zad_mechanika_analityczna.pdf

ZadaniazmechanikianalitycznejITS

Zadanie Bryªasztywnaotensorzebezwªadno±ci I ij wykonujeruchobrotowydookoªastaªegopunktu O .

Wyznaczy¢rozmaito±¢konguracyjn¡orazfunkcj¦Lagrange'a.Zbada¢wynikaj¡ceztwierdzeniaNoether

prawazachowania.Jakiedodatkoweprawazachowaniawynikaj¡zosiowejsymetriibryªysztywnej?

Rozwi¡zanie

Jel±iodlegªo±ciwszystkichpunktówbryªysztywnejodpewnegoustalonegopunktu O pozostaj¡staªeto

poªo»eniabryªymog¡ró»ni¢si¦jedynieobrotamidookoªaosiprzechodz¡cychprzezpunkt O .Wtakim

przypadku do opisu konguracji bryªy w poszczególnych chwilach czasu wystarcz¡ obroty nale»¡ce do

grupy SO (3) (specjalna grupa ortogonalna w przestrzeni trójwymiarowej). Opisujemy poªo»enie bryªy

wstosunkudopewnegoustalonegopoªo»eniaodniesieniapodaj¡codpowiedniobrót.Zkoleidoparame-

tryzacjimacierzyobrotudogodniejestu»y¢parametryzacjiwektorowej.Wtakimprzypadkurozmaito±¢

konguracyjnapokrywasi¦zrozmaito±ci¡ SO (3),któramageometri¦przestrzenirzutowej.

Dlawygodyprzypominamypodstawowewªasno±ciparametryzacjiwektorowejgrupyobrotów.Jeli O

oznacza trójwymiarow¡ macierz obrotów, a A to trójwymiarowa macierz antysymetryczna to zachodzi

"1 1"odpowiednio±¢:

1 A =1+2 A + A 2

1 1

;

(1.1)

2 Tr ( A 2 )

jeliwykorzysta¢minimalnewªasno±ciwielomianucharakterystycznego.

Poniewa» trójwymiarowe macierze antysymetryczne s¡ blisko zwi¡zane z wektorami (tzw. wektor

dualnydomacierzyantysymetrycznej ):

A = ~ c ; A ij =( ~ c ) ij = ikj c k ; c k = 1

2 kij A ij :

(1.2)

Wparametryzacjiwektorowejotrzymujemy

O = O ( ~ c )= 1+ ~ c

1 ~ c = 1 ~ c 2 +2 ~ c ~ c +2 ~ c

1+ ~ c 2 :

(1.3)

Tak okre±lony parametr wektorowy~ c obrotu jest blisko zwi¡zany z geometri¡ (obroty w przestrzeniach

wektorowych):

kierunek ~ c pokrywasi¦zkierunkiem osiobrotu(zwrotprawoskr¦tny, lubogólniejtakisamjakw

przyj¦tejdenicjiiloczynuwektorowego);

2 ,gdzie oznaczak¡tobrotu.

Zªo»eniuobrotówodpowiadapewnaalgebraicznaoperacjaparametrówwektorowych

O ( ~ a ) O ( ~ b )= O ( ~ c ) ; ~ c = <~ a ; ~ b > = ~ a + ~ b + ~ a ~ b

1 ~ a ~ b

(1.4)

Dziaªanie < ~ a ; ~ b > mawielewªasno±ciwykorzystywanych wpraktycznychobliczeniach:

1+ <~ a ; ~ b > 2 = (1+ ~ a 2 )(1+ ~ b 2 )

; 1+ <~ a ; ~ b ;~ c > 2 =

(1+ ~ a 2 )(1+ ~ b 2 )(1+ ~ c 2 )

(1 ~ a ~ b ~ a ~ c ~ b ~ c ~ a ( ~ b ~ c )) 2 ; (1.5)

<~ a ; ~ b > = < O ( ~ a ) ~ b ;~ a > = < ~ b ; O ( ~ b ) ~ a >; <~ a ; ~ b ; ~ a > = O ( ~ a ) ~ b : (1.6)

O = 1+ A

dªugo±¢wektora j ~ c j =tg

(1 ~ a ~ b ) 2

Ustalmyniewielkifragmentmasy dm bryªysztywnej,wzgl¦dempunktu O opisanywektoremwodz¡-

cym ~ r ( t ).Poniewa»zmianykonguracjisprowadzaj¡si¦tylkodoobrotówto:

~ r ( t )= O ( ~ c ( t )) ~ r 0 ;

(1.7)

gdzie ~ r 0 jest wektorem wodz¡cym elementu masy dm w poªo»eniu odniesienia. Zatem zmian¦ wektora

wodz¡cegomo»nazapisacnadwasposobyprowadz¡cedodwóchró»nychdenicjipr¦dko±cik¡towej:

t ( ~ r ( t + t ) ~ r ( t ))

= 1

t ( O ( ~ c ( t + t )) O ( ~ c ( t )) 1) ~ r ( t )= 1

t O ( ~ c ( t ))( O ( ~ c ( t )) O ( ~ c ( t + t )) 1) ~ r 0 : (1.8)

Pierwszaposta¢zawierazªo»enieobrotówpostaci:

O ( ~ c ( t + t )) O ( ~ c ( t )) 1= O ( h ~ c ( t + t ) ; ~ c ( t ) i ) 1= O

~ c ( t )+ t _ ~ c ( t ) ; ~ c ( t )

1 ; (1.9)

lubrównowa»niepoprostychprzeksztaªceniach

O ( ~ c ( t + t )) O ( ~ c ( t )) 1=( t ) ~! ; ~! =2

_ ~ c ( t )+ ~ c ( t ) _ ~ c ( t )

1+ ~ c 2 ( t )

: (1.10)

Drugaformazapisuzmianwektorawodz¡cegoprowadzidowyra»enia

O ( ~ c ( t )) O ( ~ c ( t + t )) 1=( t ) ~ ;

~ =2

_ ~ c ( t )+ _ ~ c ( t ) ~ c ( t )

1+ ~ c 2 ( t )

: (1.11)

Zrówna«(1.10)i(1.11)wynikazwi¡zekpomi¦dzypr¦dko±ciamik¡towymi ~! i ~ .

O ( ~ c ( t + t )) O ( ~ c ( t )) 1= O ( ~ c ( t )) O ( ~ c ( t )) O ( ~ c ( t + t )) O ( ~ c ( t )) O ( ~ c ( t )) O ( ~ c ( t )) 1 ;

O ( ~ c ( t )) ~ = ~!:

(1.12)

Obliczone pr¦dko±ci k¡towe (1.10) i (1.11) maj¡ interpretacje wynikaj¡ce z postaci pr¦dko±ci liniowej

elementumasy dm :

t ( ~ r ( t + t ) ~ r ( t ))= ~! ( O ( ~ c ( t )) ~ r 0 )= O ( ~ c ( t ))

~ ~ r 0

: (1.13)

Dlacaªejbryªysztywnejenergiakinetycznajestaddytywna.Wykorzystanieokre±le«(1.13)prowadzido

dwóchrównowa»nychpostacienergiikinetycznej:

E k = 1

2 I ij ! i ! j = 1

2 I ij i j ;

(1.14)

ró»ni¡cychsi¦pr¦dko±ciamik¡towymiitensoramibezwªadno±ci:

I ij =

ij ~ r 2 r i r j

dm =

i ( t )^ ( k )

j ( t ) ; I ij =

ij ~ r 2 r i r j

dm =

I k ^ ( k )

i (0)^ ( k )

j (0) :

V ( t )

V 0

(1.15)

Gªówne momenty bezwªadno±ci I k s¡ w obu przypadkach takie same. Zmieniaj¡ si¦ tylko wersory kie-

runków gªównych tensora bezwªadno±ci. W pierwszym przypadku maj¡ one orientacj¦ odpowiadaj¡c¡

bie»¡cejchwiliczasu,wdrugimprzypadkuichorientacjaodpowiadaorientacjiodniesienia.

I k ^ ( k )

Posta¢ energii potencjalnej wynika z zaªo»enia ruchu kulistego. Jeli ~ l ( t ) jest wektorem wodz¡cym

±rodkamasybryªyto:

E p = m~ g ~ l ( t )= m~ g O ( ~ c ( t )) ~ l 0 :

(1.16)

Efektywnieotrzymujemydwierównowa»nepostacifunkcjiLagrange'adlabryªy:

L = 1

I k

^ ( k ) ( t ) ~!

+ m ~ g ~ l ( t ) ;

(1.17)

L = 1

I k

^ (0 k ) ~

+ m~ g ~ l ( t ) ;

(1.18)

^ ( k ) ( t )= O ( ~ c ( t )) ^ ( k 0) :

(1.19)

Pierwszaposta¢zwyklewi¡zanajestznazwiskiemLagrangenatomiastdrugazEuleremlubPoinsotem.

Prawazachowaniazwi¡zanes¡zsymetriamiukªadu.Przypu±¢my,»eobracamycaªyukªadwykonuj¡c

obrótopisanyparametremwektorowym ~ s .Wtakimprzypadkubie»¡cepoªo»enieukªaduz ~ c zmieniasi¦

na <~ s ;~ c > .Odpowiedniej modykacjiulegate»funkcja Lagrange'a.Zobaczmy,jakzmieniaj¡si¦ przy

tympr¦dko±cik¡toweoraztensorybezwªadno±ci.

Jeliwróci¢dodenicji(1.10)oraz(1.11)topododatkowymobrocie O ( ~ s )otrzymamyz(1.10)nast¦-

puj¡cyiloczyngrupowy:

O ( ~ s ) O ( ~ c ( t + t )) O 1 ( ~ c ( t )) O 1 ( ~ s ) 1= O

~ s ;~ c ( t )+( t ) _ ~ c ( t ) ; ~ c ( t ) ; ~ s

1 ;

~ s ;~ c ( t )+( t ) _ ~ c ( t ) ; ~ c ( t ) ; ~ s

= O ( ~ s )

~ c ( t )+( t ) _ ~ c ( t ) ; ~ c ( t )

; ~! !O ( ~ s ) ~!; (1.20)

o ile wykorzysta¢ to»samo¢ (1.6). Zatem przy obrocie bie»¡cego poªo»enia o O ( ~ s ) pr¦dko±¢ k¡towa ~!

równie»obracasi¦o O ( ~ s ).Wprzypadkuokre±lenia(1.11)iloczyngrupowyokrelaj¡cypr¦dko±¢k¡tow¡

poobrociemaposta¢:

~ c ( t ) ;~ c ( t )+( t ) _ ~ c ( t )

~ !O ( ~ s ) ~ ; (1.21)

= O ( ~ s )

;

zatem wektor ~ obraca si¦ przeciwnie, zgodnie z O ( ~ s ), przy obrotach poªo»enia o O ( ~ s ). Otrzymane

prawatransformacji(1.20)oraz(1.21)opisuj¡jakprzeksztaªcaj¡si¦pr¦dko±cik¡towe ~! oraz ~ .

Z formalnego punktu widzenie parametrami rozmaito±ci konguracyjnej s¡ wektorowe parametry

obrotu ~ c ,dlategonale»yrównie»zbada¢jaktransformujesi¦wspóªrz¦dnawektorastycznego _ ~ c .Mo»na

toªatwoobliczy¢ wykorzystuj¡c znane transformacje (1.20)oraz (1.21).Niech wektor ~ x zadany b¦dzie

wektorami ~ a i ~ b :

~ b + ~ a ~ b

1+ ~ a 2 :

~ x =

(1.22)

Staramysi¦odwróci¢powy»szerównanieiwyrazi¢ ~ b zapomoc¡ ~ a i ~ x coprowadzidorównaniawekto-

rowego.Mno»¡cstronamiwektorowoiskalarnieprzez ~ a otrzymamy:

~ x ~ a (1+ ~ a 2 )= ~ a ~ b ; ( ~ a ~ x )(1+ ~ a 2 )= ~ a ~ b + ~ a ( ~ a ~ b ) ~ b ~ a 2 = ~ x (1+ ~ a 2 ) ~ b + ~ a ( ~ x ~ a )(1+ ~ a 2 ) ~ b ~ a 2 ;

~ b = ~ x ~ a + ~ x + ~ a ( ~ a ~ x ) :

(1.23)

Uwzgl¦dniaj¡c(1.10)oraz(1.11):

2 _ ~ c = ~! ~ c + ~! + ~ c ( ~ c ~! ) ; 2 _ ~ c = ~ c ~ + ~ + ~ c ( ~ c ~ ) :

(1.24)

~ s ; ~ c ( t ) ;~ c ( t )+( t ) _ ~ c ( t ) ;~ s

Znaj¡cprawotransformacji ~ c oraz ~! i ~ mo»emyªatwootrzyma¢transformacj¦ _ ~ c :

_ ~ c ! ( O ( ~ s ) ~! ) <~ s ;~ c > + O ( ~ s ) ~! + <~ s ;~ c > (( O ( ~ s ) ~! ) <~ s ;~ c > ) ; (1.25)

: (1.26)

Z drugiej strony niezmienniczo±¢ funkcji Lagrange'a pro±ciej sprawdza¢ wykorzystuj¡c wzory dla prze-

ksztaªce«pr¦dko±cik¡towych ~! i ~ .

Wykonuj¡cdodatkowyobrót O ( ~ s )otrzymamynast¦puj¡ceprzeksztaªceniafunkcjiLagrange'a:

_ ~ c ! <~ s ;~ c >

O ( ~ s ) ~

+ O ( ~ s ) ~ + <~ s ;~ c >

O ( ~ s ) ~

<~ s ;~ c >

L = 1

I k

O ( ~ s ) ^ k ( t )

( O ( ~ s ) ~! )

+ m~ g

O ( ~ s ) ~ l ( t )

= 1

I k

^ ( k ) ( t ) ~!

+ m~ g

O ( ~ s ) ~ l ( t )

; (1.27)

L = 1

I k

^ 0 k

O ( ~ s ) ~

+ m~ g

O ( ~ s ) ~ l ( t )

(1.28)

Jakwida¢cz¦±¢kinetyczna(1.27)niezmieniasi¦przydowolnychobrotachnatomiastcz¦¢kinetycznaw

(1.28)jest niezmiennicza tylko w szczególnych przypadkach. Zkolei energia potencjalna jest niezmien-

niczatylkoprzyobrotachdookoªa ~ g lubprzyobrotachdookoªachwilowegokierunku ~ l ( t ).Ka»dyztych

przypadkówprowadzidoinnegoprawazachowania.

Zaczynamyodobrotówdookoªakierunkuprzyspieszeniaziemskiego ~ g .Wektor ~ s mawtedyposta¢

~ s = ^ g tg s

2 :

(1.29)

Zaªo»enia twierdzenia Noether s¡ speªnione dla przeksztaªce« h s ( h s ( ~ c ) = < ~ s ; ~ c > o ile wektor ~ s ma

posta¢(1.29)).Podkre±lmy,»ew(1.29)wektor ~ s jest staªy niezale»nyodbie»¡cegopoªo»enia(orientacji)

bryªy.Obliczamywektorstyczny:

2 ^ g + ~ c + s

2 ^ g ~ c

ds j s =0 = d

= 1

^ g + ^ g ~ c +

^ g ~ c

~ c

: (1.30)

1 s

2 ^ g ~ c

j s =0

Dlawielko±cizachowanejztwierdzeniaNoetherotrzymujemy:

X = @ L

@ _ c i

dh s ( ~ c )

ds j s =0

(1.31)

Pochodn¡funkcjiLagrange'awyznaczamyjakopochodn¡funkcjizªo»onej:

@ _ c i = @! j

@ L

@! j =

@ _ c i

1+ ~ c 2 (_ c j + jnl c n _ c l )

@! j

I k

^ ( k ) ( t ) ~!

(1.32)

@ _ c i

@ L

@ _ c i =

1+ ~ c 2 ( ij + jni c n )

I k ^ ( k )

j ( t )

^ ( k ) ( t ) ~!

1+ ~ c 2

I k

^ ( k ) ( t ) ~!

^ ( k )

i ( t )+ ijn ^ ( k )

j ( t ) c n

Zuwaginaposta¢wyra»e«wygodniejb¦dziewykona¢obliczeniatylkodlaostatniegoczªonuwnawiasie

( ::: ) oraz wektorowej cz¦±ci formuªy dla wektora stycznego (1.30) (dla skrócenia zapisu opuszczamy

argument( t )wwersorachosigªównych):

i + ijk ^ ( k )

j c k

^ g + ^ g ~ c +

^ g ~ c

~ c

i =( ^ ( k ) ^ g )+ ^ ( k ) ( ^ g ~ c )+( ^ ( k ) ~ c )( ^ g ~ c )

+( ^ ( k ) ~ c ) ^ g +( ^ ( k ) ~ c )( ^ g ~ c )=

1+ ~ c 2

( ^ ( k ) ^ g ) :

dh s ( ~ c )

@ L

^ ( k )

Pozªo»eniupowy»szychwynikówotrzymujemydlawielko±cizachowanej X :

X =

I k

^ ( k ) ( t ) ^ g

^ ( k ) ( t ) ~!

(1.33)

Jelizdeniowa¢ wektormomentup¦du m towielko±¢zachowana(1.33)okazujesi¦rzutemmomentup¦du

nakierunekprzyspieszeniaziemskiego ^ g :

m =

I k ^ ( k ) ( t )

^ ( k ) ( t ) ~!

; X = m ^ g :

(1.34)

Podkre±lmy,»ezachowanierzutumomentup¦duna ^ g jestwªasno±ci¡polagrawitacyjnegoiw»adnym

stopniuniezale»yodbryªy.Niemusiby¢onaw»adensposóbsymetryczna.Energi¦kinetyczn¡zapisali-

±mynadwasposoby(1.14),przypomocy ~! oraz ~ .Woczywistysposóbzachowanes¡alboobiepostaci

energii albo »adna. Dlatego prawo zachowania (1.34) mo»na równie» zapisa¢ dla drugiej wersji energii

z pr¦dko±ci¡ k¡tow¡ ~ . Wyra»enia dla pr¦dko±ci k¡towych ~! i ~ ró»ni¡ si¦ tylko znakiem ~ c . Dlatego

wykorzystuj¡cju»wykonaneobliczeniaotrzymamy:

@ L

@ _ c i =

1+ ~ c 2

I k

^ ( k 0) ~

i ijk ^ ( k 0)

j c k

(1.35)

Natomiastpochodna dh s ( ~ c )

ds pozostajebezzmiany:

i =( ^ ( k 0) ^ g ) + ^ ( k 0) ( ^ g ~ c )+( ^ ( k 0) ~ c )( ^ g ~ c )

^ ( k 0)

i ijk ^ ( k 0)

j c k

^ g + ^ g ~ c +

^ g ~ c

~ c

~ c ^ g

( ^ ( k 0) ~ c ) ^ g ( ^ ( k 0) ~ c )( ^ g ~ c )=

1 ~ c 2

^ ( k 0) ^ g +2

^ ( k 0) ~ c

2 ^ ( k 0)

~ c ^ g

^ ( k 0)

O ( ~ c ) ^ g

1+ ~ c 2

Popodstawieniuotrzymamydlawielko±ci X :

^ ( k 0) ~

X =

I k

^ ( k 0)

O ( ~ c ) ^ g

I k

O ( ~ c ) ^ ( k 0)

O ( ~ c ) O ( ~ c ) ^ g

(1.36)

I k

^ ( k ) ( t ) ^ g

^ ( k 0) ~

Czyli wynik identyczny z (1.33).W ten sposób sprawdzili±my, »e prawo zachowania istotnie nie zale»y

odwybranejpostacifunkcjiLagrange'a.Zkoleiposta¢(1.33)jestznaczniedogodniejszadointerpretacji

ni»rezultat(1.36).

Prawozachowania(1.34)zachodzizawszebezwzgl¦dunaksztaªtbryªysztywnej.Jednakje±libryªa

wykazujesymetri¦obrotow¡tomo»epojawi¢si¦wi¦cejwielko±cizachowanych.Zakªadamyteraz,»ebryªa

mao±symetriiobrotowej,cooznacza»etensorbezwªadnocibryªymaposta¢:

I ij = I 0 ij + I ^ i ( t )^ j ( t ) ;

(1.37)

gdzie wersor ^ okre±la kierunek osi symetrii. W celu wyznaczenia prawa zachowania deniujemy prze-

ksztaªcenia h s :

h s ( ~ c )= h ~ s ( ~ c ) ;~ c i ; ~ s ( ~ c )= ^ ( ~ c )tg s

tg s

2 : (1.38)

Terazparametrwektorowyobrotuzale»yiodliczby s iodpunktu(opisanegowektorem ~ c )narozmaito±ci

konguracyjnej. Zatemprzeksztaªcenia h s nabieraj¡lokalnegocharakteru. Je±li wykorzysta¢ to»samo±¢

(1.6)(dlaskróceniazapisuopuszczamyindeks0w ^ 0 ,orazpiszemy s wmiejscetg s

2 =

O ( ~ c ) ^ (0)

2 ):

~ c ; ^ ; ~ c

O ( ~ c ) ^ =

; h s ( ~ c )=

s;~ c

(1.39)

^ ( k 0)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: