TEORIA LICZB
Etapy rozwoju wg J. Piageta:
- okres rozwoju inteligencji sensoryczno- motoryczny do 18 miesiąca (2 lata)
- okres myślenia przedoperacyjnego (wyobrażeń przedoperacyjnych) do 7 roku życia
- operacyjnego na konkretach do 12 r. ż.
- operacji formalnych
Operacja – czynność umysłowa wewnętrzna umożliwiająca łączenie przeciwstawnych czynności w jedną całość
Czynność wewnętrzna – wykonywana jest w umyśle (w przeciwieństwie do zewnętrznej, która jest działaniem praktycznym na konkretach, a znaczenie nadaje jej spostrzeganie)
Odwracalność – cecha operacji polegająca na łączeniu w umyśle czynności odwrotnych w jedną całość. Powiązanie w umyśle na przykład czynności zsuwania kształtów i ich rozsuwania, jako jednej operacji, przejawiające się w umiejętności myślowego (w wyobraźni) przekształcenia w jedną i w drugą stronę.
Etapy rozwoju umiejętności klasyfikacji:
ü Łączenie w pary (jabłko z koszyczkiem, wazonik z kwiatkiem). Dziecko w wieku przedoperacyjnym jest w stanie pogrupować przedmioty, łącząc je najczęściej w pary „jabłko z koszyczkiem, bo często zbiera się jabłka do koszyka”. Brak jest klasyfikacji myśli przewodniej, obejmującej swoim zasięgiem klasę przedmiotów.
ü Tworzenie ciągu logicznego ze zmieniającym się kryterium doboru. Na wyższym poziomie dziecko potrafi dobrać przedmioty grupując je wg tworzonego przez siebie ciągu logicznego, przy czym charakterystyczne jest, iż zmienia się kryterium doboru.
ü Tworzenie kolekcji np. lalka i jej ubranka. W toku dalszego rozwoju dziecko stara się objąć jak najszerszą grupę przedmiotów za pomocą jednego kryterium. Dzieci na poziomie przedoperacyjnym mają jeszcze trudności w rozumieniu, że np. te same żetony, guziki, itp. można raz rozdzielić wg kształtu a następnie rozdzielić wg barw czy też wielkości.
ü Tworzenie zbioru wg jednego kryterium. Natomiast na poziomie operacji konkretnych dzieci widzą od razu kilka możliwości grupowania i niejednokrotnie pytają „jakie składać razem?”. Gdy decydują się na jedno z możliwych kryteriów, nie przerzucają się w toku klasyfikacji na inne.
Wskaźniki charakteryzujące zdolność do operacyjnego rozumowania:
ü Operacyjne rozumowanie w obrębie ustalania stałości wielkości (ilości) nieciągłych. Chodzi tu o umiejętność dostrzeżenia przez dziecko, iż ilość elementów danego zbioru nie zmieniła się, choć został on przesunięty w przestrzeni (dziecko uważa, że ilość kształtów w koszyku jest taka sama, chociaż przełożyliśmy je do mniejszego koszyka i wypełniają go obecnie bardziej niż poprzedni koszyk. Ułożenie przedmiotów w 2 szeregi i jeśli przedmioty z 1 z nich rozsuniemy to dziecko powie, że więcej jest w tym rozsuniętym, bo zajmuje więcej miejsca). Zdarza się, że dziecko w klasie 4 powie, że ¼ jabłka to mniej niż ¼ tortu.
ü Operacyjne porządkowanie elementów w zbiorze przy wyznaczeniu konsekwentnych serii. Jest to ten rodzaj kompetencji pozwalającej na klasyfikowanie przedmiotów na zbiory tak, aby każdy zbiór był utworzony z elementów charakteryzujących się wspólną cechą. Umiejętność uszeregowania patyczków wg długości.
ü Operacyjne rozumowanie w zakresie ustalania stałości masy. Chodzi o zrozumienie, iż tworzywo ma stałą masę nawet wtedy, gdy ulega przekształceniu. Ta umiejętność jest podstawą do radzenia sobie z pojęciem miar i czynnością mierzenia
ü Operacyjne rozumowanie w zakresie ustalania długości przy obserwowanych doświadczeniach. Umożliwienie zrozumienia pojęć geometrycznych i opanowanie umiejętności mierzenia długości.
ü Operacyjne rozumowanie w zakresie ustalenia stałej objętości cieczy, przy transformacjach zmieniających jej wygląd. Zrozumienie pomiaru objętości.
Wskaźniki niezbędne do uczenia się matematyki w warunkach szkolnych:
1. Dziecięce liczenie:
- Sprawne liczenie i rozróżnianie błędnego liczenia od poprawnego;
- Umiejętność wyznaczania wyniku dodawania i odejmowania w zakresie 10 „w pamięci” lub na palcach.
2. Operacyjne rozumowanie na poziomie na poziomie konkretnym w zakresie:
- Uznawanie stałości ilości nieciągłych (zdolność do wnioskowania o równości mimo obserwowanych zmian w układzie elementów porównywanych zbiorów);
- Wyznaczania konsekwentnych serii (zdolność do ujmowania każdego z porządkowanych elementów jako mniejszego od nieuporządkowanych i jednocześnie jako największego w zbiorze już uporządkowanym).
3. Zdolność do odrywania się od konkretów i posługiwania się reprezentacjami symbolicznymi w zakresie:
- Pojęć liczbowych (aspekt językowo- symboliczny);
- Działań arytmetycznych (formuła arytmetyczna i jej przekształcenia);
- Schematu graficznego (grafy strzałkowe, drzewka, tabele i inne uproszczone rysunki).
4. Dojrzałość emocjonalna wyrażająca się w:
- Pozytywnym nastawieniu do samodzielnego rozwiązywania zadań;
- Odporności emocjonalnej na sytuacje trudne intelektualnie (zdolność do kierowania swym zachowaniem w sposób racjonalny mimo przeżywanych napięć).
5. Zdolność do syntezowania oraz integrowania funkcji percepcyjno-motorycznych, która wyraża się w sprawnym odwzorowywaniu złożonych kształtów, rysowaniu i konstruowaniu.
LICZBA – ilość określona w umyśle
CYFRA – służy do zapisywania liczb
DZIAŁANIA NA LICZBACH
Reprezentacje poznawcze
Reprezentacja jest to zbiór reguł, w kategoriach, których jednostka tworzy sobie pojęcia stałości zdarzeń, z jakimi się zetknęła.
Reprezentacje zdarzeń (szeroko rozumianych) możemy budować w umyśle dzięki:
§ Działaniom, których owe zdarzenia wymagają – reprezentacja enaktywna;
§ Wyobrażenia zdarzeń – reprezentacja ikoniczna;
§ Słów lub innych symboli – reprezentacja symboliczna.
Reprezentacje tworzą się w umyśle na podstawie doświadczeń en aktywnych, ikonicznych i symbolicznych. Problem polega na tym, że pamięć wykorzystywana, jako wiedza nie przechowuje samych doświadczeń, ale to, co z nich wynika, czyli dostrzeżenie prawidłowości. Inaczej mówiąc, jeśli nie widzimy reguły, jak coś działa – nie zapamiętamy tego, jako wiedzy użytecznej. Zdaniem J. Brunera istotne jest również, aby prawidłowości były dostrzegane dzięki samodzielnym procesom odkrywania.
Reprezentacje działań dodawania i odejmowania tworzą się łatwiej, ponieważ:
§ Dzieci mają najwięcej doświadczeń en aktywnych tego typu
§ Język potoczny pozwala na konstruowanie reprezentacji tych działań
Zero, jako liczba naturalna jest trudniejsza do opanowania, ponieważ:
§ Jest używana stosunkowo od niedawna
§ Początkowe reprezentacje dziecięce nie wspomagają powstawania postaci symbolicznej
§ Zbyt mało ćwiczeń zwraca uwagę na jej znaczenie
Rozumienie mnożenia w sensie „skróconego” dodawania nie jest możliwe do przyswojenia w postaci reprezentacji ikonicznej (można jedynie przedstawić dodawanie). Warto, więc aby dzieci poznawały pojęcie mnożenia również, jako powierzchni prostokąta. Nie chodzi tu o wprowadzenie symbolicznego wzoru, ale o badanie zależności kratek np. na goplanie i sposób ich szybkiego obliczania.
Dzielenie przez mieszczenie
Mam 12 pączków. Dam kolegom po 3 pączki. Dla ilu kolegów starczy.
12:3=4
Dzielenie przez podział
Mam 12 pączków. Rozłożę je na 3 talerze. Po ile pączków będzie na każdym talerzu?
Reprezentacje budowane są przez doświadczenia. Oba rodzaje dzielenia mają na celu ułatwić dzieciom zrozumienie, że dzielenie jest wówczas, gdy mówimy: „podziel na” oraz wówczas gdy mówimy „podziel po”. Reprezentacja symboliczna nie dokonuje już takiego rozróżnienia, ponieważ wynik dzielenia nie zależy od sposobu wyobrażenia sobie. Ważne, żeby oba sposoby funkcjonowały w reprezentacji ikonicznej.
Ogólnie mówiąc: jeśli mamy a:b=c
Jeżeli a¹0, to iloraz a:0 nie istnieje, ponieważ żadna liczba c nie spełnia warunku c*0= a¹0
Jeżeli a=0 to iloraz a:0, czyli 0:0 nie istnieje, gdyż każda liczba c spełnia warunek c*0=0 (brak jednoznaczności takiego działania)
Zad. Jacek ma 12 kolorowych kulek. Oddał młodszemu bratu 3 kulki, ale od taty dostał jeszcze 4. Ile ma tera kulek.
Pisemne dodawanie i odejmowanie jest bezpośrednim wynikiem rozumienia systemu dziesiętnego. Na zajęciach z dydaktyki i z edukacji matematycznej grupowano fasolki w torebki, żeby po doświadczeniach z omawianiem sytuacji, zadawaniem pytań i tworzeniu zagadek przejść do zapisu symbolicznego.
□
·
Zad. Proszę znaleźć sposoby obliczenia następujących przykładów:
54+38= 40+30+5+8=45+40-2=83
61-46= 50-40+11-6=10+5=15
61-40-6=21-6=15
61-50+4=15
60-45=15
Po wielu takich ćwiczeń większość dzieci ma świadomość najłatwiej jest pomnożyć, gdy „rozerwiemy” liczbę na dziesiątki i jedności.
Teraz już dużo łatwiej jest pomnożyć najpierw 4 razy 10 a potem 4 razy 3 i dodać wszystko.13*4=10*4+3*4=40+12=52
Można zaproponować uczniom inny zapis, który jest krótszy.
13
4
-----
40
12
52
Postrzegając zapis liczby 2-cyfrowej jako cyfra dziesiątek i cyfra jedności.
Dzielenie pisemne:
Najpierw przykłady typu 468:2 Później 536:4
METODY ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH:
Zadania:
ü Proste – model matematyczny zawiera tylko 1 działanie arytmetyczne wiążące niewiadomą z 2 innymi liczbami.
o Typowe zad. Sadzonki truskawek posadzono w 7 rzędach po 8 sadzonek w każdym rzędzie. Ile sadzonek posadzono?
o Nietypowe zad. W rodzinie Kowalskich jest 4 synów. Każdy z nich ma siostrę. Ile dzieci jest w tej rodzinie?
ü Złożone (wg S. Turnaua złożone łańcuchowo) – model matematyczny odpowiada kilku kolejnym działaniom arytmetycznym, które z kolei stanowią modele matematyczne, powstałe z otrzymania ciągu zadań prostych po rozłożeniu zadania wyjściowego.
o Typowe zad. Do sklepu przywieziono 56 skrzynek coca-coli. W każdej jest 6 butelek o jednakowej pojemności. Po pewnym czasie sprzedano 43 skrzynki. Ile butelek zostało w sklepie?
56-43=13 13*6=78
o Nietypowe zad. Suma 2 liczb wynosi 146 a ich różnica 46. Jakie to liczby?
46 (146-46):2=50
146-50 =96
100
Zasady:
à Zasada kontrastowania – uczniowie nie mogą rozwiązywać kolejno po sobie zadań o tych samych modelach matematycznych (tych samych sposobach rozwiązywania).
à Zasada różnicowania modeli matematycznych – uczniowie muszą poszukiwać modeli matematycznych, które będą odpowiadały zróżnicowanym typom zadań.
à Zasada regularnego wprowadzania zadań nietypowych – przeciwdziałanie konstruowaniu przez uc...
agakedziorek