EWA ELŻBIETA MAŁYSZKO
WSTĘP DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH
dla studentów studiów niestacjonarnych
Białystok 2009
SPIS TREŚCI
str.
Przedmowa…………………………………………………………………………..……..3
§1. Wstęp historyczny……………………………………………………………..……….4
§2. Całki ogólne równań różniczkowych cząstkowych……………………………………4
§3. Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych, liniowych II rzędu z dwiema zmiennymi niezależnymi…………………………………..………………………………9
§4. Równania charakterystyk i sprowadzanie równań różniczkowych cząstkowych do postaci kanonicznej…………………………………………...…………………………..11
§5. Wyznaczanie rozwiązań równania falowego, spełniających dane warunki graniczne. Metoda Fouriera…………………………………………………………………………..14
PRZEDMOWA
Materiały te są przeznaczone dla studentów II semestru studiów niestacjonarnych Politechniki Białostockiej, kierunków: Inżynierii Biomedycznej i Elektrotechniki, jako uzupełnienie książki Jerzego Pietraszko Matematyka, teoria, przykłady, zadania, wydanej w Oficynie Wydawniczej Politechniki Wrocławskiej. Wymieniony podręcznik matematyki dla studentów 3-semestralnego kursu nie zawiera żadnych wiadomości o równaniach różniczkowych cząstkowych. Natomiast w wykładanym przez autorkę i innych pracowników naukowo-dydaktycznych Politechniki Białostockiej programie matematyki te zagadnienia obejmują kilka ostatnich wykładów.
E.E. Małyszko
§1. Wstęp historyczny
1.1. Rozwiązanie d’Alemberta.
Powstanie i rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych związane były z rozszerzeniem w XVIII wieku zakresu zastosowań analizy matematycznej funkcji wielu zmiennych. Były to zagadnienia z dziedziny astronomii, hydromechaniki, fizyki ciał sprężystych oraz geometrii.
Pierwszym problemem, rozwiązanym przy pomocy tych równań. było zadanie o drganiach struny.
W latach 1713-15 B. Taylor znalazł równanie małych drgań poprzecznych nieskończenie cienkiej, jednorodnej struny o długości l, umocowanej na końcach, wychylonej z położenia równowagi, a następnie pozostawionej samej sobie. Jednak dopiero około 1747 r. d’Alembert wyraził to, co Taylor sformułował językiem mechaniczno-geometrycznym, w postaci równania cząstkowego rzędu drugiego
gdzie i– to współrzędne punktu struny, jest czasem, zaś – stałym parametrem określającym gęstość struny i jej naprężenie.
W XIX wieku, po dokonanej klasyfikacji równań cząstkowych, nazwano to równanie falowym, lub równaniem typu hiperbolicznego.
Ogólne rozwiązanie tego równania dla , przy warunkach brzegowych
i warunkach początkowych
znalazł d’Alembert za pomocą metody opartej na pojęciu różniczki zupełnej. Otrzymał rozwiązanie
i nazwał je rozwiązaniem ogólnym , gdzie i określić należy na podstawie warunków brzegowych i początkowych.
W późniejszym okresie d’Alembert proponował szukać rozwiązania w postaci iloczynu dwóch funkcji jednej zmiennej, tzw. metodą rozdzielenia zmiennych.
Ten pomysł szeroko rozwinął J.B. Fourier, na początku XIX wieku.
1.2. Rozwiązanie Eulera.
Rok po ukazaniu się prac d’Alemberta o strunie, L. Euler ogłosił artykuł „O drganiu strun” 1748, a potem w 1766 r. podał nową metodę rozwiązywania równania struny drgającej, która później weszła do wszystkich podręczników równań różniczkowych. Wprowadzając nowe współrzędne przekształcił równanie falowe do postaci, którą łatwo jest scałkować:
Euler pierwszy zrozumiał, że równanie struny drgającej jest obrazem procesu rozchodzenia się fal. Falą nazywamy przy tym proces przemieszczania się wzdłuż struny wychylenia jakiegokolwiek jej punktu. Euler dopracował do końca metodę d’Alemberta, którą później zaczęto nazywać metodą charakterystyk.
1.3. D. Bernoulli i rozwiązanie w formie szeregu trygonometrycznego.
Nowe i ważne twierdzenia o procesach drgających przedstawił w swoich rozprawach Daniel Bernoulli w latach 1747, 1748, 1753, 1755.
Ogólne rozwiązanie równania struny drgającej przedstawił on w postaci szeregu trygonometrycznego o współczynnikach nieoznaczonych.
gdzie jest długością struny a są funkcjami czasu.
1.4. Zadania hydromechaniki; równanie Laplace’a.
W Szkicu nowej teorii oporu cieczy Paryż 1752, d’Alembert – w związku z badaniem opływu ciała sztywnego przez jednorodną nieważką ciecz – rozwiązał zadanie, w którym chodziło o znalezienie dwóch funkcji p i q, mając ich różniczki zupełne
w ruchu płasko-równoległym cieczy, gdzie funkcje p i q są składowymi wektora prędkości cząstki cieczy w punkciepłaszczyzny. D’Alembert doszedł do układu równań cząstkowych
,
Otrzymany układ scałkował stosując funkcje zespolone. Później, w 1761 r., w I tomie swych Dzieł matematycznych wskazał on, że funkcje i spełniają też równanie
które nazwano później imieniem Laplace’a. Jego rozwiązania, mające ciągłe pochodne cząstkowe rzędów I i IIgo, nazwano później funkcjami harmonicznymi.
§.2 Całki ogólne w równaniach różniczkowych cząstkowych.
Definicja 1. Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy równanie różniczkowe, w którym występuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej zmiennych i jej pochodne cząstkowe. Rzędem równania różniczkowego cząstkowego nazywamy największy rząd pochodnej funkcji niewiadomej występującej w danym równaniu.
Równanie różniczkowe postaci
jest równaniem rzędu drugiego, z niewiadomą funkcją dwóch zmiennych niezależnych.
Definicja 2. Rozwiązaniem ogólnym lub całką powyższego równania nazywamy każdą taką funkcję , klasy w pewnym obszarze , która po podstawieniu wraz ze swymi pochodnymi do omawianego wyrażenia spełnia je tożsamościowo.
Zadania
a) Sprawdź, czy funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego
b) Wyznaczyć ogólne rozwiązanie równania
całkując równanie stronami względem, a potem względem.
c) Wyznaczyć ogólne rozwiązanie równania
Odpowiedzi do zadań
a) tak
b) gdzie
c)
...
mhead