2005 Sygnaly.pdf

PODZIAŁ SYGNAŁÓW............................................................... 2

1.1 S YGNAŁY OKRESOWE ............................................................. 3

1.1.1 Sygnał sinusoidalny......................................................... 4

1.1.2 Sygnały poliharmoniczne ................................................ 5

1.2 S YGNAŁY NIEOKRESOWE ....................................................... 6

1.2.1 Sygnał wykładniczy ......................................................... 6

1.2.2 Skok jednostkowy i impuls Diraca.................................. 7

PARAMETRY SYGNAŁÓW ....................................................... 9

1.3 W ARTOŚĆ ŚREDNIA .............................................................. 10

1.3.1 Interpretacja fizyczna wartości średniej ...................... 11

1.4 W ARTOŚĆ SKUTECZNA ......................................................... 12

1.4.1 Interpretacja fizyczna wartości skutecznej................... 13

1.5 W SPÓŁCZYNNIKI KSZTAŁTU I SZCZYTU ............................... 14

1.5.1 Wartość skuteczna sygnału sinusoidalnego ................. 15

1.5.2 Wartość średnia sygnału sinusoidalnego ..................... 16

OPIS SYGNAŁÓW...................................................................... 17

1.6 F UNKCJA ZMIENNEJ ZESPOLONEJ ......................................... 17

1.6.1 Stała zanika liczbą rzeczywistą..................................... 17

1.6.2 Stała zanikania liczbą urojoną..................................... 18

1.6.3 Stała zanikania liczbą zespoloną.................................. 19

1.6.4 Wartość początkowa sygnału liczbą zespoloną............ 19

1.7 W SKAZ WIRUJĄCY ................................................................ 21

1.8 W ARTOŚĆ ZESPOLONA ......................................................... 22

DZIAŁANIA NA SYGNAŁACH ............................................... 23

1.9 D ODAWANIE SYGNAŁÓW ..................................................... 23

1.9.1 Sumowanie sygnałów sinusoidalnie zmiennych ........... 23

P ODZIAŁ SYGNAŁÓW

Sygnałami nazywamy wielkości fizyczne niosące informacje .

Sygnałami są ciśnienie, temperatura, położenie, natężenie.

100

f(t) = F exp(-t/ τ )

Obserwowane zmiany wartości lub jakości wielkości fizycznej

wyrażane są w zależności od wielości przyjętej jako zmienna

niezależna. Najczęściej są one wyrażane funkcji czasu. Oczywiście

jako zmienna niezależna mogą być przyjęte inne wielkości

fizyczne, takie jak odległość, kąt, temperatura lub ciśnienie.

Większość występujących w przyrodzie zjawisk, to zjawiska

zdeterminowane , które z dużym stopniem przybliżenia można

opisać ścisłymi zależnościami matematycznymi. Na przykład

zmiana radioaktywności pierwiastka w czasie, ruch satelity po

orbicie okołoziemskiej, zmiana napięcia na zaciskach

kondensatora, w czasie ładowania lub rozładowania tego

kondensatora. Sygnały charakteryzujące takie zjawiska mogą być

opisane za pomocą ścisłych zależności matematycznych

wyrażonych w postaci funkcji (Rys. 1). W przypadku, gdy nie

można określić, jaką wartość przyjmie sygnał w przyszłości, to

zarówno sygnał, jak i obserwowane zjawisko mają charakter

losowy (Rys. 2).

12.5

6.25

Rys. 1. Zmiana napromieniowania

W zależności od sposobu obserwacji zjawiska fizycznego lub

jego natury, sygnały można podzielić na sygnały ciągłe i sygnały

dyskretne. Sygnał jest sygnałem ciągłym, jeżeli jest określony dla

wszystkich wartości czasu (Rys. 1, Rys. 2). Sygnał nazywamy

sygnałem dyskretnym, jeżeli znane są wartości tego sygnału tylko

w wybranych chwilach czasu (Rys. 3).

Rys. 2. Zapis EKG

18.0

17.9

17.8

W elektrotechnice sygnałami są zmieniające się w czasie

wartości napięć i prądów występujących w obwodzie

elektrycznym.

17.7

17.6

dzień

Rys. 3. Wartość WIG

1.1 Sygnały okresowe

1.1.1 Sygnał sinusoidalny

Wśród zdeterminowanych zjawisk fizycznych wiele zmienia się

w sposób cykliczny, czyli okresowy. Opisujący takie zjawisko

sygnał f(t) zmienia się w takt zmian tego zjawiska.

Sygnał sinusoidalnie zmienny (Rys. 4) jest opisany wzorem:

(A.1)

f(t) = F m sin ( ω t + ψ )

F m

Jeżeli okres powtarzalności zjawiska wynosi T , to opisujący to

zjawisko sygnał jest sygnałem okresowym spełniającym

następujący warunek:

t = 0

ω t

gdzie:

F m - amplituda, wartość maksymalna sygnału f(t) ,

ω = 2 π

T = 2 π f - pulsacja kątowa,

T - okres powtarzania,

f = 1

T - częstotliwość sygnału,

ψ - faza początkowa sygnału f(t) .

f(t + nT) = f(t)

gdzie n jest dowolną liczbą naturalną.

Występujące w przyrodzie sygnały okresowe można podzielić

na dwie zasadnicze grupy:

- sinusoidalne,

- poliharmoniczne (niesinusoidalne).

2 π

Rys. 4. Sygnał sinusoidalny

Jak wynika z powyższego wzoru, sygnał sinusoidalnie zmienny

jednoznacznie charakteryzują trzy parametry: okres (częstotliwość,

pulsacja,) amplituda oraz faza początkowa.

Spośród sygnałów okresowo zmiennych w czasie, sygnał

sinusoidalnie zmienny zajmuje szczególne miejsce w technice, a

przede wszystkim w elektrotechnice. Wynika to przede wszystkim

z faktu, że podstawowym źródłem energii elektrycznej dla potrzeb

przemysłu i odbiorców indywidualnych są generatory napięcia

sinusoidalnie zmiennego o częstotliwości 50 lub 60 Hz . Bardzo

istotny jest też fakt, że sygnał okresowy o dowolnym kształcie

można przedstawić w postaci sumy funkcji sinusoidalnie

zmiennych o odpowiednio dobranych parametrach.

Wykres zmian wartości chwilowej

sygnału sinusoidalnego można sporządzić

funkcji czasu t lub funkcji kąta ω t , co

zostało pokazane na Rys. 4. Należy zwrócić

uwagę na fakt, że w przypadku, gdy wykres

zmian sygnału sinusoidalnie zmiennego jest

sporządzony funkcji kąta ω t to nie ma

możliwości odczytania z wykresu wartości

częstotliwości sygnału. W przypadku, gdy

oś odciętych jest w jednostkach czasu,

należy pamiętać, że faza początkowa

sygnału jest podawana w stopniach lub

radianach Na osi czasu należy, więc

odmierzyć wartość czasu ψ / ω

odpowiadającą przesunięciu sygnału

sinusoidalnego względem umownej chwili

t = 0 .

Jeżeli we wzorze opisującym zmiany sygnału sinusoidalnie

zmiennego wykorzystamy zależności:

sin( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

to otrzymujemy następujące równanie:

F sin( ω t + ψ ) = A cos ω t + B sin ω t

gdzie:

A = F sin ψ B = F cos ψ

Jak wynika z powyższego równania, każdy sinusoidalnie

zmienny sygnał jest sumą funkcji sinus i cosinus o odpowiednio

dobranych amplitudach.

Rozważając różne sposoby zapisu funkcji sinusoidalnie

zmiennych należy pamiętać, że:

sin ( ω t + ψ ) = cos ( ω t + ψ - 90 0 )

czyli każdą funkcję sinus można przedstawić jako funkcję kosinus.

1.1.2 Sygnały poliharmoniczne

1.2 Sygnały nieokresowe

Wśród występujących w obwodach elektrycznych okresowych

sygnałów niesinusoidalnie zmiennych należy wyróżnić sygnał:

prostokątny, piłokształtny, trójkątny, trapezowy oraz impulsowy

Na Rys. 5 przedstawiono kilka wybranych niesinusoidalnych

sygnałów okresowych. Podstawowym źródłem sygnałów

piłokształtnych, prostokątnych, trójkątnych lub impulsowych są

generatory sygnałów.

Wśród sygnałów nieokresowych należy wyróżnić przede

wszystkim sygnał wykładniczy (Rys. 6) oraz dwa umowne

sygnały: skok jednostkowy (Rys. 7) i impuls Diraca (Rys. 8).

100

1.2.1 Sygnał wykładniczy

a) sygnał prostokątny

Sygnał wykładniczy jest opisanym wzorem:

Analizując kształty sygnałów okresowych w zależności od

chwili rozpoczęcia obserwacji, czyli umownej chwili t = 0 ,

możemy wyróżnić sygnały parzyste, nieparzyste oraz

antysymetryczne.

~37

(A.2)

f(t) = F o e -t/ τ

gdzie:

e - stała logarytmiczna równa 2,718 ... = (1 + 1

Sygnał jest parzysty, gdy spełniony jest następujący warunek:

n ) n dla n ∈ N ,

1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ

f(t) = f(-t)

b) sygnał trójkątny

F o - wartość sygnału w chwili t = 0 ,

t - czas,

τ - stała czasowa.

Sygnał nazywamy nieparzystym, jeżeli zachodzi warunek:

f(t) = - f(-t)

Jak wynika z powyższego wzoru, w całym przedziale czasu

rozpatrywany sygnał maleje nie zmieniając swojego kierunku. Jest

to, więc sygnał jednokierunkowy. Warto także zwrócić uwagę na

fakt, że malejący wykładniczo sygnał osiąga wartość równą zeru

dopiero wtedy, gdy czas ma wartość równą nieskończoności. O

szybkości zanikania sygnału wykładniczego decyduje wartość

stałej czasowej. Korzystając z wykresu zmian badanego sygnału

(Rys. 6b), wartość stałej czasowej można wyznaczyć graficznie

kreśląc styczną do dowolnego punktu leżącego na tym wykresie.

Odległość między rzutem na oś czasu punktu styczności, a

punktem przecięcia się stycznej z osią czasu wyznacza wartość

stałej czasowej. Jak wynika ze wzoru opisującego sygnał

wykładniczy stała czasowa jest to taka wartość czasu po upływie,

której sygnał maleje e razy (Tabela 1). W praktyce przyjmujemy,

że maje do około 37 % wartości początkowej. Wartość stałej

czasowej można wyznaczyć także korzystając z faktu, że po

upływie pięciu stałych czasowych, wartość sygnału malejącego

wykładniczo jest mniejsza niż 1 % wartości początkowej sygnału

100

W przypadku, gdy spełniony jest warunek:

f(t) = - f(t + T

2 ) lub f(t) = f(t + T

2 )

c) sygnał piłokształtny

to sygnał taki nazywamy antysymetrycznymym.

12.5

6.25

d) sygnał impulsowy

Rys. 5. Sygnały okresowe niesinusoidalne

Rys. 6. Sygnał wykładniczy

Sygnał wykładniczy opisuje między

innymi zmiany ilości radioaktywnych

pierwiastków w czasie. W tym przypadku do

opisu szybkości zanikania pierwiastków

radioaktywnych stosuje się pojęcie czasu

połowicznego rozpadu. Wartość czasu

połowicznego rozpadu mówi nam o czasie,

jaki jest potrzebny, aby ilość

radioaktywnych pierwiastków zmniejszyła

się dwukrotnie (Rys. 6b).

Tabela 1 Zmiany sygnału wykładniczego funkcji czasu

1 τ

2 τ

3 τ

4 τ

5 τ

f(t) = F o e -t/ τ

F o

e 2

F o

e 3

F o

e 4

F o

e 5

f(t)

F o

[%]

100

36,79 13,53 4,98

1,83

0,67

Źródła sygnałów specjalnych

1.2.2 Skok jednostkowy i impuls Diraca

t = t o

Wykorzystując baterię napięcia stałego oraz przełącznik

możemy uzyskać źródło skoku jednostkowego o zadanej

amplitudzie. Zmiana położenia przełącznika w chwili t o powoduje

zmianę napięcia na wyjściu układu z wartości zero do wartości

napięcia źródła baterii. W czasie przełączania napięcie na

zaciskach ma wartość nieokreśloną.

Skok jednostkowy (Rys. 7), nazywany także funkcją

jednostkową Heaviside’a, oznaczany 1(t) jest to umowny sygnał,

którego wartość do chwili t o jest równa zeru, a od chwili t o

przyjmuje wartość jeden (dla t = t o wartość sygnału jest

nieokreślona, lecz skończona) .

u(t)

t o

Jeżeli przyjmiemy, że sygnał skoku jednostkowego pojawił się

w chwili t o = 0 , to jest on opisany wzorem:

Rys. 7. Skok jednostkowy

Jeżeli czas załączenia baterii jest odpowiedni krótki ∆, a siła

elektromotoryczna źródła napięcia stałego odpowiednio duża, to

można przyjąć, że napięcie na zaciskach obwodu zmienia się jak

impuls Diraca.

Rys. 10. Źródło skoku jednostkowego

1(t) = 0 dla t < 0

1(t) = 1 dla t ≥ 0

Dobierając odpowiednio amplitudę oraz przesunięcie w czasie

poszczególnych skoków jednostkowych można odwzorować

dowolny sygnał. Na przykład ciąg impulsów prostokątnych jest

sumą przesuniętych w czasie skoków jednostkowych o amplitudzie

jeden.

Źródłem przebiegów impulsowych mogą być też dwa źródła

skoku jednostkowego. Jedno załączane w chwili t o o amplitudzie E

oraz drugie załączane w chwili t o + ∆ i mające przeciwną

polaryzację, czyli – E .

t o

Rys. 8. Impuls Diraca

t o

Rys. 11. Skok o amplitudzie E

Impuls Diraca (Rys. 8) oznaczany δ (t) , zwany czasami funkcją

impulsową lub deltą Diraca, jest to umowny nieskończenie krótki

sygnał o nieskończenie dużej wartości w chwili t o , którego pole

powierzchni jest równe jedności.

∆

t = t o

∆

Impuls Diraca, który pojawia się chwili t o = 0 jest opisany

równaniem:

t o

u(t)

δ (t) = ∞ dla t = 0

δ (t) = 0 dla t ≠ 0

∆

Rys. 12. Źródło impulsu Diraca

Ponieważ dla czasu różnego od t o wartość impulsu Diraca jest

równa zeru, to całkę określająca pole powierzchni pod impulsem

Diraca można obliczać w przedziale od dowolnej chwili t a < t o do

dowolnej chwili t b > t o :

t o

∆ E

Rys. 9. Aproksymacja skoku jednostkowego i

impulsu Diraca

∞

δ (t) dt = ⌠

t a

t b δ (t) dt = 1 dla t a < t o < t b

⌠

- ∞

t o

Rys. 13. Impuls napięcia

Pomimo tego, że skok jednostkowy nie jest funkcja ciągłą, to

impuls Diraca δ (t) można traktować jako pochodną skoku

jednostkowego ε (t) lub jako różnicę następujących po sobie,

przesuniętych w czasie, skoków jednostkowych (Rys. 9).

Za pomocą sumy odpowiednio dobranych impulsów Diraca

można odwzorować dowolny sygnał.

P ARAMETRY SYGNAŁÓW

1.3 Wartość średnia

1.25

Przy istniejącej różnorodności kształtów sygnałów wyłania się

problem opisu tych sygnałów oraz problem porównania efektów

wywołanych pojawieniem się tych sygnałów w rozpatrywanym

obwodzie elektrycznym. Sposób analizy i opisu sygnałów jest

uzależniony od tego czy sygnał jest zdeterminowany, czy losowy.

Podstawową informacją o dowolnym sygnale f(t) jest wartość

średnia F śr tego sygnału:

0.75

0.5

F śr = 1

0.25

T t 0

t 0 +T

f(t) dt

Najbardziej elementarny sposób opisu sygnału polega na

określeniu kresu górnego i dolnego rozpatrywanego sygnału oraz

określeniu szybkość zmian tego sygnału.

(A.3)

-0.25

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

Jeżeli w rozpatrywanym przedziale czasu istnieje kres górny i

dolny sygnału, to sygnał jest ograniczony. Inaczej mówiąc, istnieje

taka wartość M, że warunek:

| f(t) | ≤ M

jest spełniony dla każdej wartości czasu t należącej do

rozpatrywanego przedziału.

gdzie t 0 jest chwilą rozpoczęcia obserwacji sygnału f(t) , a T jest

okresem powtarzania sygnału lub długością czasu obserwacji.

Rys. 14. Wartości średnia sygnału

Znajomość wartości średniej sygnału umożliwia rozpatrywanie

dowolnego sygnału jako sumy składowej statycznej określonej

wartością średnią oraz składowej dynamicznej, nazywanej też

składową zmienną lub fluktuacją sygnału. Składowa dynamiczna

sygnału jest opisana poprzez wariancję sygnału, która jest równa

średniemu kwadratowi odchylenia sygnału od wartości średniej:

W celu scharakteryzowania sygnałów losowych oraz sygnałów

zdeterminowanych stosowane są następujące parametry:

- wartość średnia,

- wariancja,

- wartość skuteczna (wartość średniokwadratowa).

F d 2 = 1

T ⌠

t 0

t 0 +T

[f(t) – F śr ] 2 dt

Analiza zdeterminowanych okresowych sygnałów jest prostsza

niż sygnałów losowych, ponieważ oprócz wymienionych powyżej

wielkości można jednoznacznie określić kształt zmian takich

sygnałów, wyznaczyć w precyzyjny sposób ekstrema, okres

powtarzalności oraz fazę początkową sygnału.

Wartość bezwzględną pierwiastka kwadratowego z wariancji

nazywamy odchyleniem standardowym .

Dla sygnałów okresowych wartość średnią i wariancję sygnału

obliczamy za jeden okres powtarzania badanego sygnału.

Sygnał okresowy, dla którego wartość średnia sygnału jest

różna od zera, nazywamy tętniącym lub pulsującym. W przypadku,

gdy wartość średnia sygnału okresowego jest równa zeru, to taki

sygnał nazywany jest sygnałem przemiennym .

1.25

1.4 Wartość skuteczna

0.75

1.25

0.5

F sr

Elementarnej informacji o intensywności sygnału dostarcza

wartość średniokwadratowa , która jest definiowana jako wartość

średnia kwadratu rozpatrywanego sygnału:

0.25

0.75

W przypadków sygnałów przemiennych wartość średnia

sygnału f(t) jest często definiowana jako wartość średnia z wartości

bezwzględnej sygnału. Jest to tak zwana wartość średnia sygnału

wyprostowanego :

0.5

-0.25

0.25

-0.5

-0.75

F 2 = 1

T ⌠

f 2 (t) dt

-0.25

-1

-0.5

F śr = 1

-1.25

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

-0.75

T ⌠

|f(t)| dt

-1

Rys. 15. Wartość średnia sygnału wyprostowanego

W elektrotechnice do opisu sygnałów posługujemy się

parametrem nazywanym wartością skuteczną sygnału, będącą

wartością bezwzględną z pierwiastka kwadratowego wartości

średniokwadratowej:

-1.25

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

1.25

gdzie | f(t) | oznacza wartość bezwzględną sygnału f(t) .

1.25

0.75

W przypadku, gdy sygnał jest antysymetryczny, to może on być

opisany przez wartość średnią półokresową zdefiniowaną w

następujący sposób:

0.5

0.75

0.25

0.5

0.25

T ⌠

-0.25

f 2 (t) dt

F sk = F =

(A.4)

-0.25

-0.5

T/2

f(t) dt

F śr2 = 2

-0.5

-0.75

T ⌠

-1

-0.75

-1.25

-1

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

-1.25

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

Wartość skuteczną sygnału oznaczamy dużą literą bez

indeksu sk . Indeks sk stosujemy tylko wtedy, gdy istnieje potrzeba

odróżnienia wartości sygnału stałego w czasie od wartości

skutecznej sygnału okresowo zmiennego.

Dla sygnału antysymetrycznego wartość średnia półokresowa

jest równa wartości średniej sygnału wyprostowanego.

Rys. 16. Wartość średnia półokresowa

Rys. 17. Wartość skuteczna sygnału

1.3.1 Interpretacja fizyczna wartości średniej

Znając wartość skuteczną oraz wartość średnią sygnału

możemy obliczyć składową dynamiczną, czyli wariancję sygnału

korzystając z zależności:

Z fizycznego punku widzenia, dla natężenia prądu i(t) wartość

średnia tego prądu jest to taka wartość prądu stałego I , która w tych

samych warunkach, w ciągu takiego samego czasu, wydziela w

trakcie elektrolizy taką samą ilość substancji jak prąd opisany

funkcją i(t) .

F d 2 = F 2 – F śr 2

Wariancja sygnału jest różnicą między wartością

średniokwadratową i kwadratem wartości średniej sygnału.

Zgodnie z prawem elektrolizy Faradaya musi, więc być

spełnione równanie:

k I T = k ⌠

i(t) dt

stąd

I śr = I = 1

T ⌠

i(t) dt

1.4.1 Interpretacja fizyczna wartości skutecznej

i(t)

1.5 Współczynniki kształtu i szczytu

Interpretacja fizyczna wartości skutecznej jest związana z

prawem Joule’a– Lenza. Prawo to głosi, że ilość ciepła Q

wydzielającego się na elemencie rozpraszającym energię jest

równa ilości energii W dostarczonej do tego elementu. Rozpatrzmy

fragment obwodu przedstawiony na Rys. 18, w którym przez

liniowy rezystor o stałej w czasie wartości rezystancji R przepływa

prąd o natężeniu i(t) .

Do opisu i porównywania sygnałów przemiennych można także

zastosować współczynnik szczytu i współczynnik kształtu.

Rys. 18. Fragment obwodu

Współczynnik szczytu

Współczynnik szczytu, oznaczany często k m , definiowany jest

jako stosunek wartości maksymalnej sygnału do wartości

skutecznej:

Elementarna ilość energii dW rozpraszana w czasie dt na

elemencie o rezystancji R , przez którą płynie prąd i(t) wynosi:

współczynnik szczytu = wartość maksymalna

wartość skuteczna

dW = p(t) dt = R i 2 (t)dt

Ilość ciepła, które wydzieliło się w rezystorze R do chwili t

podczas przepływu prądu o natężeniu i(t) jest równa:

W = R ⌠

k m =

F m

i 2 (t) dt

Współczynnik kształtu

Współczynnik kształtu, oznaczany k s , jest to stosunek wartości

skutecznej do wartości średniej:

Jeżeli przez rezystor R płynie prąd stały o natężeniu I , to ilość

ciepła jaka wydzieli się w rezystorze do chwili t wynosi:

współczynnik kształtu = wartość skuteczna

wartość średnia

W = R ⌠

I 2 dt= R I 2

⌠

dt = R I 2 t

k s = F

F śr

Jeżeli przyrównamy ilość energii rozpraszanej przez rezystor w

przypadku przepływu dowolnego okresowego prądu i(t) oraz

podczas przepływu prądu stałego I , w tym samym czasie T , to

otrzymamy:

R ⌠

i 2 (t) dt = R I 2 T

Opisane współczynniki są stosowane także do przeliczania i

porównywania wskazań przyrządów pomiarowych, ponieważ

część przyrządów pomiarowych reaguje na wartość maksymalną

sygnału, część na wartość średnią, a część na wartość skuteczną

sygnału.

Po podzieleniu stronami powyższego równania przez

otrzymujemy:

T ⌠

i 2 (t) dt = I 2

Rys. 19. Prawo Joule’a – Lenza

Wartością skuteczną prądu i(t) o

okresie powtarzania T , nazywamy taką

wartość prądu stałego I , który

przepływając przez liniową rezystancję R

w czasie T , spowoduje wydzielenie się na

tej rezystancji takiej samej ilości ciepła,

jak rozpatrywany prąd okresowo

zmienny w ciągu jednego okresu.

Można więc powiedzieć, że przepływ prądu stałego o wartości

T ⌠

I =

i 2 (t) dt

w ciągu czasu T spowoduje wydzielenie się takiej samej ilości

ciepła jak prąd okresowo zmienny o natężeniu i(t) .

1.5.1 Wartość skuteczna sygnału sinusoidalnego

1.5.2 Wartość średnia sygnału sinusoidalnego

1.25

Zgodnie z definicją wartość skuteczna sygnału jest opisana

wzorem:

Ponieważ sygnał sinusoidalnie zmienny

0.75

0.5

i(t) = I m sin ω t

0.5

F sr

0.25

T ⌠

F =

f 2 (t) dt

jest sygnałem pulsujący, to wartość średnią obliczamy korzystając

ze wzoru:

-0.25

-0.5

-0.75

W celu obliczenia wartości skutecznej sygnału sinusoidalnie

zmiennego:

-1

F śr = 1

-1

T ⌠

|f(t)| dt

-1.25

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

i(t) = I m sin ω t

Rys. 20. Wyznaczanie wartości skutecznej

Rys. 21. Wyznaczanie wartości średniej

W rozpatrywanym przypadku otrzymujemy:

w pierwszej kolejności obliczamy wartość całki z kwadratu prądu

sinusoidalnie zmiennego za cały okres powtarzania tego sygnału:

śr2 = 1

|I m sin ω t| dt = 2

T ⌠

T/2

I m sin ω t dt =

⌠

i 2 (t) dt = ⌠

(I m sin ω t) 2 dt = ⌠

I m 2 sin 2 ω t dt

= - 2 I m

T ω cos ω t | T/2 0 =

Jeżeli skorzystamy ze wzoru sin 2 α = 1 - cos 2 α

= - 2 I m

T ω { cos (ω ⋅ 2 ) – cos (ω ⋅ 0 ) } =

możemy napisać, że

2 { 1 - cos(2 ω t) } dt =

I m 2 sin 2 ω t dt = I m 2

⌠

= - 2 I m

T ω { -1 -1 } = 4 I m

T ω

= I m 2 1

2 { ⌠

dt – ⌠

cos(2 ω t)dt }

ponieważ ω = 2 π

T , to:

Ponieważ ⌠

dt = T oraz ⌠

cos x dx = sin T – sin 0 = 0

śr = 4 I m

T 2 π

= 2

π I m ≈ 0,636 I m

to ostatecznie otrzymujemy:

Współczynnik kształtu sygnału sinusoidalnie zmiennego

wynosi:

(I m sin ω t ) 2 dt = 1

2 I m 2 T

⌠

Współczynnik szczytu rozpatrywanego

sygnału jest równy:

I m

k s = I

= π

2 2 ≈ 1,11

π I m

Wartość skuteczna sygnału sinusoidalnego wynosi:

k m = I m

I = I m

I m

= 2 ≈ 1,41

I =

T ( 1

2 I m 2 T) = I m

2 ≈ 0,707 I m

T ⌠

I śr =

O PIS SYGNAŁÓW

1.6.2 Stała zanikania liczbą urojoną

Należy zauważyć, że zarówno dla

dodatnich jak i ujemnych wartości

parametru ω otrzymujemy sinusoidalnie

zmienną postać sygnału f(t) (Rys. 25).

s = 0

Jeżeli przyjmujemy, że stała zanikania s jest liczbą urojoną,

czyli postaci:

1.6 Funkcja zmiennej zespolonej

f(t)

Wśród wszystkich sygnałów szczególne miejsce zajmuje sygnał

wykładniczy opisany wzorem:

s = j ω gdzie ω ∈ { R }

s = j5 s * = - j5

to rozpatrywany sygnał f(t) opisuje funkcja zmiennej zespolonej:

f(t)

f(t) = F o e st

0.5

(A.5)

F(s) = F o e st

Rozpatrywana funkcja zmiennej zespolonej przyjmuje różne

postacie w zależności od wartości i znaku parametru ω:

0.5

gdzie:

F o - wartość sygnału w chwili t = 0 ,

s - stała zanikania.

-1

Rys. 22. Sygnał stały

s = -2

1. Dla ω = 0 , czyli dla s = j0 , funkcja zmiennej zespolonej jest

postaci:

Przeanalizujmy postacie sygnału f(t) dla różnych wartości

współczynnika zanikania s .

-0.5

f(t)

F(s) = F o e j0 t = F o

-1

1.6.1 Stała zanika liczbą rzeczywistą

2. Dla ω > 0 , czyli dla s = j ω, otrzymujemy:

Jeżeli przyjmujemy, że stała zanikania s jest liczbą rzeczywistą,

czyli

F(s) = F o e j ω t

Rys. 25. Sygnał sinusoidalnie zmienny

Korzystając ze wzoru Eulera e j ψ = cos ψ + j sin ψ funkcję

zmiennej zespolonej F(s) możemy zapisać w postaci:

s = α gdzie α ∈ { R }

to w zależności od wartości α musimy rozpatrzyć trzy następujące

przypadki:

F(s) = F o (cos ω t + j sin ω t)

-5

-4 -3

-2 -1

3. Dla ω < 0 , czyli dla s = -j ω, otrzymujemy:

1. Dla α = 0 , czyli dla s = 0 , sygnał f(t) jest funkcją stałą w czasie

(Rys. 22), bo

Rys. 23. Sygnał zanikający wykładniczo

F(s) = F o e -j ω t = F o (cos ω t - j sin ω t)

f(t) = F o e 0 t = F o

s = 2

Jeżeli rozpatrywany sygnał f(t) zinterpretujemy jako część

rzeczywistą funkcji zmiennej zespolonej F(s) , to dla każdej

wartości ω można napisać:

2. Dla α < 0 , sygnał f(t) maleje wykładniczo ze stałą czasową

τ =1/ α (Rys. 23):

f(t)

f(t) = Re { F(s) } = F o cos ω t

f(t) = F e - α t = F e - α t

Jeżeli natomiast sygnał f(t) zinterpretujemy jako część urojoną

funkcji zmiennej zespolonej F(s) , to rozpatrywany sygnał jest

opisany następującą funkcją:

3. Dla α > 0 , sygnał f(t) narasta wykładniczo (Rys. 24):

f(t) = F e α t =F e α t

Każdej sprzężonej parze urojonych

wartości stałych zanikania s = ± j ω

odpowiada jedna sinusoidalnie zmienna

funkcja.

f(t) = Im { F(s) } = ± F o sin ω t

-2

-1

której znak zależy od znaku współczynnika ω.

Rys. 24. Sygnał narastający wykładniczo

1.6.3 Stała zanikania liczbą zespoloną

f(t)

Podsumowując można stwierdzić, że sygnał

stały, wykładniczy oraz sinusoidalnie zmienny

można opisać jedną funkcją o postaci:

Jeżeli przyjmujemy, że stała zanikania s jest liczbą zespoloną,

czyli postaci:

0.5

s = α + j ω gdzie α , ω ∈ { R }

F(s) = F o e st

to funkcji zmiennej zespolonej F(s) przyjmuje postać:

F(s) =F o e ( α + j ω )t = F o e α (cos ω t + j sin ω t)

-0.5

Funkcja F(s) jest rzeczywistą lub zespoloną

funkcją czasu w zależności od tego, czy parametr

s jest liczbą rzeczywistą, czy zespoloną.

W konsekwencji w zależności od interpretacji otrzymujemy:

f(t) = F o e α cos ω t lub f(t) = F o e α sin ω t

Współczynnik s występujący w funkcji o postaci F o e st jest

często nazywany „częstotliwością” . Należy jednak zdawać sobie

sprawę z tego, że s ma sens częstotliwości (ściślej pulsacji) tylko w

przypadku, gdy jest to liczba zespolona. Dla s będącego liczba

rzeczywistą wielkość 1/s określa stałą czasową przebiegu

wykładniczego. Jeżeli s = α + j ω, to funkcja jest przebiegiem

sinusoidalnym o pulsacji ω pomnożonym przez czynnik e α t .

Określenie „częstotliwość” w odniesieniu do współczynnika s

należy rozumieć umownie.

Na Rys. 26 przedstawiono wykres funkcji F o e α t sin ω t dla

dwóch par sprzężonych współczynników zanikania s = − 2 + j5

oraz s * = − 2 - j5 . Na Rys. 27 przedstawiono wykres funkcji, gdy

współczynniki zanikania wynoszą s = 2 + j5 oraz s * = 2 - j5 , czyli

gdy część rzeczywista jest większa od zera.

Rys. 26. Zanikający sygnał sinusoidalny

s = 2 + j5 s * = 2 - j5

f(t)

1.6.4 Wartość początkowa sygnału liczbą zespoloną

W celu otrzymania funkcji sinusoidalnie zmiennej o postaci:

F o cos ( ω t + ψ ) lub F o sin ( ω t + ψ )

-5

należy przyjąć, że wartość sygnału w chwili t = 0 jest liczbą

zespoloną:

F o = F o e j ψ lub przyjąć, że st = j( ω t + ψ )

Rys. 27. Narastający sygnał sinusoidalny

Na podstawie wcześniej wyprowadzonych zależności możemy

napisać, że postać funkcji zmiennej zespolonej jest w takim

przypadku następująca:

F(s) =F o e j ψ e j ω t = F o cos( ω t + ψ ) + j F o sin( ω t + ψ )

Funkcja zmiennej zespolonej o postaci:

F(s) =F o e j ψ e ( α + j ω )t = F o e α t {cos( ω t + ψ ) + j sin( ω t + ψ )}

opisuje sygnał sinusoidalnie zmienny o pulsacji ω oraz fazie

początkowej ψ, którego amplituda maleje lub rośnie wykładniczo.

s = -2 + j5 s * = − 2 - j5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: