WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO
1. Ruch harmoniczny.
Ruch periodyczny (okresowy) – ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu. Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić przy pomocy funkcji sinus i cosinus. Ponieważ funkcje te nazywamy funkcjami harmonicznymi, ruch periodyczny często nazywany jest ruchem harmonicznym złożonym lub krótko ruchem harmonicznym.
Ruch drgający: jeżeli punkt materialny porusza się ruchem okresowym tam i z powrotem po tej samej drodze, to ruch taki nazywamy drgającym (wibracyjnym, oscylacyjnym). Np. ruch wahadła zegara, drgania strun skrzypiec, ruch ciężarka na końcu sprężyny, ruch atomów z cząsteczkach albo w siatce krystalicznej, ruch cząsteczek powietrza podczas rozchodzenia się fali głosowej. Każde z drgań można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych.
Ruch harmoniczny tłumiony: ze względu na tarcie rozpraszające energię ruchu większość z ruchów nie ma ustalonej amplitudy. Np. struna skrzypiec po jakimś czasie przestaje wykonywać drgania. Gdy uwzględnimy istnienie sił tłumiących, ruch okresowy nazywamy ruchem harmonicznym tłumionym. Nie możemy usunąć tarcia z ruchu periodycznego, ale często możemy usunąć jego efekt tłumiący, dostarczając energii układowi drgającemu, co kompensuje rozpraszanie energii z powodu tarcia.
Okres ruchu harmonicznego – czas trwania jednego pełnego drgnięcia albo cyklu (tj. najkrótszy czas, po upływie którego ruch zaczyna się powtarzać). Często stosowane oznaczenie: T.
Częstotliwość ruchu harmonicznego – liczba drgań (cyklów) na jednostkę czasu lub po prostu odwrotność okresu. Często stosowane oznaczenie: f, jednostka: jeden cykl na sekundę lub jeden Herc (Hz), wzór: f=1/T.
Położenie równowagi – położenie, w którym na punkt materialny nie działa siła wypadkowa.
Przemieszczenie (wychylenie) (liniowe albo kątowe) – odległość (liniowa albo kątowa) drgającego punktu materialnego od położenia równowagi w dowolnej chwili. Często stosowane oznaczenie: x.
Ruch harmoniczny prosty: ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi: ,
gdzie:
– siła,
k – współczynnik proporcjonalności,
– wychylenie z położenia równowagi.
Zastosujmy II zasadę Newtona, F=ma. Na miejsce siły podstawiamy –kx, a na miejsce przyspieszenia a – drugą pochodną przemieszczenia względem czasu,
otrzymujemy: albo inaczej: .
W skład tego równania wchodzi pochodna, nazywamy je więc równaniem różniczkowym. Aby je rozwiązać, należy znaleźć taką zależność przemieszczenia x od czasu t, aby równanie było spełnione. Kiedy znamy zależność x od czasu, znamy ruch punktu materialnego. Poszukiwane rozwiązanie naszego równania można zapisać w postaci:
Stałe A i φ pozostają nieokreślone i mogą przyjmować zupełnie dowolne wartości. Znaczy to, że funkcja x z dowolnie wybranymi A i φ spełnia równanie . Jest to charakterystyczna właściwość różnicowego równania ruchu, które nie opisuje jednego szczególnego ruchu, lecz całą klasę albo rodzinę ruchów mających pewne cechy wspólne, ale różniących się pod pewnymi względami. W tym przypadku ω jest wspólne dla całej grupy ruchów drgających, a φ i A mogą różnić się między sobą.
Spróbujmy teraz wyznaczyć ω. Jeżeli w równaniu zwiększyć czas t o 2π/ω, to funkcja x przyjmie postać:
Widzimy, że funkcja ta po czasie 2π/ω przyjmuje swoją poprzednią wartość. Zatem 2π/ω jest okresem ruchu T. Ponieważ ω2=k/m, mamy
Wszystkie ruchy opisane równaniem mają ten sam okres drgań, zależny tylko od masy m drgającego punktu materialnego i współczynnika sprężystości k. Częstotliwość f wyrażona jest wzorem:
Zatem
Wielkość ω nazywamy częstotliwością kołową (lub kątową), różni się ona od częstotliwości f o czynnik 2π. Wymiarem częstotliwości kątowej jest odwrotność czasu, a jej jednostką jest radian na sekundę.
Stała A ma proste znaczenie fizyczne. Funkcja cosinus przyjmuje wartości od -1 do +1. Wychylenie x z położenia równowagi x=0 osiąga wartość maksymalną równą właśnie stałej A. Zatem A (=xmax) jest amplitudą ruchu. Nasze równanie różniczkowe nie ustala wartości A, stąd ruchy opisane przez dane równanie mają różne amplitudy, a ten sam okres i częstotliwość. Okres prostego ruchu harmonicznego nie zależy od amplitudy ruchu.
Wielkość (ωt+φ) nazywamy fazą ruchu, przy czym φ jest fazą początkową (stałą fazową). Dwa ruchy mogą mieć te same amplitudy i częstotliwości, ale różne fazy.
Amplituda A i faza początkowa φ drgań zależą od początkowego położenia i prędkości punktu materialnego. Te dwa warunki początkowe pozwalają określić dokładnie A i φ. Cząstka raz wprawiona w ruch będzie drgać ze stałą amplitudą, częstotliwością i stałą fazową tak długo, jak długo inne siły nie podziałają na układ. Charakterystyczną cechą prostego ruchu harmonicznego jest również zależność między przemieszczaniem, prędkością i przyspieszeniem drgającego punktu materialnego.
Zauważmy, że maksymalne przemieszczenie równa się A, maksymalna prędkość ωA, a maksymalne przyspieszenie ω2A. Przy maksymalnym wychyleniu w obydwu kierunkach prędkość równa się zeru, ponieważ musi wtedy zmienić kierunek. Przyspieszenie w takiej chwili, podobnie jak siła przywracająca równowagę, osiąga wartość maksymalna, lecz jest skierowane przeciwnie do przemieszczania. Kiedy wychylenie jest zerowe, prędkość punktu materialnego osiąga maksimum, a przyspieszenie znika, tak jak to się dzieje z siłą przywracającą równowagę. Prędkość wzrasta w miarę zbliżania się punktu materialnego do położenia równowagi i maleje w miarę zbliżania się do maksymalnego wychylenia.
Poza tym, warto poznać jeszcze jedno pojęcie związane z ruchem harmonicznym:
Izochronizm – właściwość układów drgających polegająca na zachowywaniu stałego okresu drgań niezależnie od zmian amplitudy.
2. Wahadło matematyczne.
Wahadło – ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji.
Wahadło matematyczne – wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi, zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy.
Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone od pionu o kąt θ. Na masę m działa siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici T. Siła przywracająca równowagę układu i sprowadzająca masę m do położenia równowagi wynosi:
. Zauważmy, że siła F nie jest proporcjonalna do przemieszczania kątowego θ, lecz do sinθ. Zatem ruch nie jest prostym ruchem harmonicznym. Jeżeli kąt θ jest mały, to sin θ jest bardzo bliskie θ mierzonemu w radianach. Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi x=lθ i dla małych kątów ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy. Przyjmując przeto, że otrzymujemy .
Zatem dla małych przemieszczeń siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia ze znakiem przeciwnym. Jest to właśnie wymagane kryterium dla prostego ruchu harmonicznego. Stała mg/l określa stałą k w równaniu . Przy małej amplitudzie okres drgań wahadła prostego wynosi więc:
lub .
Okres nie zależy od masy wahadła.
3. Wahadło fizyczne.
Wahadło fizyczne – dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać dookoła pewnej osi przechodzącej przez to ciało. Wahadło matematyczne jest poszczególnym przypadkiem wahadła fizycznego. W rzeczywistości wszystkie realne wahadła są wahadłami fizycznymi.
Bryła sztywna, jaką jest wahadło fizyczne, stanowi zbiór wahadeł matematycznych o masach elementarnych m1,m2,…,mn i długościach l1,l2,…,ln. Każde wahadło wzięte oddzielnie wahało by się niezależnie jedno od drugiego z różnym okresem wahań T1,T2,…,Tn. Jednak bryła, którą one tworzą, narzuca im swój własny, ustalony okres T. Jedne zatem wahadła proste muszą swój okres przyspieszać, inne zwalniać, aby utrzymać wspólny rytm wahadła fizycznego. Wśród wszystkich wahadeł prostych jest na pewno jedno takie, które nie potrzebuje swego okresu zmieniać, bo jest on akurat taki sam jak dla danego wahadła fizycznego. Jest to tzw wahadło zsynchronizowane, albo zredukowane. Jego masę oznaczamy przez m0, a jego długość przez l0. Okres drgań takiego wahadła podaje oczywiście wzór:
Z określenia wahadła zsynchronizowanego wynika, że T0=T, tzn że powyższy wzór słuszny jest również dla wahadła fizycznego, z ta różnicą że musimy pamiętać, że l0 oznacza długość wahadła zsynchronizowanego, a nie odległość środka masy wahadła od osi obrotu.
4. Wahadło różnicowe.
Wahadło różnicowe stanowi pewną odmianę wahadła prostego, ponieważ jest to wahadło proste o przesuwalnym punkcie zawieszenia, przy czym jest tak skonstruowane, że można w precyzyjny sposób mierzyć zmiany jego długości (∆l=l1-l2), lecz nie bezwzględną długość wahadła. Okazuje się, że aby wyznaczyć przyspieszenie ziemskie g nie potrzebne są nam wartości długości l1,l2. Wykazać to można następującym równaniem: niech w pierwszym położeniu długość wahadła będzie równa l1 wówczas okres drgań wynosi
lub
Podobnie w drugim położeniu:
Odejmując równania stronami otrzymamy:
Stąd:
.
5. Przyspieszenie ziemskie.
Przyspieszenie ziemskie g – przyspieszenie nadawane przez siłę grawitacyjną Ziemi ciału znajdującemu się na jej powierzchni.
Wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. Wraz z wysokością przyspieszenie maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości do środka Ziemi i jest wynikiem zmniejszania się siły grawitacji zgodnie z prawem powszechnego ciążenia. Zmniejszanie się przyspieszenia ziemskiego wraz z zmniejszaniem szerokości geograficznej jest spowodowane działaniem pozornej siły odśrodkowej, która powstaje na skutek ruchu obrotowego Ziemi. Ponieważ siła ta jest proporcjonalna do odległości od osi obrotu, stąd największą wartość osiąga na równiku. Ponieważ siła odśrodkowa ma tu zwrot przeciwny do siły grawitacji, przyspieszenie ziemskie na równiku osiąga najmniejszą wartość. Dodatkowe zmniejszenie przyspieszenia ziemskiego w okolicach równika spowodowane jest spłaszczeniem Ziemi. Nie obserwuje się zależności przyspieszenia ziemskiego od długości geograficznej.
Tzw. wartość normalna przyspieszenia ziemskiego (tj. średnie przyspieszenie ziemskie na poziomie morza dla szerokości geograficznej 45°) wynosi g = 9,80665 m/s2.
Literatura:
§ T. Dryński, „Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki”, PWN, 1978
§ H. Szydłowski, „Laboratorium fizyczne:, PWN, 1975
§ R. Resnick, D. Halliday, „Fizyka”, t.1, PWN, 1989
§ www.wikipedia.pl
kamszym88