05.pdf

(576 KB) Pobierz
PRZEDMOWA
5. PODSTAWOWE SFORMUŁOWANIA METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MECHANIKI KONTINUUM
1
PODSTAWOWE SFORMUŁOWANIA METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MECHANIKI KONTINUUM
5.
5.1. Podstawowe równania liniowej sprężystości
Stosowany w niniejszym opracowaniu opis omawianych zagadnień odnosi się do prostokąt-
nego układu współrzędnych kartezjańskich lub, gdy stosujemy zapis wskaźnikowy, do
układu . Chcąc zdefiniować podstawowy układ równań opisujący stan naprężenia, stan
odkształcenia i pole przemieszczeń układu, będziemy się posługiwać następującymi oznaczeniami.
[ z
x
,
y
,
]
[
]
x
1
,
x
2
,
x
3
,
Niech stan naprężenia w nieskończenie małej objętości ciała poddanego działaniu obci-
ążenia będzie opisany w układzie współrzędnych za pomocą składowych tensora, uporząd-
kowanych w macierzy w postaci:
i σ
σ
11
σ
12
σ
13
σ ij
=
σ
21
σ
22
σ
23
,
(5.1)
σ
σ
σ
31
32
33
gdzie składowe , , są naprężeniami normalnymi, natomiast , , opisują naprężnia
styczne. Tensor stanu naprężenia (5.1) jest symetryczny, to znaczy, że zachodzą następujące równości:
1 σ
σ
22
σ
33
1 σ
1 σ
σ
σ = ,
12
σ
21
σ =
13
σ
31
,
σ =
23
σ
32
.
(5.2)
Stosując konsekwentnie zapis macierzowy, wygodnie jest niekiedy opisać stan naprężenia za po-
mocą wektora naprężenia o następujących składowych:
σ
σ
=
[
σ
xx
,
σ
yy
,
σ
zz
,
σ
xy
,
σ
xz
,
σ
yz
] T
.
(5.3)
σ
Stan odkształcenia, podobnie jak poprzednio nawiązujący do opisu tensorowego, reprezentuje ma-
cierz składowych w postaci:
i ε
ε
11
`
ε
12
ε
13
ε ij
=
ε
21
ε
22
ε
23
.
(5.4)
ε
ε
ε
31
32
33
W zapisie macierzowym posługiwać się będziemy wektorem odkształcenia , którego składowe
odniesione do układu
ε
[ z
,, ]
x
y
, są następujące:
ε
=
[
ε
xx
,
ε
yy
,
ε
zz
,
γ
xy
,
γ
xz
,
γ
yz
] T
(5.5)
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
23
Tutaj, tak jak i poprzednio, za pomocą identycznych indeksów oznaczono składowe normalne, in-
deksy zaś różne, opisujące składowe macierzy informują o składowych stycznych stanu naprężenia.
269457764.002.png
5. PODSTAWOWE SFORMUŁOWANIA METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MECHANIKI KONTINUUM
2
Zwracamy w tym miejscu uwagę, że we wzorze (5.5) posługujemy się tzw. inżynierskimi definicja-
mi odkształceń stycznych, związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń za pomocą związ-
ków:
γ ⋅
= 2
ε
xy
,
γ ⋅
yz
= 2
ε
yz
,
γ ⋅
xz
= 2
ε
.
(5.6)
Przyjęcie w zapisie macierzowym miar inżynierskich odkształceń ( - kąt odkształcenia postaciowe-
go) podyktowane jest dwoma faktami. Pierwszy to ich powszechne używanie w klasycznych zagadnieniach
liniowej sprężystości. Drugi zaś wynika z konieczności spójnego potraktowania miar naprężeń i odkształceń,
by w prosty sposób można było zapisać wyrażenie na pracę w obu zapisach - wskaźnikowym i macierzo-
wym:
γ
σ
⋅
ε
=
σ
T
⋅
ε
.
(5.7)
ij
ij
Oprócz pól naprężeń i odkształceń do zapisania podstawowego układu równań konieczne jest jesz-
cze pole przemieszczeń, którego składowe w punkcie opisane są w zapisie wskaźnikowym:
u
i
=
[
u
1
,
u
2
,
u
3
] T
,
(5.8)
lub w macierzowym:
[ ] T
u
=
u
,
v
,
w
.
(5.9)
5.1.1 Podstawowe równania w zapisie wskaźnikowym
Dla przypomnienia zapiszmy podstawowy układ równań liniowej teorii sprężystości. Typowa analiza
ciała odkształcalnego wymaga znalezienia funkcji naprężeń lub przemieszczeń spełniających następu-
jące równania: - trzy równania różniczkowe cząstkowe równowagi (równania Naviera)
σ
u
i σ
+
b i
=
0 =
i
,
j
1
2
(5.10)
gdzie w zapisie wskaźnikowym zastosowano umowę sumacyjną, co znaczy, że powtarzający się w jednomia-
nie wskaźnik informuje o konieczności dokonania sumowania po wszystkich możliwych jego wartościach, a
występujący między wskaźnikami znak przecinka jest symbolem różniczkowania względem odpowiedniej
zmiennej przestrzennej; na przykład
σ
=
∂
σ
21
;
21
,
∂
1
- sześć równań różniczkowych cząstkowych geometrycznych (równania Cauchy'ego )
ε
=
1
⋅
( )
u
+
u
,
(5.11)
ij
2
i
,
j
j
,
i
- sześć równań algebraicznych fizycznych (równania Hooke'a)
σ ⋅
ij E ε
=
ijkl
kl
,
(5.12)
Z powyższego zapisu nie wynika deklarowana uprzednio liczba równań, ale biorąc pod uwagę założe-
nia o izotropii, układ (5.12) redukuje się tylko do sześciu niezależnych równań i występujących w nich tylko
dwóch stałych materiałowych. Ponadto poszukiwane rozwiązania muszą dodatkowo spełniać:
- równania nierozdzielności geometrycznej
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
xy
xz
269457764.003.png
5. PODSTAWOWE SFORMUŁOWANIA METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MECHANIKI KONTINUUM
3
ε
ij
,
kl
+
ε
kl
,
ij
−
ε
ik
,
jl
−
ε
jl
,
ik
=
0
(5.13)
w każdym punkcie obszaru, oraz
- naprężeniowe i przemieszczeniowe warunki brzegowe
σ
ij
⋅
n =
j
p
*
i
na brzegu ,
S
σ
(5.14)
(5.15)
u = na brzegu ,
u
i u
*
i
S
przy czym oba deklarowane brzegi i są rozłączne, tworząc w sumie cały brzeg rozpatrywane-
go obszaru, tzn.
S
S u =
σ
S
S
u
σ
Domyślamy się, że ze względu na złożoność wymagań nakładanych na rozwiązania problemów, okre-
ślenie funkcji analitycznych, spełniających równania (5.10) - (5.15), nie jest łatwe. W szczególności zadanie
staje się niemożliwe do rozwiązania, jeśli skomplikuje się warunki brzegowe problemu. Zauważmy jeszcze,
że rozwiązanie problemu mechanicznego, opisanego za pomocą tak skonstruowanego modelu matematycz-
nego, prowadzi do zadania analizy matematycznej.
Trudności, na które natrafia się przy takim sformułowaniu, skłaniają do poszukiwania innych rozwią-
zań, tym razem już nie analitycznych lecz rozwiązań przybliżonych.
S σ S ∪
S
u
=
0
oraz
.
5.1.2. Podstawowe równania w zapisie macierzowym
Rozpocznijmy tym razem od równań geometrycznych. Odpowiednie składowe wektora odkształceń
można zapisać w następującej postaci:
ε
=
∂
u
,
ε
=
∂
v
,
ε
=
∂
w
,
γ
=
∂
u
+
∂
v
,
x
∂
x
y
∂
y
z
∂
z
xy
∂
y
∂
x
(5.16)
∂
v
∂
w
∂
u
∂
w
γ
=
+
,
γ
=
+
.
yz
∂
z
∂
z
xz
∂
z
∂
x
Używając poprzednio wprowadzonych oznaczeń, zapiszemy powyższy układ zależności w postaci:
ε ,
L ⋅
u
(5.17)
gdzie macierz operatorów różniczkowych ma wymiar (
L
6 x
3
a jej składowe można przedstawić
jako
∂
∂
x
0
0
0
∂
∂
y
0
0
0
∂
∂
z
L
=
.
(5.18)
∂
∂
y
∂
∂
x
0
0
∂
∂
z
∂
∂
y
∂
∂
z
0
∂
∂
x
Równania równowagi można teraz zapisać krótko:
L T σ ,
⋅ b
=
0
(5.19)
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
∩
269457764.004.png
5. PODSTAWOWE SFORMUŁOWANIA METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MECHANIKI KONTINUUM
4
gdzie jest wektorem sił masowych. Zwróćmy uwagę na fakt, że macierz operatorów różniczkowych rów-
nań równowagi (5.19) jest transponowana do odpowiedniej macierzy związków geometrycznych.
b
Równania fizyczne (konstytutywne), jako zależności między składowymi wektorów naprężeń i od-
kształceń, określone są następująco:
ε
=
σ
x
−
ν
⋅
σ
y
−
ν
⋅
σ
z
,
γ
=
σ
xy
,
x
E
xy
G
ε
=
σ
y
−
ν
⋅
σ
x
−
ν
⋅
σ
z
,
γ
=
σ
yz
,
(5.20)
y
E
yz
G
ε
=
σ
z
−
ν
⋅
σ
x
−
ν
⋅
σ
y
,
γ
=
σ
zx
,
z
E
zx
G
G jest
modułem odkształcalności postaciowej (moduł Kirchhoffa), ν est liczbą Poissona. W postaci równania ma-
cierzowego powyższą zależność konstytutywną można wyrazić jako
E
= E
(2 ν
⋅
+
)
j
ε ⋅
= C ,
σ
(5.21)
gdzie
1
−
ν
−
ν
0
0
0
−
ν
1
−
ν
0
0
0
1
−
ν
−
ν
1
0
0
0
C
=
⋅
.
(5.22)
E
0
0
0
2
⋅
(
+
ν
)
0
0
0
0
0
0
2
⋅
(
+
ν
)
0
0
0
0
0
0
2
⋅
(
+
ν
)
Zależność (5.21) jest jednoznaczna, a kwadratowa macierz konstytutywna jest nieosobliwa, istnieje
więc odwzorowanie odwrotne
σ ⋅
= D ,
ε
(5.23)
gdzie macierz
D
= C
−
i jej reprezentacja przedstawia się następująco:
1
−
ν
ν
ν
0
0
0
ν
1
−
ν
ν
0
0
0
E
ν
ν
1
−
ν
0
0
0
D
=
⋅
(5.24)
(
+
ν
)
⋅
(
−
2
⋅
ν
)
0
0
0
(
−
2
⋅
ν
)
/
2
0
0
0
0
0
0
(
−
2
⋅
ν
)
/
2
0
0
0
0
0
0
(
−
2
⋅
ν
)
/
2
Podsumowując łatwo zauważyć i docenić zwięzłość stosowanego zapisu macierzowego, który pozwa-
la widzieć podstawowy układ równań w następującej postaci:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
gdzie przez oznaczono moduł odkształcalności podłużnej (moduł Younga), zaś
269457764.005.png
5. PODSTAWOWE SFORMUŁOWANIA METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH W NAWIĄZANIU DO RÓWNAŃ MECHANIKI KONTINUUM
5
ε
=
L
⋅
u
L
T
⋅
σ
+
b
=
0
(5.25)
ε
C
⋅
σ
lub
σ
=
D
⋅
ε
5.2. Analiza przybliżona problemu brzegowego
Jak wspomniano wyżej, możliwość znalezienia rozwiązań problemów brzegowych w postaci zamknię-
tych formuł analitycznych ogranicza się, niestety, do wąskiej klasy zadań. W większości przypadków waż-
nych z inżynierskiego punktu widzenia, to znaczy dla przypadków znajdujących zastosowania praktyczne,
skomplikowane warunki podparcia układów, nietypowe obciążenia czy inne nieregularności uniemożliwiają
otrzymanie rozwiązań analitycznych. Chęć otrzymania wartościowych jakościowo i ilościowo wyników
opisujących stan układów zmusza do szukania odpowiedzi na drodze dyskretyzacji. Zamiast więc szukać
odpowiedzi układu w postaci pól naprężeń, odkształceń i przemieszczeń, poszukuje się wartości tych pól w
skończonej liczbie punktów należących do obszaru i jego brzegu. Z punktu widzenia zastosowań aparatu
matematycznego w przypadku stosowania dyskretyzacji uwalniamy się od rozwiązywania problemu róż-
niczkowego, zastępując go zadaniem algebraicznym. Nie chcemy w tym miejscu dyskutować o różnych
możliwościach stosowania dyskretyzacji, a co za tym idzie, o różnych metodach rozwiązywania problemów
brzegowych. Podkreślamy tylko, że omawiana tutaj MES zakłada analizę przybliżoną, polegającą na pod-
ziale całego układu na mniejsze części (elementy), posiadające charakterystyczne punkty zwane węzłami, w
których to punktach skoncentrowana jest niejako pełna informacja o zachowaniu się tych elementów i ich
własnościach. Wspomniane przybliżenie polega - w najbardziej podstawowej wersji - na przyjęciu pola
przemieszczeń opisującego przemieszczenie dowolnego punktu elementu, jako funkcji przemieszczeń wę-
złów i położenia danego punktu (jest to tzw. wersja przemieszczeniowa MES). Niewiadome są więc prze-
mieszczenia węzłów. Musimy być świadomi, że przyjmowane funkcje określające pole przemieszczeń ele-
mentu zwykle nie odpowiadają w pełni funkcjom analitycznym rozwiązującym problem różniczkowy. In-
nymi słowy, popełniamy na tym etapie błędy, które, jak można to udowodnić, maleją w miarę jak rośnie lic-
zba elementów, na które podzielono cały układ. Musimy być także świadomi, że przyjmując pole przemi-
eszczeń w postaci określonych funkcji, deklarujemy tym samym przez związki geometryczne pole odkształ-
ceń i dalej przez zależności konstytutywne - pole naprężeń. Jeśli w określonych przypadkach szczególnie
zależy nam na w miarę jak najlepszym odwzorowaniu pola odkształceń bądź naprężeń, istnieją inne możli-
wości przyjęcia funkcji aproksymacyjnych, zakładających wprost te właśnie pola. Takie sformułowania
MES nie będą jednak przedmiotem niniejszego opracowania.
Rozważana wersja przemieszczeniowa MES w celu przeanalizowania problemu brzegowego wymaga
podjęcia następujących kroków:
- dokonania podziału układu (konstrukcji, kontinuum) na skończoną liczbę podobszarów o prostej
geometrii,
- wybrania punktów węzłowych (węzłów), w których zostaną zapewnione warunki równowagi i
zgodności przemieszczeń,
- założenia funkcji przemieszczeń w obszarach każdego elementu, takiego że przemieszczenia
wszystkich punktów zależą od przemieszczeń węzłów,
- spełnienia w elemencie zależności
ε
L ⋅
u
oraz
σ ⋅
ε
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
=
= D
- wyznaczenia sztywności elementów i równoważnych sił węzłowych,
- zbudowania układu równań równowagi dla węzłów zdyskretyzowanego kontinuum,
- rozwiązania układu równań równowagi dla przemieszczeń węzłów,
- obliczenia przemieszczeń, odkształceń i naprężeń w wybranych punktach elementów,
- obliczenia reakcji podpór.
,
269457764.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin