LOGIKA

ZDANIE – wyrażenie, któremu możemy przyporządkować wartość logiczną: prawda lub fałsz, możemy o nim powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy przynajmniej jedno ze zdań jest prawdą.

Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy obydwa zdania są prawdziwe.

Implikacja dwóch zdań jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy i następnik jest fałszywy.

Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy obydwa zdania mają tę samą wartość logiczną.

Negacja zdania jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy zdanie jest zdaniem fałszywym.

TAUTOLOGIA – schemat zdania, który jest zawsze prawdziwy, niezależnie od wartości zmiennych zdaniowych w nich występujących

prawa de Morgana dla zdań :          

Jeżeli schemat wnioskowania jest tautologią to nazywamy go dedukcyjnym.

Schemat dowodu wprost = modus ponendo ponens      

Sposób obalający przez obalenie = modus tollendo tollens      

FORMĄ (FUNKCJĄ) ZDANIOWĄ argumentu x, xD, nazywamy każde wyrażenie, które zawiera zmienną x z dziedziny D i które staje się zdaniem, gdy w miejsce argumentu x wstawimy element ze zbioru D.

                             Dopisane do formy zdaniowej kwantyfikatora szczegółowego lub ogólnego powoduje, że powstaje zdanie.

prawa de Morgana dla kwantyfikatorów 

ZBIORY

Nie ma definicji zbioru – jest to pojęcie pierwotne

ILOCZYNEM KARTEZJAŃSKIM zbiorów A i B nazywamy zbiór par liczb (a,b) uporządkowanych takich, że a.

Iloczyn kartezjański nie jest przemienny, bo para uporządkowana (a,b) nie jest równa parze uporządkowanej (b,a).

RELACJA- Dwuargumentową relację ρ określoną na iloczynie kartezjańskim dwóch niepustych zbiorów A i B nazywamy podzbiór tego iloczynu kartezjańskiego.

ρ

Relację nazywamy:

1)      zwrotną (refleksyjną)   a a

2)      symetryczną   ab ba

3)      przechodnią (tranzytywności)     ( ab    bc) ac

Jeśli zachodzą punkty 1,2,3 to relacja równoważności (akwiwalętności ??).

Relacja równoważności dzieli zbiór A na tzw. Klasy abstrakcji, gdzie pod pojęciem klasy abstrakcji generowanej przez element a i relację równoważności rozumiemy:

Dwie klasy abstrakcji generowane przez dwa różne elementy ze zbioru A i tę sama relacje równoważności są zbiorami równymi lub rozłącznymi.

Suma klas abstrakcji generowanych przez wszystkie elementy zbioru A jest równa zbiorowi A.

Własności wykresu:

- zwrotność wykres zawiera prostą y=x

- symetryczność   wykres symetryczny względem prostej y=x

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

Mówimy, że w zbiorze X została określona funkcja, jeżeli każdemu elementowi zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y.

Zbiór wartości funkcji f nazywamy przeciwdziedziną funkcji, zbiór X natomiast nazywamy dziedziną funkcji, a jej elementy argumentami.

Wykresem funkcji nazywamy zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych (x, f(x)).

Określeniem funkcje monotoniczne obejmujemy następujące rodzaje funkcji:

   jest ściśle rosnąca 

   jest ściśle malejąca 

   jest niemalejąca 

   jest nierosnąca 

Funkcję   nazywamy parzystą, jeżeli   

Funkcję   nazywamy nieparzystą, jeżeli   

Funkcję   nazywamy różnowartościową, jeżeli   

Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y i jest różnowartościowa. Możemy określić na zbiorze Y funkcję , , która nazywamy funkcją odwrotną do funkcji y=f(x).

Niech dane będą funkcje   oraz  . Dla każdego elementu istnieje dokładnie jeden taki element , że  . Funkcje f i g wyznaczają nową funkcję określoną następująco: dla każdego . Funkcję h nazywamy funkcją złożoną z funkcji f i g. Funkcję g nazywamy funkcją zewnętrzną funkcji złożonej, a funkcje f funkcją wewnętrzną funkcji złożonej.

Funkcje trygonometryczne:

-    

-          okresowe ( istnieje taka liczba k, nazywana okresem funkcji), że dla każdego x zachodzi równość

-          y=sinx  okres , nieparzysta

-          y=cosx  okres , parzysta

-          y=tgx   , , okres , nieparzysta

-          y=ctgx   , , okres , nieparzysta

Funkcje cyklometryczne

-          odwrotne do trygonometrycznych

Funkcja wykładnicza

- funkcja wykładnicza określona dla wszystkich

- funkcja ściśle niemalejąca

- funkcja ściśle rosnąca

-

Funkcja logarytmiczna

-          funkcja odwrotna do wykładniczej

-         

-          określona dla x>0

-          ściśle rosnąca

-          ściśle malejąca

-         

GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Funkcja określona na pewnym sąsiedztwie , czyli na zbiorze .

Granica według Heinego:

Liczbę g nazywamy granica funkcji f w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu o wyrazach , zbieżnego do , ciąg jest zbieżny do g: 

Uwagi:

1. jeżeli w powyższej definicji sąsiedztwo zastąpimy sąsiedztwem lewostronnym lub prawostronnym , to otrzymamy definicje granicy lewostronnej lub prawostronnej w punkcie :      

2. jeżeli w powyższej definicji ciąg jest zbieżny do lub do , to mówimy, ze funkcja w punkcie ma granice niewłaściwą

3. jeżeli w definicji granicy ciąg jest rozbieżny do lub do , to mówimy o granicy funkcji w nieskończoność i piszemy:      

Twierdzenia ułatwiające obliczanie granic:

TWIERDZENIE 1. ( o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)

Jeżeli i  , to:

1) 

2) 

3)     przy zalożeniu

TWIERDZENIE 2. (o granicy funkcji złożonej)

Jeżeli  i   oraz  dla każdego x z pewnego sąsiedztwa punktu , to 

Wzory:

...