MATEMATYKA - Semestr 2 - Rachunek Różniczkowy.pdf

(277 KB) Pobierz
Microsoft Word - MATEMATYKA - Semestr 2 - Rachunek Ró¿niczkowy.doc
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI
2 i 3 ZMIENNYCH
¾ ZBIORY PŁASKIE
¾ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
¾ GRANICA i CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
¾ WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH
¾ POCHODNA CZĄSTKOWA FUNKCJI DWÓCH
ZMI ENN YCH
¾ POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
¾ PŁASZCZYZNA STYCZNA
¾ RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
¾ POCHODNE CAŁKOWE i RÓŻNICZKI WYŻSZYCH
RZĘDÓW
¾ EKSTREMUM FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
PADER collection
- 1 -
 
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
ZBIORY PŁASKIE
Def.
Zbiór płaski to zbiór na płaszczyźnie Oxy.
Def.
Otoczenie punktu P o (x o , y o ) o promieniu r to zbiór punktów P(x , y) płaszczyzny
O(P
0
,
r)
=
{P
:
P
0
P
<
r}
O(P
,
r)
=
{(x,
y)
:
(x
−
x
)
2
+
(y
−
y
)
2
<
r
2
}
0
0
0
Def.
Sąsiedztwo punktu P o (x o , y o ) o promieniu r to zbiór punktów P(x , y) płaszczyzny
S(P
0
,
r)
=
{P
:
0
<
P
0
P
<
r}
S(P
,
r)
=
{(x,
y)
:
0
<
(x
−
x
)
2
+
(y
−
y
)
2
<
r
2
}
0
0
0
Sąsiedztwo bez środka
Def.
Punkt P∈ A nazywać będziemy punktem wewnętr znym zbior u A jeże li na leży
do zbioru A pewnego otoczenia puktu P.
PADER collection
- 2 -
5236039.005.png 5236039.006.png 5236039.007.png
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Dopełnienie Zbioru
Dopełnienie danego zbioru płaskiego to zbiór utworzony ze wszystkich punktów, które do
danego zbioru nie należą.
Punk t Brzegowy
Punkt brzegowy zbioru to punkt, w którego otoczeniu znajdują się punkty zarówno do
zbioru należąc e jak i n iena leżące.
Zbiór Spójny
Zbiór płaski nazywamy spójnym jeżeli każde dwa jego punkty można połączyć lin ią ciągłą
całkowicie zawartą w tym zbiorze.
Mów imy, że odcinek PQ rozcina zbiór jeże li is tnieją takie dwa jego punkty, których nie
można połączyć lin ią ciągłą w tym zbiorze, która by nie przecinała tego odcinka.
Zbiór Jednospójny
Zbiór spójny nazywamy jednospójnym jeżeli jego dopełnienie do całej płaszczyzny jest
zbiorem spójnym.
W przypadku, gdy zbiór jest ograniczony można podać (inną) równoważną definicję
jednospójności.
Zbiór ograniczony nazywamy jednospójnym, jeżeli każdy odcinek łączący punkty
zewnętrzne tego zbioru i przechodzący przez punkt wewnętr zny zbior u r ozc ina ten zbiór .
Zbiór Otwarty
Zbiorem otwartym będziemy nazywać zbiór, który zawiera tylko punkty wewnętrzne
(bez brzegu).
Obszar otwarty oznacza zbiór spójny otwarty.
Zbiór Domk nięty
Zbiorem domkniętym nazywamy zbiór, który zawiera wszystkie swoje punkty brzegowe.
Obszar domknięty oznacza obszar otwarty z dołączonym brzegiem.
Obszar normalny
Obszar nazywamy normalnym względem danej osi Ox lub Oy jeżeli każda prosta
prostopadła do tej osi i przechodząca przez jego punkt wewnętrzny przecina brzeg obszaru
w dwóch punktach.
PADER collection
- 3 -
 
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
Zapis analityczny obszaru D normalnego względem osi Ox.
D
=
(x,
y)
a
≤
x
≤
b
ϕ
(x)
≤
y
≤
ψ(x)
Przykład
Narysować i zapis ać analitycznie obszar D ograniczony krzywymi
x
2
+
y
2
=
2
y
=
x
2
y
≥
0
D
=
(x,
y)
-:
≤
x
≤
1
x
2
≤
y
≤
2
−
x
2
PADER collection
- 4 -
5236039.001.png 5236039.002.png 5236039.003.png
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
Jeżeli każdemu punktowi P(x , y) zbioru płaskiego D przyporządkujemy dokładn ie jedną
liczbę rzeczywistą z, to mówimy, że na zbiorze D została określona funkcja dwóch
zmiennych z = f (x , y) [ z = f(D) ].
Przykład 1
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
f(x,
y)
=
x
1
+
sin
2
x
Odp.
w tym przypadku D f = R 2
Przykład 2
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
f(x,
y)
=
1
x
2
+
y
2
Odp.
D f = { (x , y): x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 }
Przykład 3
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
f(x,
y)
=
x
y
2
−
x
2
Odp.
D f = { (x , y): y ≠ x ∧ y ≠ -x }
Przykład 4
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
f(x,
y)
=
arcsin
x
+
arcsin
3
2
4
Odp.
D f = { (x , y): -2 ≤ x ≤ 2 ∧ -3 ≤ y ≤ 3 }
PADER collection
- 5 -
5236039.004.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin