Belka wieloprzęsłowa I.pdf

(175 KB) Pobierz
1
Przykład 2.1 Belka wieloprzęsłowa I.
Dla statycznie wyznaczalnej belki wieloprzęsłowej o stałej sztywności EJ , obciążonej jak
na rysunku poniżej, wyznaczyć ugięcie w punkcie D i kąt ugięcia w punkcie G.
Rys. 1. Schemat statyczny belki
I. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v punktu D.
Przemieszczenie pionowe wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, ze wzoru
5
l
M
M
1
ds
1
5
l
∑ ∫
∑ ∫
v D
=
zi
zi
i
=
M
M
1
dx
(1)
E
J
EJ
zi
zi
i
=
1 0
i
zi
i
1 0
gdzie: v D - pionowe przemieszczenie punktu D,
zi
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od pionowej siły jednostkowej, przy-
łożonej w punkcie D, odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu,
1
zi
l - długość i-tego przedziału belki.
i
Możemy zastąpić całkowanie analityczne metodą całkowania graficznego. Objaśniono to
poniżej.
Rys. 2. Wykresy funkcji ()
f
x
i ()
g
x
Całkowanie wykonujemy korzystając ze wzoru
l
∫
f
() () η
x
⋅
g
x
dx
=
A
⋅
(2)
0
gdzie: A - pole wykresu nieliniowego,
1
i
i
=
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
44370788.010.png 44370788.011.png
η - rzędna wykresu liniowego dla odciętej odpowiadającej środkowi ciężkości figury
pierwszego wykresu.
g.
Wzór (2) jest również słuszny, gdy oba wykresy są liniowe.
Jeżeli funkcja momentu jest wielomianem, to każdy składnik wielomianu całkujemy osobno.
f
x
i ()
Rys. 3. Pola i środki ciężkości wybranych figur
Można także skorzystać wprost z odpowiednich tablic z wartościami całek.
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od obciążenia
zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla belki wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
DG
D
=
0
→
−
M
+
R
⋅
l
=
0
→
R
=
M
=
ql
F
F
l
∑
P
BG
iy
=
0
→
−
R
C
−
R
F
+
P
=
0
→
R
C
=
P
−
R
F
=
ql
∑
P
AB
iy
=
0
→
−
V
A
+
q
⋅
l
=
0
→
V
A
=
ql
∑
M
AD
D
=
0
→
−
V
⋅
3
l
+
M
−
R
⋅
l
+
ql
⋅
5
l
=
0
→
M
=
3
V
l
+
R
l
−
5
ql
2
=
3
ql
2
A
A
C
2
A
A
C
2
2
∑
P
ix
=
0
→
H
A
=
0
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia zewnętrznego.
Rys. 4. Wykres momentów gnących od obciążenia zewnętrznego.
2
Uwaga: Bierzemy zawsze pole wykresu krzywoliniowego, jeżeli wykres od obciążenia
zewnętrznego jest nieliniowy.
Na wstępie ustalamy znak iloczynu funkcji ()
44370788.012.png 44370788.013.png 44370788.001.png
2. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od pionowej siły
jednostkowej przyłożonej w punkcie D.
Rys. 5. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
DG
D
=
0
→
R
1
⋅
l
=
0
→
R
1
=
0
F
F
∑
P
1
BG
=
0
→
−
R
1
−
R
1
+
1
=
0
→
R
1
=
1
iy
C
F
C
∑
P
1
AB
=
0
→
V
1
=
0
iy
A
∑
M
1
AD
=
0
→
−
V
1
⋅
3
l
+
M
−
R
1
⋅
l
=
0
→
M
1
=
V
1
l
+
R
1
l
=
l
D
A
A
C
A
A
C
∑
P
1
=
0
→
H
1
=
0
ix
A
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 6. Wykres momentów gnących od pionowej siły jednostkowej, przyłożonej w punkcie D
3. Obliczenie przemieszczenia pionowego v punktu D.
M w przedziale 1 można przedstawić jako sumę
prostokąta i pola ograniczonego parabolą, dla których znamy pola powierzchni i położenie
środków ciężkości. Całkę w przedziale 1 obliczymy jako sumę iloczynów pól składowych
figury wykresu
Zauważmy, że pole figury wykresu g
M przez rzędne w wykresie
g
M odpowiadające środkom ciężkości w
1
g
M . Pola powierzchni i odpowiadające im rzędne drugiego wykresu dla odciętej
odpowiadającej środkowi ciężkości figury pierwszego wykresu przedstawiono poniżej (patrz
rysunek 7).
g
A
=
ql
2
⋅
l
=
ql
3
A
=
1
⋅
1
ql
2
⋅
l
=
1
ql
3
η
=
η
=
l
1
2
3
2
6
1
2
3
1
3
wykresie
44370788.002.png 44370788.003.png 44370788.004.png
Rys. 7. Wykresy momentów gnących w przedziale 1
W przedziale 2 całkę obliczymy mnożąc pole figury wykresu g
M w przedziale 2 przez
M w przedziale
2. Podobnie w przedziale 3. Łatwo dostrzec, że całki w przedziałach 4 i 5 są równe zeru.
M odpowiadającą środkowi ciężkości figury wykresu g
1
g
Ostatecznie wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
1
1
1
1
2
5
ql
4
v D
=
ql
2
⋅
l
⋅
l
+
⋅
⋅
ql
2
⋅
l
⋅
l
+
ql
2
⋅
l
⋅
l
+
⋅
ql
2
⋅
l
⋅
l
=
EJ
3
2
2
3
2
EJ
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia
jest zgodny ze zwrotem założonej siły jednostkowej (Rys. 5).
II. Wyznaczenie kąta ugięcia w punkcie G.
Kąt ugięcia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, ze wzoru
5
l
i
M
M
1
ds
1
5
l
∑ ∫
∑ ∫
θ
=
zi
zi
i
=
M
M
1
dx
(3)
G
E
J
EJ
zi
zi
=
1 0
i
zi
i
=
1 0
gdzie: θ - kąt ugięcia w punkcie G,
zi
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od momentu jednostkowego, odpo-
wiadającego poszukiwanemu kątowi ugięcia, przyłożonemu w punkcie G,
1
zi
l - długość i-tego przedziału belki.
i
4
rzędną w wykresie
i
i
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
44370788.005.png 44370788.006.png
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od momentu jednostko-
wego, przyłożonego w węźle G.
Rys. 8. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
DG
D
=
0
→
R
1
⋅
l
+
1
=
0
→
R
1
=
−
1
F
F
l
1
∑
P
1
BG
=
0
→
−
R
1
−
R
1
=
0
→
R
1
=
−
R
1
=
iy
C
F
C
F
l
∑
P
1
AB
=
0
→
V
1
=
0
iy
A
∑
M
AD
D
=
0
→
−
V
1
⋅
3
l
+
M
−
R
1
⋅
l
=
0
→
M
1
=
3
V
1
l
+
R
1
l
=
1
A
A
C
A
A
C
∑
P
1
=
0
→
H
1
=
0
ix
A
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 9. Wykres momentów gnących od momentu jednostkowego, przyłożonego w węźle G.
2. Obliczenie kąta ugięcia
θ w punkcie G.
Ostatecznie wykorzystując wzór (3) i wyniki przeprowadzonych obliczeń otrzymujemy
1
1
1
1
2
1
2
13
ql
3
θ
=
ql
2
⋅
l
⋅
1
+
⋅
⋅
ql
2
⋅
l
⋅
1
+
ql
2
⋅
l
⋅
1
+
⋅
ql
2
⋅
l
⋅
−
⋅
ql
2
⋅
l
⋅
=
G
EJ
3
2
2
3
2
3
6
EJ
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że kąt ugięcia jest zgodny z
założonym momentem jednostkowym (Rys. 8).
5
1
1
44370788.007.png 44370788.008.png 44370788.009.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin