Równania różniczkowe zwyczajne A - oprac. dr Marian Gewert.pdf - matematyka(1) - tekno-inez

Opracowanie:drMarianGewert,drZbigniewSkoczylas

◦

Z pewnej substancji radioaktywnej po upływie 4 lat zostało 20 gram, a po upływie

dalszych4lattylko4gramy.Wyznaczyćmasęsubstancjiwchwilipoczątkowej.

Polon-210maokrespołowicznegozanikurówny140dni.Znaleźćmasętegopierwiastka

po100dniach,jeżelijegomasapoczątkowawynosiła200g.

Okres połowicznego zaniku pewnego pierwiastka promieniotwórczego jest równy 100

lat.Ileprocentmasypoczątkowej tegopierwiastkapozostaniepoi)10,ii)50,iii)200

latach?

◦

Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych na

zadanychprzedziałach:

y ( t )= sin t

t , ty + y =cos t ,(

−∞

, 0)lub(0 ,

∞

);

y ( t )= t 2 , ty + y =3 t 2 ,

;

y ( t )= 1

1+ t 2

, y +2 ty 2 =0, ;

y ( t )=

−

t 2 , yy =

−

t , (

−

2 , 2) .

◦

podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań

różniczkowych,anastępnieznaleźćrozwiązaniaspełniającezadanewarunkipoczątkowe:

y ( t )= t + C, y =1 ,y (0)=0;

y ( t )= Ce t ,y = y, y (1)= − 1;

y ( t )= t + C t 2 +1 ,y = ty +1

3 e t ,y +2 y = e t ,y (0)=1;

t 2 +1 ,y (0)=0 .

◦

Scałkowaćpodanerównaniaróżniczkoweozmiennychrozdzielonych:

yy +4 t =0;

dy =2 ty 2 dt ;

t y 2 −

1 dt + y t 2 −

1 dy =0; 2 √ ty = 1

−

y 2 ;

y +4 y = y e − t +4 ;

y =1+ t + y + ty ;

1 − t 2 y =2 y ;

sin y = t.

◦

Dokonaćanalizyrozwiązańrównaniaróżniczkowego y t = ky wzależnościodrzeczywistego

parametru k. Naszkicowaćkrzywecałkowetegorównania.

◦

Wyznaczyćrozwiązanierównaniaróżniczkowegoozmiennychrozdzielonych

Sprawdzić, że dla każdego C ∈

y ( t )= Ce − 2 t + 1

y = 1+ y 2

1+ t 2

zzadanymiwarunkamipoczątkowymi:

1; y (1)=1 .

Podaćprzedziały,naktórychsąoneokreślone.

−

◦

Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych o rozdzielonych

zmiennych:

= e ;

t 1

y 2 dt + y 1

−

t 2 dy =0, y (0)=1;

− 1+ y 2 dy =0 , (0)=1;

t ( y +1) y = y, y ( e )=1;

y cos tdt

y = y 2 1+ t 2 , (0)= − 2; e y y − 1 =1 , (0)=0 .

◦

Dobraćstałerzeczywiste A,B tak,abyfunkcja y ( t )= A cos t + B sin t byłarozwiązaniem

równaniaróżniczkowego y + y = h ( t ),jeżelifunkcja h ( t )danajestwzorem:

cos t ; sin t ; α cos t + β sin t ,gdzie α,β

∈

◦

Scałkowaćpodanerównaniaróżniczkowejednorodne:

y 2 + y ; ( t

−

y ) dt + tdy =0;

ty = y (ln y

−

ln t );

t 2 − y 2 dt + tydy =0; t 2 y = ty + y 2 .

ty − y = t tg y

t ;

◦

Rozwiązaćpodanezagadnieniapoczątkoweorazwyznaczyćprzedziały,naktórychsąone

określone:

ty = t + 1

2 y , y (1)=0.

◦

Znaleźćkrzywe,dlaktórychtrójkąt OSY (rysunek)

utworzony przez oś Oy , styczną i wektor wodzący

punktustycznościjestrównoramienny(opodstawie

OY ).

y = y ( t )

◦

Rozwiązaćpodanerównaniaróżniczkowelinioweniejednorodne:

y + y =sin t ;

y +2 ty = e − t 2 ;

ty −

2 y = t 3 cos t ;

ty − 2 y =4 t 4 ; ty + e t

− ty =0; (2 t +1) y =4 t +2 y.

◦

0jestrozwiązaniemrównanialiniowegojednorodnego.Pokazać,

żekażderozwiązanie y ( t )tegorównaniamożnaprzedstawićwpostaci y ( t )= Cϕ ( t ),gdzie

C jestodpowiedniodobranąstałąrzeczywistą.

≡

y (1)=

y sin t = y ln y , y π

ty = t 2 −

t 2 + y 2 dt − 2 tydy =0, y (1)= √ 2;

Załóżmy,żefunkcja ϕ ( t )

◦

Wyznaczyćrozwiązaniapodanychzagadnieńpoczątkowychorazprzedziały,naktórychsą

oneokreślone:

ty + y = t +1, y (1)=0; y sin t cos t = y +sin 3 t , y π

y =1, y (3)=3;

y =( y +1)sin t , y ( t 0 )= y 0 ;

=0 .

◦

Znaleźćrozwiązanierównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego t 2 y + y = t 2 +1 e t

spełniającewarunek lim

t →−∞

y ( t )=1 .

◦

Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punkt

(1,1), dla której pole trójkąta OST (rysunek) utwo-

rzonegoprzezoś Ot, stycznąiwektorwodzącypunktu

stycznościjeststałeirównasię1.

y ( t )

y = y ( t )

◦

RozwiązaćpodanerównaniaróżniczkoweBernoulliegoizagadnieniapoczątkowe:

y − 2 y =2 √ ye t ln t , y (1)=0;

ty + y = y 2 ln t , y (1)=1;

y +2 ty =2 ty 2 ;

3 ty 2 y −

2 y 3 = t 3 ;

2 y ln t + y

t = 1

y cos t , y ( e )=1; t y + y 2 = y .

◦

Wyznaczyćrównaniaróżniczkowerodzinkrzywychokreślonychpodanymirównaniami:

y = Ct 3 ; t 2 +4 y 2 = C ; y

−

Ct = C

−

1; y 2 =2 Ct

−

2 t 2 .

◦

Znaleźćrównaniarodzinkrzywychortogonalnychdopodanychrodzinkrzywych:

y = Ct 2 ; t 2 + y 2 =2 Cy ; y = C

t ; y 2 = t + C.

◦

Basenopojemności10000litrówzawiera1000litrówczystejwody.Dobasenuwlewa

sięwodaoskażeniu50%zprędkością20litrównaminutę.Przezotwórspustowyciecz

wylewa się z prędkością 10 litrów na minutę. Wyznaczyć skażenie wody w chwili na-

pełnieniazbiornika.

W hali o objętości 200 m 3 powietrze zawiera 0.15 % dwutlenku węgla. Wentylator

podaje w ciągu minuty 20 m 3 powietrza zawierającego 0.04 % CO 2 . Po jakim czasie

stężeniedwutlenkuwęglawhalizmniejszysiędwukrotnie?

Zbiornik o pojemności 250 litrów napełniony jest 4 % wodnym roztworem alkoholu.

Po włączeniu pomp ( t = 0) do zbiornika wlewa się 20 % wodny roztwór alkoholu

z prędkością 5 l/min, a powstała mieszanina wylewa się dwa razy szybciej. Po ilu

minutachstężeniealkoholuwzbiornikubędzienajwiększe?

y −

◦

Kulturalicząca 500 bakterii rozwija się wedługwykładniczego prawa wzrostu tak, że

potrzechgodzinachosiągastan8000bakterii.Pojakimczasiepopulacjabędzieliczyła

milionbakterii?

Populacjapewnegogatunkurybpodwajaliczbęswoich osobników wciągu10lat. Po

ilulatachliczbarybpotroisię?

Populacja pewnegogatunku biologicznego liczącego na początku 5 tys. osobników po

10dniachliczyła8tys.osobników,bypodostatecznie długimczasieustabilizować się

napoziomie15tys.osobników.Wyznaczyćczaspo,którympopulacjapodwoiłaliczbę

swoichosobników.

◦

Termometr z pokoju, w którym wskazywał 20 ◦ C, wystawiono na zewnątrz, gdzie pa-

nował 5 ◦ C chłód. Po jednej minucie na termometrze było już 12 ◦ C. Po jakim czasie

termometrbędziewskazywałtemperaturętylkoo10%wyższąniżfaktyczna?

Ciało,któregotemperaturawynosi220 ◦ Cumieszczonowpomieszczeniuotemperaturze

60 ◦ C.Po10minutachjegotemperaturaobniżyłasiędo140 ◦ C.Wtymmomenciewłą-

czonoklimatyzatory,któreobniżajątemperaturęotoczeniazszybkością1 ◦ Cnaminutę.

Jakabędzietemperatura T ciałapo t minutachodchwiliuruchomieniaklimatyzatorów?

◦

Wobwodzieelektrycznympołączonoszeregowoopornikooporności R =10Ω,cewkęo

indukcyjności L =2Horazźródłonapięciastałego E ( t )=12V.Wyznaczyćgraniczne

natężenieprąduwobwodzie,gdy t

→∞

. Naszkicowaćfunkcję i ( t ),jeżeli i (0)=0 . 2A.

W obwodzie elektrycznym połączono szeregowo opornik o oporze R = 5Ω, cewkę o

indukcyjności L =2 . 5H oraz zewnętrzną siłę elektromotoryczną E ( t )=10sin t V.

Wyznaczyćnatężenieprądu i ( t )wobwodzie,jeżeli i (0)=0A.

◦

Krzywa y = y ( t ) przechodzi przez początek układu

współrzędnych i leży w górnej półpłaszczyźnie. Każdy

prostokąt ograniczony osiami układu współrzędnych i

prostymi poprowadzonymi z dowolnego punktu ( t,y ( t ))

krzywejprostopadłymidonichkrzywa y ( t )dzielinadwie

części.Polezawartepodkrzywą y ( t )jestdwarazymniej-

sze niż pole nad krzywą. Wyznaczyć równanie tej krzy-

wej.

y = y ( t )

y ( t )

O t t

◦

Wyznaczyćrozwiązaniapodanychrównanańrzędudrugiego:

2 ty y = y 2

ty −

y = t 2 e t ;

− 1; y t =2 y +4 t 5 .

◦

Rozwiązać(scałkować)podanerównaniaróżniczkowe:

y 3 y +1=0;

2 yy −

3( y ) 2 =4 y 2 ;

( y

−

1) y =2( y ) 2 ; y + ( y ) 2

y = ye − y y 3 .

t 2 y − y 2 =0;

Równania różniczkowe zwyczajne A - oprac. dr Marian Gewert.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: