Wycena opcji wg algorytmu drzewa dwumianowego.pdf

Wycena opcji wg algorytmu drzewa dwumianowego

Problematyka instrumentów pochodnych stanowi przedmiot zarządzania finansami, który owiany jest

specyficzną aurą tajemniczości. Panuje przekonanie, że do sprawnego zarządzania tymi instrumentami

niezbędna jest unikatowa wiedza i wyspecjalizowane narzędzia analityczne. W rzeczywistości pierwszym

krokiem na drodze do opanowania tej wiedzy jest samo zrozumienie istoty instrumentu i jego sensu

biznesowego. Po tym już nawet z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego można wykonywać

profesjonalne analizy – w tym przypadku wycenę instrumentu.

W artykule postaram się zaprezentować sposób wyceny opcji europejskiej z wykorzystaniem algorytmów

opartych na modelu drzewa dwumianowego. Zanim przejdziemy do analizy, należy zrozumieć istotę

instrumentu, jakim jest opcja. Opcja to instrument pochodny, który polega na pewnego rodzaju umowie

pomiędzy stronami, zgodnie z którą w przyszłości dokonana zostanie transakcja na z góry określonych

warunkach. W przypadku akcji polega to na możliwości kupna lub sprzedaży akcji po określonej cenie. W

umowie tej występuje wystawca oraz kupujący opcję. Wystawca zawsze jest zobligowany do wykonania

obowiązków wynikających z transakcji, natomiast kupujący ma możliwość wykorzystania przysługujących

mu praw. Trudno bowiem wyobrazić sobie sytuację, kiedy kupujący opcję będzie zainteresowany kupnem

akcji po cenie wyższej niż rynkowa. Kupując opcję zagwarantował sobie prawo do tego, że jeżeli cena

rynkowa wzrośnie powyżej ceny ustalonej w kontrakcie opcyjnym – on będzie miał prawo dokonać

transakcji po z góry ustalonej cenie. Co innego wystawca – ta strona otrzymuje wynagrodzenie za ryzyko

odchylenia ceny rynkowej od ustalonej w kontrakcie. Jeżeli warunki rynkowe spowodują, że nabywca opcji

nie będzie miał ekonomicznego powodu do skorzystania z przysługujących mu praw – wystawca opcji

zarabia, w przeciwnym wypadku zarabia nabywca, a wystawca zmuszony jest dokonać transakcji na

warunkach innych niż rynkowe.

Główne rodzaje opcji to opcje typu call - opcja kupna i opcje typu put - czyli opcje sprzedaży. Podział

świadczy o właściwościach biznesowych, w pierwszym przypadku opcja daje prawo do kupna określonych

walorów, w drugim prawo do sprzedaży. Dodatkowo opcje dzielone są ze względu na moment realizacji

prawa – tj. opcje europejskie, realizowane po upływie okresu, na jaki opcja została zawarta, oraz opcje

amerykańskie – realizowane w dowolnym momencie obowiązywania kontraktu.

Rozważając zakup opcji, należy ocenić prawdopodobieństwo tego, czy po danym okresie wartość waloru

(akcji) będzie na takim poziomie, który uzasadnia zakup opcji. Do wyboru mamy dwa warianty – pierwszy,

że cena akcji wzrośnie, drugi, że spadnie. Nie mamy wiedzy pozwalającej na pewne określenie tego, co się

wydarzy, a więc każdemu z tych wariantów musimy przypisać pewne prawdopodobieństwo zaistnienia.

Symulując dostatecznie dużą liczbę kroków, możemy oszacować spodziewane prawdopodobieństwo

sukcesu lub porażki. Ta analiza to tzw. model drzewa dwumianowego:

Jeśli mamy do czynienia tylko z dwiema możliwościami realizowanymi w ramach jednego kroku, to

możemy opracować model drzewa dwumianowego, które zawiera zdefiniowany sukces i porażkę (wzrost,

spadek ceny) oraz prawdopodobieństwo zaistnienia każdego zdarzenia w kroku. Przy dostatecznie dużej

liczbie gałęzi możemy doprowadzić do rozważenia tak dużej liczby wariantów, która pozwoli na wycenę

wartości opcji. Kluczowe jest zdefiniowanie wartości sukcesu i porażki, tj. o ile wzrośnie lub spadnie cena,

oraz oszacowanie prawdopodobieństw.

Sposób definicji tych parametrów determinuje określenie modelu. Poniżej przedstawię sposób budowy

najprostszego modelu, opracowanego przez Jarrowa i Rudda (JR). Bazuje on na założeniu, że zarówno

spadek, jak i wzrost jest możliwy z tym samym prawdopodobieństwem, tj. 50%. Wartości wzrostów i

spadków opisane są przez mnożniki zdefiniowane w następujący sposób:

Analizując jednostkową ścieżkę dojścia do wyniku w 9 krokach możemy osiągnąć wynik będący iloczynem

wartości początkowej dziewięciu spadków lub wzrostów oraz dziewięciu wskaźników prawdopodobieństw.

Na przykład ścieżka prowadząca do maksymalnej wartości będzie równa cenie akcji w bieżącym momencie

pomnożonej przez mnożnik wzrostu (w) podniesiony do 9. potęgi oraz prawdopodobieństwu wzrostu (w

przypadku JR zawsze 0,5), również podniesionemu do 9. potęgi.

W analizie drzewa dwumianowego musimy rozpatrzeć wszystkie możliwe ścieżki dojścia do określonego

wyniku, które można zdefiniować jako kombinację ilości wzrostów w liczbie kroków. W ten sposób

powinniśmy rozpatrzeć:

a. zysk wynikający z 9 kolejnych wzrostów, jak w przykładzie powyżej,

b. zysk (stratę) wynikający z 8 wzrostów i jednego spadku,

c. zysk (stratę) wynikający z 7 wzrostów i 2 spadków,

d. zysk (stratę) wynikający z 6 wzrostów i 3 spadków,

e. zysk (stratę) wynikający z 5 wzrostów i 4 spadków,

f. zysk (stratę) wynikający z 4 wzrostów i 5 spadków,

g. zysk (stratę) wynikający z 3 wzrostów i 6 spadków,

h. zysk (stratę) wynikający z 2 wzrostów i 7 spadków,

i. zysk (stratę) wynikający z 1 wzrostu i 8 spadków,

j. zysk (stratę) wynikającą z 9 kolejnych spadków.

O ile do wyników skrajnych prowadzi jedna ścieżka (same spadki lub same wzrosty), to do pozostałych

wyników prowadzą kombinacje ścieżek, np. do wyniku (e) prowadzi 126 różnych ścieżek. Ich liczbę

obliczamy na podstawie wzoru na kombinację k-elementowych podzbiorów w zbiorze n-elementowym (l):

W ten sposób możemy dla każdego ze spodziewanych wyników określić prawdopodobieństwo jego

zaistnienia jako iloczyn liczby ścieżek (kombinacji) oraz prawdopodobieństwa podniesionego do potęgi 9.

(każdy kolejny krok musi być pomnożony przez odpowiednie prawdopodobieństwo).

Znając spodziewane wyniki (zyski lub straty) oraz ich prawdopodobieństwa, otrzymujemy rozkład zmiennej

losowej. Z matematyki wiemy, że wartość oczekiwana takiego rozkładu to suma iloczynów oczekiwanego

wyniku i odpowiadającego mu prawdopodobieństwa. Na koniec pozostaje jedynie spodziewany zysk

zdyskontować na dzień dzisiejszy z uwzględnieniem kapitalizacji ciągłej i otrzymujemy cenę, za jaką

powinniśmy wycenić opcję.

Algorytm ten można przedstawić w postaci następującego arkusza MS Excel:

W komórkach E5, E6, E9, E10, E12 wprowadzamy dane wejściowe dotyczące parametrów analizowanej

akcji. W komórkach M5 i M6 wprowadzamy liczbę kroków analizy (w tym przypadku 9) oraz okres, po

jakim opcja zostanie zrealizowana (w tym przypadku pół roku, tj. 0,5).

Komórki M12 i M13 zawierają prawdopodobieństwa wzrostu i spadku kursu akcji – w przypadku modelu

JR zawsze będą równe 0,5.

Mnożniki wzrostów i spadków opisane są funkcjami MS Excel, zgodnie z opisanymi wcześniej wzorami:

W=M9=( =EXP(($E$10-$E$9-0,5*$E$12^2)*$M$7+E12*PIERWIASTEK($M$7)))

S=M10=( =EXP(($E$10-$E$9-0,5*$E$12^2)*$M$7-E12*PIERWIASTEK($M$7)))

Wykorzystujemy tutaj funkcję EXP (czyli e do potęgi n) oraz funkcję „pierwiastek”, zwracającą wartość

pierwiastka kwadratowego.

Kalkulacja odbywa się w macierzy określonej zakresem komórek C30:L21, gdzie kolejne kolumny to

kolejne kroki analizy (drzewa), natomiast wiersze to liczba wzrostów cen akcji. Start analizy odbywa w

komórce C30, w której wpisujemy odwołanie do bieżącej ceny akcji na rynku (E5). Formuła zastosowana w

arkuszu powinna tak obliczać wartość ceny, aby w wyniku przesunięcia w poziomie w prawo uwzględniać

spadek ceny, natomiast w wyniku przesunięcia w górę po przekątnej uwzględniać wzrost ceny akcji.

Dla wybranych trzech przykładowych ścieżek - ścieżka A prowadzi przez same spadki, ścieżka B poprzez

same wzrosty, natomiast ścieżka C prowadzi przez jeden wzrost (0,0) na (1,1), jeden spadek (1,1) na (1,2)

oraz 7 kolejnych wzrostów. Aby opisać to jedną funkcją MS Excel, należy użyć poniższego zapisu:

W ten sposób definiujemy funkcją algorytm macierzy. Możemy tę samą funkcję wykorzystać dla macierzy

o większej ilości kroków. Wtedy wynik będzie dokładniejszy. W naszym przykładzie zakładamy, że w

okresie życia opcji tylko dziewięć razy sprawdzimy, czy jej cena wzrosła, czy spadła.

Ponieważ analizujemy opcję europejską, interesuje nas stan w kolumnie L po dziewięciu krokach, czyli w

momencie realizacji opcji. Musimy określić, czy mamy do czynienia z zyskiem, czy nie. Straty nie

wykazujemy – identyfikując taką ewentualność jako 0. Musimy pamiętać, że opcja daje prawo do jej

skorzystania (tu chyba coś nie tak: ….daje prawo do nieskorzystania z niej?), a więc jeśli miałaby przynieść

stratę, nabywca opcji z niej nie skorzysta.

W tym momencie wprowadzamy dodatkowy parametr – a mianowicie identyfikację, czy kalkulujemy opcję

put, czy opcję call. Pole wyboru definiujemy w komórce E17, korzystając z analizy poprawności danych.

Z menu „dane” wybieramy ikonę „Poprawność Danych” i otrzymujemy okienko jak na powyższym

rysunku. Z menu „dozwolone” wybieramy „lista” i w polu „źródło” wpisujemy kolejne dopuszczalne

wartości, oddzielając je średnikiem. W ten sposób otrzymamy w komórce E17 rozwijalne pole, z którego

będziemy mogli wybrać jedynie wartości call i put.

W zależności od tego, z jakim typem opcji mamy do czynienia, w odmienny sposób kwalifikujemy zysk.

Dla opcji kupna (call) zysk będzie występował zawsze, jeśli cena akcji będzie wyższa od ceny wykonania

opcji, w przypadku opcji sprzedaży (put) zawsze, kiedy cena akcji będzie niższa niż cena wykonania opcji.

Aby uzależnić kalkulację zysku od parametru w komórce E17, w kolumnie M wykorzystujemy następującą

formułę:

=JEŻELI($E$17="Call";MAX(L21-$E$6;0);MAX($E$6-L21;0))

Dzięki temu w kolumnie M otrzymamy serię oczekiwanych zysków w zależności od tego, czy rozpatrujemy

opcję kupna, czy sprzedaży. Wspominaliśmy wcześniej, że wycena opcji jest wartością oczekiwaną

zmiennej losowej. Brakuje nam więc przypisania parametrów prawdopodobieństwa do każdego z wyników.

W kolumnie N wykorzystujemy funkcję na kombinacje oraz iloczyn kolejnych dziewięciu

prawdopodobieństw:

=$M$12^$M$5*KOMBINACJE($M$5;B21)

Na przykład dla wyniku w komórce L21, do którego prowadzi jedna ścieżka, wartość prawdopodobieństwa

będzie najniższa - równa iloczynowi dziewięciu kolejnych prawdopodobieństw (p do potęgi 9.) oraz liczbie

kombinacji równej 1.

W finale, aby obliczyć wycenę opcji, wystarczy wykorzystać funkcję „suma iloczynów” do kalkulacji

wartości oczekiwanej zmiennej losowej (wartości oczekiwanego zysku) oraz zdyskontować tę wartość na

dzień dzisiejszy z wykorzystaniem współczynnika dyskonta:

W ujęciu funkcji Excela – „Wycena Opcji” ma to postać:

=SUMA.ILOCZYNÓW(M21:M30;N21:N30)*EXP(-$E$10*$M$6)

Przedstawiony model wyceny opcji należy do najprostszych algorytmów. Poza tym funkcjonują bardziej

złożone analitycznie konstrukcje drzew dwumianowych (np. CRR) oraz znana wszystkim formuła Blacka-

Scholesa. Zaletą powyższego algorytmu jest przejrzystość analizy, co pomaga w uniknięciu błędu przy

wycenie. Ciekawe jest również to, że w rezultacie wyniki wycen pomiędzy metodologią JR a metodą

Blacka-Scholesa nie wykazują znacznych różnic. Należy też pamiętać, że każda z tych metod bazuje na

założeniach statystycznych i jako taka jest jedynie próbą przybliżenia przyszłości i uwzględnienia

normalnego ryzyka zmian.

Wybicia:

Rozważając zakup opcji, należy ocenić prawdopodobieństwo tego, czy po danym okresie wartość waloru

(akcji) będzie na takim poziomie, który uzasadnia zakup opcji.

Jeśli mamy do czynienia tylko z dwiema możliwościami realizowanymi w ramach jednego kroku, to

możemy opracować model drzewa dwumianowego, które zawiera zdefiniowany sukces i porażkę (wzrost,

spadek ceny) oraz prawdopodobieństwo zaistnienia każdego zdarzenia w kroku.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: