Ekonomia matematyczna

3.1. Model zachowania konsumenta

3.2. Wzajemna zamienialność dóbr

3.3. Równanie Słuckiego

3.4. Elastyczność cenowa i dochodowa. Paradoksy Giffena i Yeblena

3.1. Model zachowania konsumenta

W teorii konsumpcji zakłada się, że konsument zawsze dąży do tego, żeby maksymalizować użyteczność dla swoich ograniczonych możliwości

                                                       (3.1)

Zakładamy, że punkt, który jest rozwiązaniem zadania (3.1) należy do dziedziny dostępnych koszyków . Więc dla rozwiązania (3.1) musimy obliczyć bezwarunkowe maksimum funkcji Lagranżego

                                                    (3.2)

Lokalne warunki lokalnego ekstremum to są

,                                                           (3.3)

, .                                              (3.4)

Z (3.4) widać, że stosunek krańcowych stóp substytucji równa się stosunkowi cen na odpowiednie dobra

.                                                            (3.5)

Rozwiązując (3.3) i (3.4) odnośnie otrzymujemy funkcję popytu

.                                                              (3.6)

Definicja 3.1. Funkcję uzależniającą popyt konsumenta na towary od cen towarów i dochodu konsumenta nazywamy funkcję popytu konsumpcyjnego.

Definicja 3.2. Krzywa zapotrzebowania (czyli krzywa ekspansji dochodu) przedstawia optymalny wybór konsumenta przy różnych poziomach dochodu, ale przy stałych cenach .

Definicja 3.3. Krzywe Engla - są wykresy zależności popytu na jedno dobro jako funkcji dochodu przy założeniu stałości wszystkich cen .

3.2. Wzajemna zamienialność dóbr

Rozpatrzymy funkcję popytu . Widać, że popyt na i-te dobro maleje wraz ze wzrostem ceny na i-te dobro, rośnie wraz ze wzrostem dochodu i nie zależy od ceny na j-te dobro.

Definicja 3.4. Jeżeli popyt na i-te dobro maleje wraz ze wzrostem ceny na i-te dobro i jednocześnie rośnie popyt na j-te dobro to takie dobra nazywają się wzajemnie zamienialne.

Definicja 3.5. Jeżeli popyt na i-te dobro maleje wraz ze wzrostem ceny na i-te dobro i jednocześnie maleje popyt na j-te dobro ta takie dobra nazywają się wzajemnie dopełniające się.

W rzeczywistości wraz ze wzrostem ceny na i-te dobro może występować zakłócenie w postaci ogólnego obniżenia dochodu konsumenta, co może doprowadzić do obniżenia popytu na wzajemnie zamienialne j-te dobro. Dla usunięcia takiego zakłócenia wprowadza się

Definicja 3.6. Budżet dostosowany to jest taki budżet, który zachowuje siłą nabywczą konsumenta. Inaczej mówiąc budżet , który dozwala nabyć równoznaczny koszyk.

                                           Rys. 4.1

Kiedy cena dobra ulega zmianie, pojawiają się dwa rodzaje efektów:

·         zmienia się stosunek, według którego wymienia się jedno dobro na drugie;

·         zmienia się ogólna siła nabywcza dochodu konsumenta;

Na przykład, jeżeli cena pierwszego dobra zmieniła się od do , to stosunek cen zmienia się od do , a ogólna siła nabywcza (budżet) zmienia się od do   (Rys. 4.1).

Definicja 3.7. Pierwszy efekt – zmiana popytu z tytułu zmiany stopy wymiany między dwóma dobrami – jest nazywany efektem substytucyjnym.

Definicja 3.8. Drugi efekt – zmiana popytu z tytułu osiągnięcia innej (większej lub mniejszej) siły nabywczej - jest nazywany efektem dochódowym.

Rozpatrzymy funkcję użyteczności dwóch dóbr , budżet 60, ceny dóbr odpowiednio 10 i 2. Więc funkcje popytu mają postać , . Wtedy wybór początkowy konsumenta będzie , i funkcja użyteczności przyjmie wartość . Niech teraz cena dobra drugiego wzrośnie do 7. Żeby kupić ten sam koszyk konsument musi wydać dodatkowo (7-2)15=75 jednostek pieniężnych. Ale wraz ze wzrostem ceny zmieni się stopa wymiany dóbr i więc musimy kupić nie ten sam koszyk tylko koszyk równoznaczny tj. koszyk dla którego . Obliczymy budżet dostosowany . Mamy:

,, wtedy. Stąd .

Więc dodatkowo musimy wydać tylko 52,25.

Zapiszemy teraz rozwiązanie w ogólnej postaci. Po wzroście ceny z do funkcje popytu mają postać

i ,

gdzie jest to budżet dostosowany. Warunek równej użyteczności

.

Stąd i , .

W przypadku budżetu dostosowanego popyt na pierwsze dobro zmaleje w razy (jeżeli budżet nie jest dostosowany to w z razy), natomiast popyt na drugie dobro wzrośnie w razy.

Więc

.                                                         (3.7)

Dolny indeks subst oznacza, że jest usunięty efekt dochodowy i zostaje się tylko efekt substytucyjny.

Dla wzrostu ceny na drugie dobro mamy analogicznie

.                                                        (3.8)

Warunek (3.7) lub (3.8) to jest warunek tego, że dobra są wzajemnie zamienialne. Warunek

                                                          (3.9)

i warunek

                                                       (3.10)

to warunki wzajemnie dopełniających się dóbr. Obliczymy cząstkowe pochodne. Mamy odpowiednio przyrosty:

, ,.

Stąd

,

.

Więc mamy wzajemnie zamienialne dobra.

3.3. Równanie Słuckiego

Jednym z podstawowych równań w teorii wyboru konsumpcyjnego jest równanie Słuckiego, które było udowodnione w 1915 r. Rosyjskim matematykiem Słuckim. Równanie Słuckiego pokazuje zależność pomiędzy efektami substytucyjnym i dochodowym a ogólnym popytem. Zapiszemy bez dowodu Równanie Słuckiego:

, , .                                          (3.10)

Pierwszy składnik w prawej części opisuje efekt substytucyjny, drugi efekt dochodowy, z lewej strony zapisana jest ogólna zmiana popytu z tytułu strukturalnej zmiany popytu i zmiany realnego dochodu konsumenta.

Definicja 3.9. Jeżeli popyt rośnie wraz ze wzrostem dochodu tj.

to takie dobro nazywa się dobrem luksusowym (wyższego rzędu).

Wtedy według (3.10)

co oznacza, że jeżeli popyt rośnie wraz ze wzrostem ceny, to on rośnie szybciej jeżeli mamy kompensację i jeżeli popyt maleje wraz ze wzrostem ceny, to on maleje w mniejszym stopniu jeżeli mamy kompensację. Może stać się, że

, i ,

co oznacza, że dobra i-te i j-te są wzajemnie zamienialne, natomiast bez kompensacji są wzajemnie dopełniające się.

Rozpatrzymy równanie Słuckiego dla .

.                                            (3.11)

Dla spełnionych dodatkowych założeń 1) – 3)

Definicja 3.10. Jeżeli popyt rośnie wraz ze wzrostem ceny tj.

wtedy takie dobro nazywa się dobrem Giffena.

Definicja 3.11. Jeżeli popyt maleje wraz ze wzrostem dochodu tj.

,

wtedy takie dobro nazywa się. drugorzędnym dobrem (niższego rzędu).

Więc dobro Giffena jest zawsze drugorzędnym dobrem.

3.4. Elastyczność cenowa i dochodowa. Paradoksy Giffena i Yeblena

Z matematycznego punktu widzenia, jeśli dana jest funkcja Y = f(X1, X2, ... , Xn), to elastycznością zmiennej Y względem zmiennej Xj nazywamy wyrażenie:

.                          (3.12)

Główną zaletą badania popytu przy użyciu pojęcia elastyczności jest fakt, że elastyczności są niezależne od jednostek, w jakich mierzy się poszczególne zmienne. Istnieje zatem możliwość porównania wyników analizy popytu na dane dobro nawet w różnych krajach (wartości pieniężne wyrażone w innych walutach) bądź też popytu na różne dobra mierżono w odmiennych jednostkach fizycznych. Elastyczności popytu nie zawsze są wielkościami stałymi względem zmian w poziomach ceny i dochodu. W pewnych przypadkach rozsądnym wydaje się jednak przyjęcie założenia o stałości elastyczności, tzn. uznanie, iż z każdego procenta przyrostu dochodów konsumenci przeznaczają pewną stałą (w przybliżeniu) część na dodatkowy zakup określonego dobra bądź też, że każdy procent wzrostu ceny. tego dobra powoduje jednakowy co do wartości spadek popytu na nie.

Pojęcie elastyczności odgrywa w analizie popytu podstawową rolę. Praktycznie rzecz biorąc, elastyczność popytu na pewne dobro względem danej zmiennej jest to procentowy przyrost (lub spadek) popytu wywołany przyrostem wartości tej zmiennej o 1%. Jest to zatem pewna miara siły wpływu danej zmiennej na poziom popytu. Informacja o poziomie elastyczności popytu na pewne dobro względem ceny tego dobra, czy dochodu konsumentów może być więc bardzo cenna dla podejmowania konkretnych decyzji gospodarczych.

...