zadania-3.pdf

Zadaniazekonomiimatematycznej3

MichałRamsza

Zadanie1.Dla funkcji f: R n ! R deﬁniujemy zbiór

Funkcja f : R n ! R jest wypukła je»eli dla

dowolnych x 1 6= x 2 i dowolnego 2 (0; 1) za-

chodzi

n R :y f(x)g:

Pokaza¢, »e dla funkcji wypukłej f zbiórepi(f)jest zbiorem wypu-

kłym.

Zadanie2.Niech b¦d¡ dane funkcje f;g: R

n ! R wypukłe. Pokaza¢,

f(x 1 + (1 )x 2 ) f(x 1 ) + (1 )f(x 2 ):

Funkcja f jest ±ci±le wypukła je»eli powy»sza

nierówno±¢ jest ostra.

»e funkcja(f+g)(x)jest wypukła.

Zadanie3.Niech dana b¦dzie funkcja wypukła f: R n ! R ró»nicz- Dowód przeprowadzi¢ przez zaprzeczenie ko-

rzystaj¡c z epigrafu lub wprost korzystaj¡c

z faktu, »e dla funkcji wypukłej płaszczyzna

styczna do wykresu nie mo»e znajdowa¢ si¦

“powy»ej” wykresu funkcji.

kowalna. Pokaza¢, »e warunkiem wystarczaj¡cym na istnienie mini-

mum jest zerowanie si¦ gradientu.

Zadanie4.Niech dana b¦dzie funkcja ±ci±le wypukła f: R n ! R z

minimum x 0 . Pokaza¢, »e minimum x 0 jest wyznaczone jednoznacz-

nie.

Zadanie5.Firma produkuje jedno dobro na dwa rynki, które cha- Elastyczno±¢ cenowa popytu Q jest zadana for-

muł¡

rakteryzuj¡ si¦ odwrotnymi funkcjami popytu odpowiednio p 1 (q 1 )i

p 2 (q 2 ), gdzie q 1 to wielko±¢ produkowana na pierwszy rynek a q 2

to wielko±¢ produkowana na drugi rynek. Koszt produkcji wynosi

c(q 1 +q 2 ).

(a) Wyprowadzi¢ warunki optymalno±ci pierwszego rz¦du i poda¢ in-

terpretacje w terminach elastyczno±ci funkcji popytu.

(b) Rozwi¡za¢ je»eli p 1 (q 1 )=Aq 1 , p 2 (q 2 )=B 2q 2 oraz c(q)=

q+q 2 .

Zadanie6.Narysuj wykres funkcji, która jest quasi-wkl¦sła i

= dQ

Q :

Funkcja f : R n ! R jest quasi wkl¦sła wtedy

i tylko wtedy, gdy dla dowolnego k 2 R zbiór

S = fx 2 R n : f(x) kg

jest wypukły.

1. jest quasi-wypukła,

2. nie jest quasi-wypukła,

3. nie jest wypukła,

4. nie jest wkl¦sła,

5. nie jest ani wkl¦sła ani wypukła,

6. jest wkl¦sła i wypukła.

Ile razy wykres funkcji mo»e przeci¡¢ prost¡ poziom¡?

Zadanie7.Sprawdzi¢ czy poni»sze funkcje s¡ quasi-wkl¦słe, quasi- Równowa»na deﬁncja dla funkcji ró»niczkowal-

nych. Funkcja f : R n ! R jest quasi-wkl¦sła

je»eli dla dowolnych u 6= v zachodzi

f(v) f(u) )rf(u)(vu) 0;

(1) f(x;y)=ax+by (2) f(x;y)=xlny

oraz quasi-wypukła je»eli

f(v) f(u) )rf(v)(vu) 0:

(3) u(x;y)= p xy (4) u(x;y)=xy

epi(f)=f(x;y)2 R

wypukłe, spełniaj¡ oba warunki czy te» »adnego.

rodna stopnia 1. Pokaza¢, »e Q=L i Q=K s¡ funkcjami kapitału per

capita k=K=L.

Zadanie9.Niech dana b¦dzie funkcja produkcji Q=f(K;L)jedno-

rodna stopnia 1.

(a) Pokaza¢, »e kra«cowe produktywno±ciMPP L =@Q=@L iMPP K =

@Q=@K mo»na przedstawi¢ jako funkcj¦ kapitału per capita k=K=L.

(b) Udowodnij, »e

@L =Q:

Własno±¢ ta jest nazywana tw. Eulera.

Douglas f(Q;L)=AQ L 1 , 2(0;1).

Zadanie10.Uogólnij twierdzenie Eulera do przypadku funkcji n

zmiennych, gdzie funkcja f jest jednorodna stopnia r, tj. wyka», »e

zachodzi równo±¢

x i @f

@x i =rf:

i=1

Zadanie11.Niech b¦dzie dana jednorodna funkcja produkcji q stop-

nia r. Pokaz¢, »e @q=@x i jest funkcj¡ jednorodn¡ stopnia r1.

Zadanie12.Pokaza¢, »e dla ka»dej jednorodnej funkcji produkcji

stopnia r 1expansionpathjest lini¡ prost¡. Czy jest to prawda

dla homotetycznych funkcji produkcji, tj. funkcji produkcji postaci

f(x)=H(q(x)), gdzie q jest jednorodn¡ funkcj¡ produkcji, a H jest

funkcj¡ monotoniczn¡?

Zadanie13.Oblicz elastyczno±¢ skali dla uogólnionej funkcji pro- Elastyczno±¢ skali jest zdeﬁniowana jako:

= df(tx)

2 obliczy¢

f(x)

t=1

expansionpath. Obliczy¢ elastyczno±¢ substytucji.

Zadanie15.Niech dana b¦dzie funkcja produkcji f postaci

f(x 1 ;x 2 )=A

Elastyczno±¢ substytucji jest zdeﬁniowana

jako:

=( 1)

= d(x 2 =x 1 )=d(p 1 =p 2 )

1 +(1a)x ( 1)=

;

gdzie A >0, a 2[0;1]i 2(1;1). Obliczy¢, elastyczno±¢ substy-

tucji. Zinterpretowa¢ parametry tej funkcji.

Zadanie16.Pokaza¢, »e dla jednorodnej stopnia 1 funkcji produkcji

f(K;L)zachodzi =(f K f L =f KL ). Skorzysta¢ z twierdzenia Eulera.

Zadanie17.Poka», »e funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest gra-

nicznym przpadkiem funkcji

f(x 1 ;x 2 )=A ax ( 1)=

=( 1)

;

gdy !0. Jak¡ funkcj¦ produkcji uzyskuje si¦, gdy !1.

Zadanie8.Niech dana b¦dzie funkcja produkcji Q=f(K;L)jedno- Funkcja jest jednorodna stopna r je»eli

f(x) = r f(x) dla dowolnego x.

K @Q

@K +L @Q

dukcji Cobba-Douglasa f(x 1 ;x 2 )=Ax 1 x 2 .

Zadanie14.Dla funkcji produkcji f(x 1 ;x 2 )=Ax 1 x 1

(x 2 =x 1 )=(p 1 =p 2 ) :

ax ( 1)=

1 +(1a)x ( 1)=

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: