C.pdf

(233 KB) Pobierz
PRZEDMOWA
Doda-
tek
C
ROZWIĄZANIE UOGÓLNIONEGO PROBLEMU WŁASNEGO METODĄ
ITERACJI ODWROTNYCH
1
ROZWIĄZANIE UOGÓLNIONEGO PROBLEMU WŁASNEGO METODĄ
ITERACJI ODWROTNYCH
C.
Istnieje wiele efektywnych metod służących do rozwiązania równania macierzowego
K φ
φ=
λ
M
.
(C.1)
Metody te Czytelnik zapewne poznał podczas kursu matematyki i kursu poświęconego metodom numerycz-
nym. Poniżej przedstawimy jedną z możliwych metod iteracyjnych rozwiązania równania (C.1), która ze
względu na prosty algorytm zasługuje, naszym zdaniem, na uwagę.
W metodzie iteracji odwrotnych przyjmuje się pewien wektor początkowy x i dla kolejnych iteracji
rozwiązuje się równanie
K
x
k =
+
1
Mx
k
,
(C.2)
gdzie
x
=
x
k
+
1
k
+
1
( ) 1
(C.3)
T
x
⋅
M
⋅
x
k
+
1
k
+
1
.
Wektor x nie może być M -ortogonalny do Ф 1 , tzn. x 1 T . M Ф 1 ≠ 0 . Zakłada się, że dla k → ∞ otrzyma-
my x k+1 →.Ф 1 Głównym krokiem metody jest rozwiązanie równania (C.2), czyli wyznaczenie wektora x k+1 ,
którego kierunek zbliża się do wektora własnego w miarę zwiększania liczby iteracji. Warunek (C.3) wpro-
wadza się, aby nowy wektor był M -ortogonalny. Gdybyśmy nie zastosowali skalowania (C.3), to podczas
kolejnych iteracji wektory x . nie zbiegałyby się do A , lecz do jego wielokrotności.
Prześledźmy na poniższym przykładzie zastosowanie przedstawionej metody. Rozwiążmy problem
własny (C.1) o macierzach:
2
−
1
0
0
0
−
1
2
−
1
0
2
K
=
,
M
=
,
(C.4)
0
−
1
2
−
1
0
0
0
−
1
1
1
Pierwszym krokiem metody jest dekompozycja macierzy K do postaci L T ·D·L (patrz Dodatek A). Macierze
te mają postać:
1
2
1
3
1
2
2
K
=
−
2
,
D
=
4
,
(C.5)
0
1
3
3
−
3
1
0
0
1
4
2
Jak wspomnieliśmy wyżej, początkowy wektor x 1 . nie może być ortogonalny do wektora Ф 1 . Do-
świadczenie wskazuje, że wektor ten najlepiej przyjąć jako wektor o składowych równych jedności. Przyj-
mijmy zatem:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
269457853.004.png
Doda-
tek
C
ROZWIĄZANIE UOGÓLNIONEGO PROBLEMU WŁASNEGO METODĄ
ITERACJI ODWROTNYCH
2
x 1 =
[ ] .
1
1
1
1
(C.6)
Dla k=1 mamy
2
−
1
0
0
0
1
−
1
2
−
1
0
2
1
x
=
⋅
(C.7)
2
0
−
1
2
−
1
0
1
0
0
−
1
1
1
1
Skąd otrzymujemy:
3
3
6
T
2
1
6
x 2
=
,
x
⋅
M
⋅
x
=
136
oraz
x 2
=
(C.8)
2
7
136
7
8
8
dla drugiej iteracji otrzymujemy:
20
1
40
T
3
6336
x 3
=
,
x
⋅
M
⋅
x
=
(C.9)
3
136
48
136
56
20
1
40
[
]
x 3
=
,
x 3 =
0
251
0
503
0
603
0
704
(C.10)
6336
48
56
Porównując x 3 z rozwiązaniem dokładnym:
Ф 1 = [0.25, 0.5, 0.602, 0.707],
widać, że metoda iteracji odwrotnych daje zadowalające wyniki, nawet dla niewielkiej liczby iteracji. Rów-
nania (C. 2) i (C. 3) stanowią podstawę metody iteracji odwrotnych. W implementacjach komputerowych
stosuje się trochę odmienny, bardziej efektywny tok postępowania. Zakładając mianowicie, że y 1 = M · x 1 .
dla kolejnych iteracji, mamy:
K
⋅
x
k
+
1
=
y
k
,
y
k
+
1
=
M
⋅
x
k
+
1
,
x
T
⋅
y
(C.11)
ρ
(
x
)
=
k
+
1
k
k
+
1
( ) 1
x
T
⋅
y
k
+
1
k
+
1
a ponieważ, y 1 T Ф 1 ≠ 0 , więc gdy k → ∞ otrzymamy:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
269457853.005.png 269457853.006.png 269457853.007.png
Doda-
tek
C
ROZWIĄZANIE UOGÓLNIONEGO PROBLEMU WŁASNEGO METODĄ
ITERACJI ODWROTNYCH
3
y
k
+
1
⇒
M
⋅
αφ
1
i
ρ ⇒
(
x
k )
+
1
λ
(C.12)
Zauważmy bowiem, że ρ(x k+1 ) jest ilorazem Rayleigha. Proces iteracyjny przerywa się, gdy spełniony jest
warunek
λ
(
1
k
+
1
)
−
+
λ
(
1
k
)
≤
tolerancji
.
(C.13)
λ
(
1
k
1
)
Gdy ostatnią iterację oznaczymy przez 1 to ostatecznie otrzymamy:
λ
1
= ρ
( 1
x
l
+
)
(C.14)
i z (C.3)
φ
=
x
l
+
1
,
1
1
(C.15)
T
(
x
⋅
y
)
2
l
+
1
l
+
1
Powtórzmy obliczony wyżej przykład, stosując teraz to podejście. Dla tego samego wektora początkowego i
dla k=1 mamy:
(C.16)
0
3
0
2
6
12
y 1
=
,
x 2
=
,
y 2
= (C.)
,
0
7
0
1
8
8
ρ
(
x
)
=
x
T
2
⋅
y
1
=
0
.
1470588
2
T
2
x
⋅
y
2
i
0
.
00000
1
.
02899
y 2
=
,
(C.)
0
.
00000
0
.
68599
Następne iteracje przebiegają według podobnego schematu. Po pięciu iteracjach otrzymamy nastę-
pujące wyniki:
0
.
25001
0
.
50001
λ
1 =
0
146447
,
φ
=
(C.)
1
0
.
60355
0
.
70709
Dokładna wartość własna wynosi λ 1 = 0.1464466.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
1
269457853.001.png 269457853.002.png 269457853.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin