1.1. Przedmiot ekonomii matematycznej
1.2. Modele zachowania konsumenta
1.3. Ograniczenie budżetowe
1.4. Własności zbioru budżetowego w .
1.5. Zmiany linii budżetu
1.6. Właściwości preferencji.
1.7. Dodatkowe założenia.
1.8. Funkcja użyteczności.
1.9. Właściwości funkcji użyteczności.
1.10. Stopa substytucji i elastyczność
Przedmiotem ekonomii matematycznej są modeli realnych ekonomicznych procesów.
Model to jest obiekt, który zastępuje oryginał i odwzorowuje najistotniejsze dla danego badania cechy i właściwości oryginału.
Metoda ekonomii ekonomicznej to jest systemowa analiza ekonomiki jak skomplikowanego dynamicznego układu. Ekonomia Matematyczna tworze modele matematyczne w postaci założeń o powiązaniu zmiennych ekonomicznych. W skutek różnorodności podmiotów gospodarczych i zmienności warunków, Ekonomia Matematyczna dzieli się na szereg różnych modeli nie mających wartości uniwersalnej.
Główni podstawowe matematyczne modele mikro- i makroekonomii:
· Modele zachowania konsumenta
· Teoria produkcji
· Modele rynku
· Modele równowagi
· Modele wzrostu gospodarczego
· Modele cyklu koniunkturalnego
Jednej z najistotniejszych pojęciem teorii ekonomicznej jest teoria konsumenta. Głównym pytaniem tu jest ustalenie konsumpcji dla danych cen na dobra i dochodzie.
Konkretna decyzja o zakupach określonego koszyka dóbr matematycznie może być pokazana jako wybór punktu w przestrzeni towarów. Niech - jest ograniczona ilość dóbr, a koszyk określonych dóbr w przestrzeni
Przestrzenią dóbr nazywa się zbiór wszystkich możliwych dóbr z dodatnimi współrzędnymi
.
W przestrzeni dóbr wprowadzimy normę
,
i odpowiednio metrykę (odległość pomiędzy elementami)
Przykład. 1.1 Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki , gdzie są jajka, męka. Obliczyć wielkość koszyka i odległość pomiędzy koszykami i .
Rozwiązanie.
Wielkość koszyka: .
Odległość: .
Definicja 1.1. Zbiór nazywa się - otoczeniem.
Definicja 1.2. Zbiór nazywa się otwarty, jeżeli każdy element x zbioru Y należy do niego razem z pewnym otoczeniem .
Przykład. 1.2 Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki należące do otoczenia z przykładu 1.1.
Definicja 1.3. Punkt nazywa się punktem brzegowym zboru A, gdy w dowolnym otoczeniu tego punktu znajdują się punkty należące i punkty nie należące do zbioru A.
Definicja 1.4. Zbiór nazywa się domknięty, jeżeli Y jest sumą niektórego otwartego zbioru A i wszystkich brzegowych punktów A.
Załóżmy, że możemy obserwować ceny wszystkich dóbr , oraz budżet konsumenta . Wtedy ograniczenie budżetowe może być zapisane jako
Zbiór punktów , który spełniają ten warunek nazywa się zbiorem budżetowym lub zbiorem dopuszczalnych koszyków.
Definicja 1.5. Linią budżetu nazywamy zbiór koszyków , który spełniają warunek
Równanie linię budżetu może być również zapisane w postaci
Jest to równanie prostej z nachyleniem . Najprostszy sposób narysowania tej linii – to połączyć punkty oraz .
Nachylenie linii budżetu ma jasną interpretacje ekonomiczną: mierzy ono stopę według której konsument jest skłonny zamienić dobro 1 na dobro 2:
...
Występuje minus, ponieważ zawsze mają znaki przeciwne.
Eliminacja jednego parametru.
Linia budżetu ma 3 parametry , które mogą się zmienić. Z równania wynika, że wzrost dochodu (budżetu) przesunie równolegle do góry linię budżetu i nie zmieni kont nachylenia. Zmniejszenie ceny dobra 1 powoduje przesunięcie punktu przecięcia linii budżetu z poziomą osią na prawo. To znaczy, prosta staje się mniej stroma. Zmniejsza się kąt nachylenia.
Zmniejszenie ceny dobra 2 – bardziej stroma.
żetu
x20
x10
Zmiany linii bud
Zbiór budżetowy w przypadku racjonowania.
Rząd czasem nakłada ograniczenia w postaci racjonowania lub opodatkowania konsumpcji większej niektórego poziomu. Niech – racjonowane dobro.
a) Kartki konsumpcyjne: b) (t – podatek)
Później zobaczymy, że czasem sytuacji b) wynikają i w modelach bez racjonowania (konsumpcja międzyokresowa).
W teorii konsumpcji zakłada się, że każdy konsument ma własne preferencji na niektórym podzbiorze przestrzeni dóbr x. To oznacza, że dla dwóch dowolnych koszyków i konsument potrafi ich uszeregować według stopnia pożądania i zawsze mamy jedną z trzech relacji:
1. , (mówimy y silnie preferowany nad x);
2. , (mówimy x silnie preferowany nad y);
3. , (koszyki x, y są obojętne (indyferentne)).
Wprowadzimy następujące relacji preferencji:
1. , (mówimy x słabo preferowany nad y), co oznacza, że koszyk „y nie gorszy od koszyka x”.
2. , (mówimy x silnie preferowany nad y), co oznacza, że koszyk x jest z pewnością lepszy od koszyka y.
Pierwsza relacja nazywają się relacja słabej preferencji, druga relacja silnej preferencji, trzecia relacja indeferentności.
Podstawową relacją jest relacja słabej preferencji, na podstawie której możemy zdefiniować pozostałe relacji.
Definicja 1.5. Parę nazywamy polem preferencji konsumenta.
Definicja 1.6. Niech .
1. Mówimy, że koszyki x, y są indyferentne, jeżeli równocześnie i .
2. Mówimy, że koszyk x jest silnie preferowany nad koszykiem y, jeżeli i
Relacja słabej preferencji ma następujące właściwości:
1. Dla(refleksyjność, zwrotność).
2. Dla(zupełność).
3. Jeżeli dla (przechodniość, tranzytywność).
Aksjomat 3 wprowadza liniowy porządek w przestrzeni dóbr i daje możliwość konsumentowi zawsze dokonywać konkretnego wyboru i nie zamykać się w błędnym kole, natomiast aksjomat 2 wyklucza istnienie sytuacji, gdy konsument nie jest w stanie powiedzieć, który z koszyków jest lepszy.
Relacja indeferencji spełnia warunki ekwiwalentności:
1. Dla (refleksyjność, zwrotność).
2. Dla (symetryczność).
To znaczy, przestrzeń dóbr rozbija się na zbiory, które nie mają wspólnych punktów. Takie zbiory nazywają się obszary obojętności. Obszar obojętności w przypadku 2 dóbr nazywamy linią obojętności.
Własności relacji silnej preferencji.
1. Dla(zupełność).
2. Jeżeli dla (przechodniość, tranzytywność).
aisza24