Rozdz_8C.pdf
(
172 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 39
Na mocy wzoru o rŇniczkowaniu caþki o zmiennych granicach wyprowadzamy
zaleŇnoĻci:
h
2
h
2
r
h
h
Ð
r
d
z
=
Ð
d
z
+
r
2
-
r
1
,
t
t
2
t
1
t
h
h
1
1
h
2
h
2
h
h
( )
Ð
r
V
d
z
=
Ð
r
V
d
z
+
r
U
2
-
r
U
1
,
x
x
x
x
2
x
2
x
1
x
x
h
h
1
1
h
2
h
2
( )
h
h
Ð
r
V
d
z
=
Ð
r
V
d
z
+
r
U
2
-
r
U
1
,
y
y
y
y
2
y
2
y
1
y
1
y
h
h
1
1
ktre po dodaniu stronami zezwalajĢ na uzyskanie nastħpujĢcego zwiĢzku
h
2
h
2
h
2
Ð
r
d
z
+
Ð
r
V
d
z
+
Ð
r
V
d
z
=
t
x
x
y
y
h
h
h
1
1
1
h
h
h
=
Ð
r
d
z
+
Ð
r
V
d
z
+
Ð
r
V
d
z
=
r
U
-
r
U
,
(8.61)
t
x
x
y
y
2
z
2
1
z
1
0
0
0
gdyŇ prħdkoĻci elementw oleju znajdujĢcych siħ na powierzchniach G
1
i G
2
sĢ
okreĻlone pochodnymi substancjalnymi funkcji (8.54)
d
h
1
2
h
1
2
h
1
2
h
1
2
=
+
U
+
U
d
t
t
x
1
2
x
y
1
2
y
i muszĢ speþniaę na tych powierzchniach warunki kinematyczne
d
z
=
U
.
d
t
z
1
2
z
=
h
1
,
2
UĻredniajĢc rwnieŇ għstoĻę w przekroju poprzecznym filmu olejowego, po
podstawieniu wyraŇeı okreĻlajĢcych skþadowe prħdkoĻci (8.59) do zwiĢzku (8.61),
otrzymamy znane r w n a n i e R e y n o l d s a
Æ
h
3
r
p
Ö
+
Æ
h
3
r
p
Ö
=
x
m
x
y
m
y
=
12
h
r
+
6
( )
( )
( )
.
U
+
U
(
r
h
)
+
6
U
+
U
(
r
h
)
-
12
r
U
-
U
(8.62)
t
x
1
x
2
x
y
1
y
2
y
z
2
z
1
228
1
Ä
Ô
Ä
Ô
DoþĢczajĢc do tego rwnania uproszczone rwnanie energii, np.
2
T
Ç
Ä
V
Ô
2
Ä
V
Ô
2
×
-
l
=
m
È
É
Å
Æ
x
Õ
Ö
+
Å
Æ
y
Õ
Ö
Ø
Ù
,
2
z
z
z
rwnanie stanu
r
=
r
( T
p
)
oraz zaleŇnoĻci dla lepkoĻci
m
=
m
( T
p
)
i przewodnoĻci
l otrzymamy zamkniħty ukþad rwnaı dla ciĻnienia i temperatu-
ry. Pozostaje jeszcze problem przyjħcia odpowiednich warunkw brzegowych, ktre
muszĢ okreĻlaę rozkþad ciĻnienia (lub jego gradientu) na granicy filmu smarnego
oraz rozkþad strumienia ciepþa na powierzchniach G G
1
=
l
( T
p
)
,
i .
ĘWICZENIA
Przykþad 8.1. Sformuþowaę zagadnienie jednowymiarowego ruchu powietrza
znajdujĢcego siħ w obszarze ograniczonym dwiema rwnolegþymi Ļciankami. Jedna
Ļcianka jest nieruchoma, natomiast druga porusza siħ w kierunku normalnej z prħd-
koĻciĢ okreĻlonĢ zaleŇnoĻciami
Í
Í
V b t t
- -
(
)
2
dla
0
t t
2
,
s
max
max
max
V
=
s
0
dla
t t
>
2
,
max
w ktrych V
smax
,
b
i
t
max
sĢ znane. Droga ruchomej Ļcianki i obszar W wypeþniony
powietrzem zostaþy przedstawione schematycznie na rys. 8.7.
Powietrze w chwili poczĢtkowej jest w stanie spoczynku i zadane sĢ jego para-
metry spiħtrzenia. Temperatura obu Ļcianek, rwna temperaturze spiħtrzenia powie-
trza, jest jednakowa i staþa w czasie. Pomijamy zewnħtrzne pole siþ masowych,
a powietrze traktujemy jako gaz doskonaþy w sensie termodynamicznym.
W rozwaŇanym zagadnieniu wystħpujĢ cztery funkcje niewiadome:
V
=
V
(
t
,
x
)
,
r
=
r
(
t
,
x
)
,
p
=
p
(
t
,
x
)
,
T
=
T
(
t
,
x
)
,
ktre przy przyjħtych zaþoŇeniach sĢ okreĻlone nastħpujĢcym ukþadem rwnaı:
r
+
( )
,
r
V
=
0
t
x
r
Æ
V
+
V
V
Ö
=
-
p
+
4
Æ
m
V
Ö
,
t
x
x
3
x
x
229
cieplnej
Ê
Ä
Ô
Ä
Ô
Rys. 8.7
Ä
T
T
Ô
Ä
T
Ô
V
4
Ä
V
Ô
2
r
c
Æ
+
V
Ö
=
Æ
l
Ö
-
p
+
m
Æ
Ö
,
v
t
x
x
x
x
3
x
p
=
(
c
-
c
)
T
.
r
p v
Ukþad rwnaı uzupeþnimy warunkami poczĢtkowymi:
V
(
0
x
)
=
0
,
T
(
0
x
)
=
T
0
,
r
(
0
x
)
=
r
0
s
oraz warunkami brzegowymi:
V
(
t
,
x
s
)
=
V
s
(
t
)
,
V
(
t
,
a
)
=
0
,
T
(
t
,
x
s
)
=
T
(
t
,
a
)
=
T
,
s
= sĢ znane.
Warto zwrcię uwagħ na fakt, Ňe w warunkach brzegowych i poczĢtkowych nie
wystħpuje ciĻnienie oraz, Ňe w warunkach brzegowych nie wystħpuje għstoĻę.
x
d
V
s
d
t
Przykþad 8.2. Ciecz lepka przepþywa pod dziaþaniem staþego ciĻnienia miħdzy
dwiema poziomymi nieograniczonymi pþaszczyznami znajdujĢcymi siħ w odlegþoĻci
2
h jedna od drugiej (rys. 8.8). OkreĻlię rozkþad prħdkoĻci w cieczy.
Zakþadamy, Ňe rozwaŇany ruch jest ustalonym ruchem pþaskim, w ktrym przyj-
mujemy ponadto V
y
= 0. Z rwnania ciĢgþoĻci oraz rwnania (8.49c) wynika zatem,
230
dla x x a
przy czym
V t
s
( )
oraz
Rys. 8.8
Ňe V V y
x x
= ( ) oraz
p = ruch cieczy opisuje wiħc rwnanie rŇniczkowe zwy-
p
(x
)
;
czajne
d
2
V
1
d
p
K
x
=
=
-
,
2
n
r
d
x
n
d
y
uzyskane z rwnania Naviera-Stokesa (8.49b). RozwiĢzanie tego rwnania moŇemy
zapisaę w postaci
V
x
=
K
h y
( )
( ) ( )
2
- +
2
1
2
y
h
U U U U
- + +
1
2
,
2
n
2
1
2
1
przyjmujĢc nastħpujĢce warunki brzegowe:
V h U V h U
x
( )
- =
1
,
x
( )
=
2
.
W szczeglnym przypadku, gdy U U
1
= = otrzymujemy tzw. pþaski przepþyw
2
0
PoiseuilleÓa (rys. 8.9a), gdy zaĻ
d
i
U
1
0
p
d
x
=
0
=
- przepþyw CouetteÓa (rys.
8.9b).
Rys. 8.9
231
Przykþad 8.3. Zbadaę w polu siþ ciħŇkoĻci ruch warstwy cieczy lepkiej o grubo-
Ļci h - ograniczonej od gry powierzchniĢ swobodnĢ, a od doþu nieruchomĢ pþasz-
czyznĢ, nachylonĢ do poziomu pod kĢtem
.
a
x mierzonych - odpowiednio - wzdþuŇ nie-
ruchomej pþaszczyzny i w kierunku normalnym do niej, skþadowe siþ masowych sĢ
rwne:
, y
,
F
x
=
g
sin
a
,
F
y
=
-
g
cos
a
.
Po przyjħciu takich samych zaþoŇeı jak w przykþadzie poprzednim dla pþaskiego
przepþywu CouetteÓa, rwnania ruchu sprowadzajĢ siħ do nastħpujĢcego ukþadu
rwnaı rŇniczkowych zwyczajnych:
d
2
V
r
g
x
=
-
sin
a
,
2
m
d
y
d
p
=
-
r
g
cos
a
.
d
y
RozwiĢzania tego ukþadu rwnaı:
r
g
y
2
V
x
=
-
sin
a
+
C
y
+
C
,
m
1
2
p
=
-
r
g
y
cos
a
+
D
1
dla warunkw brzegowych:
V
x
=
0
dla
y
=
0
,
d
V
x
=
0
,
p
=
p
dla
y
=
h
,
d
y
a
sĢ nastħpujĢce:
V
=
r
g
(
2
h
y
-
y
2
)
sin
a
,
x
2
m
p
=
p
a
+
(
h
-
y
)
r
g
cos
a
.
Obliczymy jeszcze wydatek objħtoĻciowy i ĻredniĢ prħdkoĻę przepþywu:
h
r
gh
3
sin
a
Q
=
Ð
V
d
y
=
,
x
3
m
0
232
We wspþrzħdnych prostokĢtnych
Plik z chomika:
darius037
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_12B.pdf
(133 KB)
Rozdz_12A.pdf
(128 KB)
Rozdz_11C.pdf
(121 KB)
Rozdz_11B.pdf
(301 KB)
Rozdz_11A.pdf
(205 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin