wektory_glowne.pdf

(286 KB) Pobierz
Macierze nieosobliwe
Wektory główne endomorfizmu (macierzy).
Postać Jordana.
Definicja 1.
A
Wielomian
Wa
()
λ λ λ
= +
m
a
m
−
1
+ + +
...
a
λ
a
nn
m
m
−
1
1
0
( λ
W
nazywamy wielomianem anulującym macierzy A
()
:
⇔= +
WA aA a A aAaI
m
m
−
1
+ + + ⋅ 0
=
m
m
−
1
1
0
Twierdzenie 1.
Z: ;
A ( ) ( )
nn
×
∆= −
λ
det A I
λ
T: wielomian charakterystyczny macierzy A jest anulujący
( λ 0
Definicja 2.
Wielomianem minimalnym macierzy nazywamy wielomian anulujący
taj macierzy stopnia najniższego o współczynniku 1 przy najwyższej
potędze.
A nn
×
Twierdzenie 2.
( λ - wielomian minimalny macierzy A
A ×
nn
T: wielomian jest jedyny
m λ
( )
Twierdzenie 3.
Z: ;
nn
×
m λ - wielomian minimalny macierzy A
W λ - wielomian anulujący macierzy A
( )
T: wielomian minimalny macierzy A jest podzielnikiem każdego
wielomianu anulującego macierzy A.
Wp
λ λ λ
= ⋅
Twierdzenie 4.
Z: A
nn
×
- macierz
∆=±− ⋅ − ⋅ ⋅ −
() ( ) ( ) (
λ λ λ λ λ λ λ
k
1
k
2
...
) p - wielomian charakterystyczny
macierzy A
k
1
2
p
kk kn
+++=
...
1
2
p
m
()
λ
- wielomian minimalny
T: Każda wartość własna macierzy A jest pierwiastkiem wielomianu
minimalnego.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
×
...
∆=
Z: ; m
A ( )
() () ( ) m
11843045.008.png
WNIOSEK
() ( ) ( ) ( )
() ( ) ( ) ( )
k
k
k
jeżeli
∆=
λ λ λ λ λ λ λ
±− ⋅ − ⋅ ⋅ −
1
2
...
p
to
nn
×
1
2
p
m
λλλλλ λλ
=− ⋅ − ⋅ ⋅ −
s
1
s
2
...
s
p
1
2
p
i
sk
i
≤
=
i
1,...,
p
Przykład 1.
− −
10 3
323
30 1
∆=−−⋅ +
() ( )( )
λ λ λ
2
2
4
A
=
− −
znaleźć wielomian minimalny
m
mA
( ) ( ) ( )
() ( )( )
=− − ⋅ +
2
4
=− − ⋅ +
A I A I
2
4
− −
30 3 30 3 000
300 363 000
30 3 303 000
 
−
 
 
 
mA
()
=
 
⋅
 
− − −
 
 
 
 
()
⇒
mA
- wielomian anulujący
Wektory główne
Umowa zapisu:
W zapisie u to żsamiamy wektor z jego współrzędnymi i w zależności od
kontekstu oznacza albo wektor, albo jego współrzędne w bazie.
v
-macierz
Wektor własny odpowiadający tej wartości własn ej nazywamy
wektorem g łów n ym r z ędu pierwszego i oznaczamy:
nn
×
v
λ - wartość własna macierzy
v
( 1
Wektor nazywamy wektorem głównym rzędu drugiego
odpowiadającego wartości własnej
vv ≠
() ()
2
,
2
0
λ
jeżeli:
( ( )
A Iv v
−
λ
2
=
()
v ≠
( 1
0
itd.
wektor
v ≠
( )
k
0
nazywamy wektorem głównym rzędu k macierzy A
jeżeli:
( ( )
AI v v
−
λ
k
=
( 1
−
v ( 1
k −
≠
0
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
A
i
λ λ λ
=
Definicja 3.
A
1
( )
k
( )
11843045.009.png
 
UWAGA
Wektor zerowy jest wektorem głównym każdego rzędu odpowiadającego
każdej wartości własnej
WNIOSEK
A
=
M
f
f - endomorfizm
v
( )
i
0
1,...,
≠
i k
( )
=
A Iv v Av v Av v fv v
− =⇔⋅ − =⇔⋅ = ⇔ =
λ
()
1
() ()
1
λ
1
0
() ()
λ
1
( ( )
1
λ
()
( )
AI v v Av
− = ⇔⋅ − = ⇔⋅ = + ⇔
λ
() ()
2
1
() () ()
2
λ
v v Av v
2
1
() () ()
1
λ
v
2
⇔=
fv v v
( ( )
2
() ()
+
λ
2
( )
A Iv v Av v v Av v v
− = ⇔⋅ − = ⇔⋅ = + ⇔
λ
() ( )
k
k
−
1
() () ( )
k
λ
k
k
−
1
() ( ) ()
k
k
−
1
λ
k
⇔=
fv v v
( ( )
k
( ) ()
k
−
1
+
λ
k
Przykład 2.
Znaleźć wektory główne macierzy A.
200
021
002
A MBB
=
( )
,
: f →
3
3
f
A
=
−
−= − =−
−
2
λ
0
0
de
t
( )
AI
λ
0 2
λ
1 2
( ) 3
λ
0
0 2
λ
λ
2
3
000 0
001 0
000 0
=
=
k
1
   
   
x
x
x
1
⋅ =
   
   
2
   
3
X
dim
00
0
00
=
=
=
x
x
x
1
=
α
β
x
=
3
2
( )
=
0
3
{
{
} ( ) ( )
}
=
αβ αβ α β
, ,0 , ,
macierz nie jest diagonalizowalna
∈ =
1,0,0 0,1,0 , ,
+
αβ
∈
2
X
2
=
2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
1
1
2
1
1
11843045.010.png 11843045.001.png 11843045.002.png 11843045.003.png
v
() ( )
1
=
αβ
,,0
1
000
001
000 0
   
   
x
x
x
1
α
β
⋅ =
   
   
2
 
α β
   
≠∨ ≠
=
=⇒≠ =
=
3
0
0
0
α
ββ α
x
3
0: 0
( )
bo
v
00
() ( )
() ( )
1
=
0, , 0
β β
∧ ≠
0
1
(
np v
.: 0,1,0
1
=
)
1
00
1
00
=
=
=
x t
x s
1
=
=
x
3
2
v t
ogólnie: v
{
}
( )
( )
2
=
,,1,,
s t s
∈
1
{
}
( )
( )
2
=
t
,, ,, 0
s
β
t s
∈ ∧ ≠
β
1
000
001
   
   
x
1
t
⋅ =∧≠
x
s
β
0
   
   
2
000
x
β
   
3
0
t
xs
=
=
=
3
sprzeczność!!
0
.
β
nie istnieją wektory główne rzędu
wyższego niż 2.
np
β
=
1
wektory liniowo niezależne
v
() ( )
=
0,1, 0 ,
v
() ( )
2
=
0, 0,1 ,
v
() ( )
1
=
1, 0, 0
1
1
2
(
)
Bv
= =
() ( )
1
0,1, 0 ,
v v
() ( )
2
=
0, 0,1 ;
() ( )
1
=
1, 0, 0
1
1
2
fv
( ( )
1
= =
2 2,0,0
v
() [ ]
1
1
1
B
'
fv
fv
( ( )
2
=+ =
v v
() () [ ]
1
2
2
1, 2,0
1
1
1
B
'
( ( )
1
= =
2
v
() [ ]
1
0,0, 2
210
020
002
2
2
B
'
M
f
=
w bazie B
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
1
11843045.004.png 11843045.005.png 11843045.006.png
Definicja 4.
(
fX
,,,
+⋅
→
)
- przestrzeń wektorowa
B - baza
:
X
MBB
A
=
f
( )
,
Zbiór wszystkich w ektorów głównych macierzy A wszystkich dowolnych
rzędów, również , odpowiadających wartości własnej nazywamy
przestrzenią charakterystyczną i oznaczamy
0
V λ
λ
Twierdzenie 5.
Z: ( )
XK
f XX
,,,
+⋅
→
- przestrzeń wektorowa
B - baza
:
T: ( ) -podprzestrzeń przestrzeni X
VK
λ
,,,
+⋅
Definicja 5.
nazywamy przestrzenią charakterystyczną macierzy A
(endomorfizmu f)
λ
,,,
+⋅
nn × -wartość własna
T: Niezerowy wektor jest w ekto re m głównym rzę du k m a cierzy A
v ( )
k
()
()
( )
k
( )
λ −
k
1
⇔ − ⋅ = ∧− ⋅ ≠
AI v AI v
λ
k
0
k
0
Twierdzenie 7.
Z: AM
nn f
× =
λ
wartość własna
vv v
() () ()
1
,
2
,...,
k
- wektory główne różnych rzędów
v
()
i
≠ =
0, 1,...,
i
k
T: vv
() () ()
1
,
2
,...,
v
k
wektory liniowo niezależne
niezerowe wektory główne różnych rzędów odpowiadające tej samej
wartości własnej są liniowo niezależne.
Twierdzenie 8.
Z:
fX X
Xn
→
=
f - endomorfizm
∆=− ⋅ − ⋅ ⋅ −
() ( ) ( ) (
λλλλλ λλ
α
1
α
...
) wielomian charakterystyczny
p
1
2
p
αα α
1
+++=
podprzestrzenie charakterystyczne odpowiadające
wartościom własnym
2
...
p
n
VV V
λλ λ
1
,
2
,...,
p
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
XK
( )
VK
Twierdzenie 6.
Z: A ,
:
dim
α
2
11843045.007.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin