Zbieżności ciągów funkcyjnych.pdf

(151 KB) Pobierz
Rachunek ró¿niczkowy
Zbieżności ciągów funkcyjnych
Definicja. Zał, że
X ⊂ A ⊂
,
. Mówimy, że jest gęsty w , gdy
A
X
xXa n ax
∀∃ =
() lim
n n
n
.
∈
→∞
Twierdzenie. Jeżeli jest zbiorem gęstym w , to
A
X
∀⊂ − +
X a a
∪
(
δδ
,
)
.
δ
>
0
aA
Definicja. Rodziny przedziałów {
( , :
ab t ∈ }
t
t
nazywamy pokryciem otwartym zbioru , gdy
X
⊂ ∪
( )
X a
∈
t
,
b
t
.
tT
Definicja. Mówimy, że
X ⊂
jest zbiorem zwartym, gdy ()
∀∃ ∃ =
( ) ()
lim
xx
k
n
.
x X x Xn
⊂
∈ →∞
x
⊂
x
n
n
k
n n
n
n
Twierdzenie. Każdy zbiór zwarty jest ograniczony, to znaczy
MxX xM
∃∀ ≤ .
>∈
Twierdzenie. Zał, że rodzina przedziałów {
( , :
ab t ∈ }
t
t
jest pokryciem otwartym przedziału [ ] .
,αβ
{ } [ ] ( )
∪
n
Wtedy
∃
αβ
,
⊂
ab
t
,
t
i
.
tt t T
…
∈
n
=
1
Lemat. Jeżeli jest zbiorem zwartym, () oraz li
X
n x ⊂
X
n xx
m n
=
0
, to
0 xX
∈
.
→∞
{ , :
( )
}
Twierdzenie. Zał, że
X ⊂
jest zbiorem zwartym, Ua jest pokryciem otwartym
=
t
t bt T
∈
∃ ∪
n
( )
zbioru . Wtedy
X
{ }
X a
=
t
i
,
b
t
.
tt
,,, t ∈
…
12
i
1
n fX → n ∈
(1) Rodziny { nazywamy punktowo ograniczonymi, gdy
X ⊂ :
,
,
.
f
n n
fx M
∈> ∈
0
n
()
x
;
x
(2) Rodziny { nazywamy jednostajnie ograniczonymi, gdy
f
n n
MxXn
∃∀∀ ≤
>∈ ∈
0
fx M
n
()
;
(3) Rodziny { nazywamy jednakowo ciągłe, gdy
f
n n
∀∃ ∀ ∀ − < ⇒ − <
xx fx fx
′
δ
n
() ()
n
′
ε
.
εδ
>> ∈∈
00,
xx Xn
′
Uwaga. (1) Jeżeli { jest jednakowo ciągła, to
f
n n
n
∀
f
n
jest jednostajnie ciągła;
f
(3) Jeżeli { jest skończoną rodziną funkcji jednostajnie ciągłych na , to { jest jednakowo
ciągła;
n
∀
f
n
jest jednostajnie ciągła, nie wynika że { jest jednakowo ciągła;
n n
n n
X n n
f
f
(4) Jeżeli { jest jednostajnie ograniczona, to jest też punktowo ograniczona;
n n
f
(5) Istnieją rodziny funkcji, które są punktowo ograniczone, ale nie są jednostajnie ograniczone;
(6) Jeżeli jest skończony i { jest rodziną funkcji punktowo ograniczonych, to { jest
jednostajnie ograniczona.
X
f
n n
f
n n
Twierdzenie. Jeżeli , { jest ciągiem funkcji ciągłych na oraz ( jest jednostajnie
zbieżny, to { jest jednakowo ciągła.
Xa = n n
[ ]
,
f
X n n
f
n n
f
Lemat. Zał, że jest zbiorem przeliczalnym, { jest rodziną funkcji punktowo ograniczoną.
Wtedy
X
f
n n
( n n
f
posiada podciąg punktowo zbieżny.
1
∈
i
1 ,,,
i
i
Definicja. Zał, że
∀∃∀ ≤
xXM n
∈
(2) Z faktu, że
∈
39678048.004.png
Twierdzenie. Zał, że jest ciągiem funkcji ciągłych, { jest punktowo ograniczona i
jednakowo ciągła. Wtedy istnieje podciąg ( , który jest jednostajnie zbieżny oraz { jest
jednostajnie ograniczona.
( n n
f
f
n n
)
f
k
n
n
f
n n
Twierdzenie Weierstrassa. Jeżeli
f ab →
:,
[ ]
jest ciągła, to istnieje ciąg wielomianów ( taki,
n n
że
n Pab zbiega jednostajnie do .
[ ,
]
f
Wniosek.
aP Paax
0
() [ ]
n
,
→
→
n
∀=
P
( 00
.
n n
Definicja.
E ⊂
. Rodziny
A ⊂
E
nazywamy algebrą funkcji, gdy:
(1)
fgA f gA
∀+∈
;
∈
(2)
fAc
cf A
∈∈
;
(3)
fgA
∀⋅ ∈
∈
fgA
.
Defin
icja. Zał, że
E ⊂
,
F ⊂ .
E
Jednostaj
nym domknięciem rodziny nazywamy rodzinę
F
=∈ }
{ :
Ff
E
f F f
∃ . Rodzina { jest jednostajnie domknięta, gdy
→
→
f
f
n n
F = .
()
n
⊂
n n
Wniosek. (1)
∀⊂
E
FF
;
F
⊂
(2)
∀⊂⇒⊂
E
FGFG
;
FG
,
∈
(3) ()
E
F
∀=
FF
.
Lemat. Jeżeli
A ⊂
E
jest algebrą funkcji ograniczonych, to
A też jest algebra funkcji
ograniczonych.
Definicja. (1) Rodzina
F ⊂
E
rozdziela punkty, gdy
∀∃ ≠ )
fx fx
() (
;
1
2
xxEfF
12
(2) Rodzina
F ⊂
E
nie znika w żadnym punkcie, gdy
∀∃ ≠
fx
() 0
.
E
∈ ∈
Lemat. Zał, że
A ⊂
E
jest algebrą, która rozdziela punkty i nie znika w żadnym punkcie
xE
∈
.
Wtedy
∀∀
∃
fx cfx c
() ()
1
= =
1
,
2
2
.
xxEc
≠∈
,
c ffA
∈ ∈
,
12 1
2 12
Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa. Zał, że jest algebrą funkcji rzeczywistych, ciągłych,
określonych na przedziale zwartym
= A
A jest równa rodzinie wszystkich funkcji ciągłych określonych na .
Ka
[ ,
A
] b
oraz rozdziela punkty i nie znika w żadnym punkcie.
Wtedy
K
Ka = []
[ ]
{ :
∈ } . Wtedy A jest
Wniosek. Zał, że
,
,
x
jest rodziną wielomianów,
AwKw x
=
[]
rodziną wszystkich funkcji ciągłych określonych na w .
K
2
P
∀∃ − oraz
n
>
∈
∀∀ ⋅ ∈
⊂
≠∈ ∈
xE f
39678048.005.png 39678048.006.png 39678048.007.png 39678048.001.png 39678048.002.png 39678048.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin