METODA MAXWELLA-MOHRA
Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.
Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną (siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.
Dla potrzeb obliczeń inżynierskich (dla konstrukcji płaskich) wzór Maxwella-Mohra można przedstawić w postaci:
gdzie:
- poszukiwane przemieszczenie,
k – liczba przedziałów użyta do wyznaczenia równań momentów gnących,
- długość przedziału (całkujemy od 0 do wartości współrzędnej xk na końcu przedziału),
- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy z obciążeniem rzeczywistym,
- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy obciążonej tylko i wyłącznie siłą jednostkową lub momentem jednostkowym,
- moduł Younga,
- moment bezwładności na zginanie przekroju poprzecznego ramy.
Całki typy można obliczyć metodą tzw. mnożenia wykresów, jeżeli jedna z funkcji fi i fk jest liniowa na odcinku długości l. Mianowicie mnożymy pole Wi wykresu funkcji fi przez rzędną wk wykresu funkcji fk (ograniczonego prostą o stałym nachyleniu) znajdującą się pod środkiem ciężkości pola Wi .
Należy zaznaczyć, że w przypadku gdy oba wykresy fi i fk są liniowe, wtedy możemy wyznaczyć pole któregokolwiek wykresu i pomnożyć je przez rzędną wykresu drugiego czyli:
Iloczyn W×w jest dodatni, jeżeli pola wykresów są tego samego znaku i ujemny gdy wykresy mają różne znaki.
Pola figur i położenia środków ciężkości
a
POLE ŚRODEK CIĘŻKOŚCI
W XC
f
l × f l
l
ax
ax2
POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU
WZORU MAXWELLA-MOHRA:
1) Obciążyć układ siłami czynnymi i wyznaczyć reakcje podpór.
2) Obciążyć układ tylko i wyłącznie siłą jednostkową w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia oraz wyznaczyć reakcje podpór.
(uwaga: jeżeli poszukujemy przesunięcia pionowego - obciążamy układ siła jednostkową pionową, jeżeli poszukujemy przesunięcia poziomego - obciążamy układ siła jednostkową poziomą, jeżeli poszukujemy kąta obrotu - obciążamy układ momentem jednostkowym)
3) Przyjąć przedziały do opisu sił wewnętrznych identyczne w obu przypadkach obciążeń.
4) Napisać wyrażenia sił wewnętrznych dla obu układów.
5) Zastosować wzór Maxwella-Mohra do obliczenia poszukiwanego przemieszczenia.
SPOSOBU WERESZCZAGINA
DO OBLICZANIA CAŁEK MAXWELLA-MOHRA:
1) Sporządzić wykresy sił wewnętrznych S(x) od obciążenia układu siłami czynnymi (rzeczywiście działającymi na konstrukcje)
2) Sporządzić wykresy sił wewnętrznych S1(x) od obciążenia układu siłą jednostkową przyłożoną w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
3) Obliczyć powierzchnię W i wyznaczyć środki ciężkości xc pól wykresu S(x) odpowiadających odcinkom prostym S1(x)
4) Wyznaczyć rzędne (wartości funkcji) v=S1(xc) odpowiadające położeniom środków ciężkości pół wykresu S(x)
Podziału na pola wykresu S(x) dokonujemy po wykonaniu wykresu S1(x) , kiedy wiemy ile i jakie odcinki występują na wykresie S1(x)
W przypadku złożonego obciążenia układu korzystniej jest stosować zasadę superpozycji - wykresy S(x) mają prostą postać
vvasyl89