
b
d
z
36
1
,
2
.
z
2
2
2
6
4
16
2
16
24
80
I
b
z
b
h
2
y
h
A
b
2
144
Przykład 2
Dla wspornika stalowego jak na rys. P2
zbadać wpływ sił wewnętrznych na
wartość energii sprężystej w zależności
od proporcji
l
. Wspłczynnik
h
Poissona przyjąć
= 0,3.
Siły wewnętrzne będą określone
zależnościami
N
P
,
T
P
,
M
Px
.
z
y
Rys. P2. Schemat statyczny
Energię sprężystą wyznaczamy ze
wzoru
2
2
2
2
2
3
2
M
d
x
N
d
x
T
d
x
P
l
2
P
l
0
,
6
P
l
2
1
y
z
U
U
U
U
N
M
T
z
3
2
EA
2
EI
2
GA
2
Ebh
Ebh
y
z
Ebh
y
l
l
l
2
3
2
P
l
2
l
1
,
56
l
P
2
3
2
lh
4
l
3
,
12
lh
.
3
3
Eb
2
h
h
h
2
Ebh
Wyznaczmy udziały poszczeglnych sił w całkowitej energii sprężystej
l
2
U N
lh
h
,
( )
2
3
3
U
4
,
12
lh
4
l
l
l
4
,
12
4
h
h
( )
3
l
U
3
4
l
M
h
y
,
( )
2
3
3
U
4
,
12
lh
4
l
l
l
1
,
03
h
h
779535976.040.png 779535976.041.png 779535976.042.png 779535976.043.png 779535976.001.png
 
2
l
2
3
,
12
U z
3
,
12
lh
h
T
.
( )
2
3
3
U
4
,
12
lh
4
l
l
l
4
,
12
4
h
h
l
W poniższej tabeli zestawiono wyznaczone udziały dla rżnych stosunkw
h
l
1
5
10
15
20
25
h
1
1
1
1
U N
0,1232
0,0096
0,0025
0,0012
0,0007
0,0004
U
U
M
y
0,4926
0,9604
0,9898
0,9954
0,9974
0,9984
U
U z
T
0,3842
0,0300
0,0077
0,0034
0,0019
0,0012
U
l
Według przyjętych powszechnie kryteriw za belkę uważamy konstrukcję o stosunku
10
.
h
Z zamieszczonych wynikw widzimy, że w zginanych konstrukcjach prętowych można pominąć wpływ
sił osiowych i poprzecznych na energię sprężystą.
Przykład 3
Wyznaczyć przemieszczenia:
Î z twierdzenia Castigliana, w Î ze wzoru Maxwella-Mohra Î rys. P3.
Przyjąć EI = const.
Wyznaczamy reakcje
l
C
M
0
R
0
,
D
M
0
M
R
l
Pl
0
B
A
M
R
P
,
A
l
M
0
M
R
l
2
Pl
0
A
B
M
R
2
P
.
B
l
Zapisujemy funkcje momentw zginających
w przedziałach
M
M
M
R
x
M
P
x
,
AB
A
1
1
l
Rys. P3. Schemat statyczny. Wykresy momentw
M
Pl
R
R
x
Pl
Px
,
BC
A
B
2
2
M
R
x
0
.
DC
D
3
Aby wyznaczyć zmianę kąta z twierdzenia Castigiana musimy wykonać rżniczkowanie po momencie
zginającym przyłożonym w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia. Tak się składa, że
779535976.002.png 779535976.003.png 779535976.004.png 779535976.005.png 779535976.006.png 779535976.007.png 779535976.008.png 779535976.009.png 779535976.010.png 779535976.011.png 779535976.012.png 779535976.013.png 779535976.014.png 779535976.015.png 779535976.016.png 779535976.017.png 779535976.018.png 779535976.019.png 779535976.020.png 779535976.021.png
 
3
dysponujemy odpowiednią zmienną Î M . Energię sprężystą możemy ograniczyć do części pochodzącej od
zginania.
l
l
l
M
M
1
M
M
M
i
i
AB
BC
DC
d
x
M
d
x
M
d
x
M
d
x
i
AB
1
BC
2
DC
3
EI
M
EI
M
M
M
i
l
0
0
0
i
l
l
1
1
M
x
1
2
M
M
x
1
M
P
x
1
d
x
M
P
x
P
d
x
1
1
1
1
EI
l
l
EI
l
l
l
0
0
2
2
1
2
M
l
M
l
l
M
Pl
Ml
P
P
.
EI
l
2
l
3
EI
3
6
Potrzebne we wzorze Maxwella-Mohra momenty od obciążenia jednostkowego w miejscu i na kierunku
szukanego przemieszczenia w uzyskamy, podstawiając w wyznaczonych wcześniej rwnaniach
momentw M = 0, P = 1
M
x
,
M
l
x
,
M
0
.
AB
BC
DC
1
2
Wyznaczamy przemieszczenie ze wzoru Maxwella-Mohra, ograniczając się jedynie do zginania
l
l
M
M
1
M
i
i
w
d
x
M
P
x
x
d
x
Pl
Px
l
x
d
x
i
1
1
1
2
2
2
EI
EI
l
i
l
0
0
i
l
l
1
M
1
2
2
Mx
P
x
d
x
P
l
2
lx
x
d
x
1
1
2
2
EI
l
0
0
2
3
3
2
1
l
M
l
l
l
M
2
Pl
3
3
M
P
Pl
Pl
P
.
EI
2
l
3
3
EI
6
3
Przykład 4
Metodą Castigliana wyznaczyć przemieszczenie w w belce obciążonej jedynie momentem zginającym M
Î rys. P4. Przyjąć EI = const.
W przeciwieństwie do przykładu 3 nie
dysponujemy siłą uoglnioną w miejscu
poszukiwanego przemieszczenia. Przyłżmy
zatem
P , ktra umożliwi
wykonanie rżniczkowania. Funkcje
momentw zginających w przedziałach
wyznaczamy na podstawie przykładu 3 i
siłę
0
Rys. P4. Schemat statyczny
obliczamy szukane przemieszczenie
M
*
*
*
M
M
P
x
,
M
P
l
P
x
,
M
0
,
AB
1
BC
2
DC
l
779535976.022.png 779535976.023.png 779535976.024.png 779535976.025.png 779535976.026.png
4
l
*
U
M
P
0
M
1
x
i
i
1
w
d
x
M
1
x
d
x
i
1
1
*
*
EI
EI
l
P
P
i
l
0
i
l
1
2
2
2
M
x
M
l
l
Ml
x
d
x
.
1
1
EI
l
EI
2
3
6
EI
0
P .
Znak minus świadczy, że przemieszczenie jest przeciwne do założonego zwrotu siły
Przykład 5
Ze wzoru Maxwella-Mohra wyznaczyć
przemieszczenie
w belce obciążonej
jedynie siłą P Î rys. P5. Przyjąć EI = const.
Funkcje momentw zginających i momentw
od obciążenia jednostkowego w przedziałach
wyznaczamy na podstawie przykładu 3
i obliczamy szukane przemieszczenie
Rys. P5. Schemat statyczny
M
Px
,
M
Pl
Px
,
M
0
,
AB
1
BC
2
DC
x
1
M
1
,
M
0
,
M
0
,
AB
BC
DC
l
l
l
2
1
2
2
2
M
M
1
x
P
x
P
l
l
Pl
i
i
1
d
x
Px
1
d
x
x
d
x
.
i
1
1
1
1
EI
EI
l
EI
l
EI
2
3
6
EI
i
l
0
0
i
Znak minus świadczy, że przemieszczenie jest przeciwne do założonego zwrotu momentu jednostkowego
M .
Przykład 6
Metodą Castigliana wyznaczyć rozwarcie rozciętego
pierścienia Î rys. P6.
Opis uzależnimy od zmiennej kątowe
. Elementarna
długość pręta wyniesie
d
l
r
d
.
Moment zginający będzie rwny
( )
M
Px
Pr
1
cos
.
Obliczamy energię sprężystą
2
π
2
2
3
M
d
l
P
r
2
U
1
2
cos
cos
d
l
2
EI
2
EI
l
0
Rys. P6. Schemat statyczny
779535976.027.png 779535976.028.png 779535976.029.png 779535976.030.png 779535976.031.png 779535976.032.png 779535976.033.png
5
2
π
2
π
2
3
2
3
2
3
P
r
1
1
P
r
3
1
3
π
P
r
1
2
cos
cos2
d
l
2
sin
sin2
2
EI
2
2
2
EI
2
4
2
EI
0
0
i poszukiwane przemieszczenie
3
U
3
π
Pr
f
.
P
EI
Przykład 7
Dla ramy Î rys. P7.1 wyznaczyć reakcje:
H - z twierdzenia Menabrei,
H z zasady Bettiego. Przyjąć
EI = const. dla wszystkich prętw.
Z rwnań statyki otrzymamy:
2
ql
M
0
V
,
B
A
2
l
2
ql
pion
0
V
V
,
B
A
2
l
poz
0
H
qh
H
.
B
A
Momenty zginające w przedziałach będą rwne:
1
qx
M
x
H
x
,
1
A
1
2
2
2
2
qh
qh
qh
M
x
H
h
V
x
H
h
x
,
2
A
A
2
A
2
2
2
2
l
Rys. P7.1. Schemat statyczny
M
x
H
x
H
qh
x
.
3
B
3
A
3
Oblicza się reakcję z twierdzenia Menabrei
h
l
h
U
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
M
x
1
1
2
2
3
3
0
d
x
d
x
d
x
1
2
3
H
EI
H
EI
H
EI
H
A
A
A
A
0
0
0
h
l
h
1
2
2
1
qx
qh
qh
2
3
H
x
x
d
x
H
h
x
h
d
x
H
qh
x
d
x
A
1
1
1
A
2
2
A
3
EI
2
2
2
l
0
0
0
3
4
3
3
3
1
H
h
qh
qh
l
qh
l
h
2
A
H
h
l
H
qh
A
A
EI
3
8
2
4
3
1
2
h
3
l
3
h
12
l
6
l
8
h
2
3
H
h
qh
,
A
EI
3
24
qh
11
h
18
l
H A
.
8
2
h
3
l
779535976.034.png 779535976.035.png 779535976.036.png 779535976.037.png 779535976.038.png 779535976.039.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin