wycena_opcji_metoda_Monte-Carlo.pdf

Wycena opcji europejskich put oraz call metodĢ Monte Carlo

Jednym z podstawowych zagadnieı wspþczesnych nauk ekonomicznych jest

wycena produktw finansowych i ubezpieczeniowych. Poprawna wycena pozwala nie tylko

na osiĢgniħcie przewagi konkurencyjnej ale rwnieŇ na skuteczne zarzĢdzanie ryzykiem.

W poniŇszej pracy przedstawiona zostanie jedna z metod wyceny opcji europejskich Î metoda

Monte Carlo.

W praktyce stosuje siħ nastħpujĢce metody wyceny instrumentw pochodnych [4]:

metoda analityczna - w tej grupie dominujĢ metody oparte na czĢstkowych

rwnaniach rŇniczkowych oraz metody martyngaþowe,

metody numeryczne, m.in. numeryczne metody rozwiĢzywania czĢstkowych

rwnaı rŇniczkowych oraz metody symulacji Monte Carlo.

Skoncentrujemy siħ na metodach symulacyjnych. PoniewaŇ ewolucja cen akcji ma

naturħ losowĢ, modelowana jest stochastycznymi rwnaniami rŇniczkowymi. Najprostszym

modelem ewolucji cen jest geometryczny ruch Browna [3], [4]:

m +

SdW

(1)

gdzie:

S - cena akcji,

m - dryf,

s - zmiennoĻę,

W - proces Wienera.

Stochastyczne rwnanie rŇniczkowe (1) bħdzie rozumiane w sensie Ito (wybr

parametryzacji nie wpþywa na wycenħ opcji [1]). Jednym z gþwnych rezultatw

martyngaþowej wyceny jest formuþa [3]:

[ ]

Payoff

(2)

gdzie:

C - cena opcji,

r - stopa (intensywnoĻę) oprocentowania instrumentu wolnego od ryzyka,

T - czas do wykonania opcji,

Payoff - profil wypþaty z opcji,

E - wartoĻę oczekiwana obliczana wzglħdem miary martyngaþowej (arbitraŇowej).

KorzystajĢ z pojħę teorii miary i teorii procesw stochastycznych moŇna pokazaę, Ňe

stochastyczne rwnanie rŇniczkowe (1) moŇe byę zapisane alternatywnie w postaci [3]:

dS s

rSdt

SdW

(3)

Proces

W Q

jest procesem Wienera wzglħdem miary martyngaþowej

Q zdefiniowanej za pomocĢ pochodnej Radona-Nikodyma [3]:

dQ =

T dP

(4)

gdzie:

P - miara subiektywna (rzeczywista),

Ä -

exp

Z formuþ (2) i (3) wynika, Ňe cenħ opcji moŇna wyznaczyę losujĢc (symulujĢc)

zdyskontowane wartoĻci profilu wypþaty opcji a nastħpnie obliczajĢc ĻredniĢ po wszystkich

otrzymanych realizacjach. PoniewaŇ rozwiĢzanie (silnym) rwnania (3) jest [3], [4]:

Sdt

Q -

exp

s 2

(5)

wystarczy wygenerowaę wartoĻci W z rozkþadu ( )

N 0 , wstawię do (5). Otrzymany

rezultat wstawię do profilu wypþaty opcji, zdyskontowaę i obliczyę ĻredniĢ z otrzymanych

wartoĻci.

W poniŇszej pracy pjdziemy innĢ drogĢ: drogĢ symulacji stochastycznych rwnaı

rŇniczkowych (3). PodejĻcie to jest bardziej czasochþonne od opisanego wyŇej, jednak moŇe

byę bezpoĻrednio zastosowane do wyceny opcji egzotycznych.

W pracy zastosowano dwie dyskretyzacje stochastycznego rwnania rŇniczkowego

(3): algorytm Eulera-Maruyamy oraz algorytm Milsteina.

Algorytm Eulera-Maruyamy ma postaę [2]:

(6)

gdzie:

D +1 - przyrost ceny akcji w czasie D ,

i S

D e

- przyrost procesu Wienera w czasie D (

: N

( 0

RozwiĢzanie numeryczne ma postaę:

(7)

lub zapisujĢc (6) w postaci:

(8)

znajdujemy:

(

)

(9)

i i

W zaþĢczonych skryptach Matlaba zastosowano reprezentacjħ (9).

Algorytmu Milsteina dla geometrycznego ruchu Browna ma postaę [2]:

[ ] t

( )

(10)

[ ]

( )

(11)

i i

WielkoĻci losowe e pochodzĢce z rozkþadu

N generowane sĢ za pomocĢ

( 0

funkcji Matlaba randn().

W zaþĢczniku znajdujĢ siħ cztery skrypty obliczajĢce ceny opcji call z cenĢ

wykonania K . Dwa z nich stosujĢ algorytm Eulera-Maruyamy i dwa algorytm Milsteina.

Ponadto W kaŇdej z tych dwch grup zastosowano kod szybki i wolniejszy od poprzedniego

(szybkiego). ZwiĢzane to jest ze sposobem w jakim Matlab zarzĢdza pamiħciĢ komputera.

Skrypty oprcz oszacowaı ceny, podajĢ jej Ļredni bþĢd standardowy. Ponadto

weryfikowany jest parytet kupna Î sprzedaŇy oraz porwnywane sĢ otrzymane droga

symulacji ceny z wynikami dokþadnymi (formuþa Blacka-Scholesa).

Skrypty pozwalajĢ osobie nie posiadajĢcej zaawansowanych umiejħtnoĻci obsþugi

Matlaba na wycenħ opcji call i put dla dowolnych wartoĻci: ceny wykonania, terminu

wykonania, stopy wolnej od ryzyka oraz zmiennoĻci. UŇytkownik z niewielkimi

S -

dist

umiejħtnoĻciami bez problemu zmodyfikuje kod na potrzeby wyceny kombinacji opcji lub

wycenħ instrumentu z áegzotycznymÑ profilem wypþaty.

Literatura:

1. Czernik T. Skazani na formalizm Ito?, Metody matematyczne,

ekonometryczne i informatyczne w finansach i ubezpieczeniach, AE

Katowice, 2007,

2. Kloeden P.E., Platen E., Numerical solution of stochastic differential

equations, Springer, 1995,

3. Shiryaev A.N., Essentials of stochastic finance. Facts, models, theory.,

World Scientific, 2001,

4. Wilmott P., Paul Wilmott on quantitative finance, Wiley, 1998,

Listingi skryptw

Algorytm Eulera Î Maruyamy (duŇa liczba realizacji)

% wycena opcji europejskich typu call i put metodĢ symulacji Monte Carlo

% dynamika instrumentu bazowego S jest geometrycznym ruchem Browna:

% dS=S*(mi*dt+sigma*dW) gdzie:

% S - cena instrumentu bazowego

% mi - dryf (drift); w algorytmie zostaþa zastĢpiona stopa wolnĢ od ryzyka r (risk neutral pricing)

% sigma - zmiennoĻę (volatility)

% W - proces Wienera

clear

tic % start zegara odmierzajĢcego czas obliczeı

n=100000; % liczba symulowanych trajektorii/scenariuszy

S0=1; % aktualna cena instrumentu bazowego

K=1.1; % cena wykonania opcji

r=0.1; % stopa wolna od ryzyka

sigma=0.2; % zmiennoĻę

T=1; % termin wykonania

deltaT=0.001; % przyrost czasu - skoıczona aproksymacja przyrostu dt

m=T/deltaT; % iloĻę krokw - iloĻę przedziaþw na ktre dzielimy horyzont T

deltaS=ones(1,n); % inicjalizacja algorytmu - deltaS jest wzglħdnym przyrostem ceny instrumentu bazowego

for k=1:1:m

A=randn(1,n);

deltaS=deltaS.*(1+r*deltaT+sigma*A*sqrt(deltaT));

end

cenaakcji=S0*deltaS; % cena instrumentu bazowego w dniu wykonania opcji

call=(cenaakcji>K); % zwraca 1 gdy wartoĻę opcji call w dniu jej wykonania jest dodatnia, zero w przeciwnym przypadku

put=(cenaakcji<K); % zwraca 1 gdy wartoĻę opcji put w dniu jej wykonania jest dodatnia, zero w przeciwnym przypadku

PCall=(1/n)*exp(-r*T)*sum((cenaakcji-K).*call) % estymator/oszacowanie ceny opcji call

odch_stand_call=(1/sqrt(n))*exp(-r*T)*std((cenaakcji-K).*call) % Ļredni bþĢd oszacowania ceny opcji call

PPut=(1/n)*exp(-r*T)*sum((K-cenaakcji).*put)

% estymator/oszacowanie ceny opcji put

% pħtla generujĢca wzglħdne przyrosty ceny instrumentu bazowego - algorytm Eulera

odch_stand_put=(1/sqrt(n))*exp(-r*T)*std((K-cenaakcji).*put) % Ļredni bþĢd oszacowania ceny opcji put

parytet=PCall-PPut-S0+K*exp(-r*T) % sprawdzenie parytetu kupna-sprzedaŇy; teoretyczna wartoĻę wynosi zero

% poniewaŇ algorytm szacuje ceny opcji, obliczona wartoĻę

% powinna byę zbliŇona do zera

d1=(log(S0/K)+(r+sigma*sigma/2)*T)/(sigma*sqrt(T)); % d1 - wystħpuje w formule Blacka-Scholesa

d2=d1-sigma*sqrt(T); % d2 - wystħpuje w formule Blacka-Scholesa

cena_analityczna_call=S0*normcdf(d1,0,1)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2,0,1) % dokþadna cena opcji call (model Blacka-Scholesa)

cena_analityczna_put=-S0*normcdf(-d1,0,1)+K*exp(-r*T)*normcdf(-d2,0,1) % dokþadna cena opcji put (model Blacka-Scholesa)

wzgledny_blad_call=abs(PCall-cena_analityczna_call)/cena_analityczna_call % wzglħdne rŇnice cen otrzymanych na drodze symulacji oraz

wzgledny_blad_put=abs(PPut-cena_analityczna_put)/cena_analityczna_put % ze wzoru Blacka-Scholesa

czas_obliczen=toc

% czas wykonywania skryptu/symulacji w sekundach

clear

Algorytm Milsteina (duŇa liczba realizacji)

% wycena opcji europejskich typu call i put metodĢ symulacji Monte Carlo

% dynamika instrumentu bazowego S jest geometrycznym ruchem Browna:

% dS=S*(mi*dt+sigma*dW) gdzie:

% S - cena instrumentu bazowego

% mi - dryf (drift); w algorytmie zostaþa zastĢpiona stopa wolnĢ od ryzyka r (risk neutral pricing)

% sigma - zmiennoĻę (volatility)

% W - proces Wienera

clear

tic

% start zegara odmierzajĢcego czas obliczeı

n=100000;

% liczba symulowanych trajektorii/scenariuszy

K=1.1;

% cena wykonania opcji

r=0.1;

% stopa wolna od ryzyka

S0=1;

% aktualna cena instrumentu bazowego

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: