Dla uproszczenia funkcję użyteczności będziemy rozpatrywali jako funkcję dwóch zmiennych. W rzeczywistości może to być funkcja dowolnej liczby zmiennych. Obrazem funkcji użyteczności jest krzywa obojętności.
Krzywa obojętności określa wszystkie kombinacje koszyków dóbr, które przynoszą taką samą satysfakcję konsumentowi, mają tę samą użyteczność. Konsument może dowolnie dobierać koszyki dóbr. Niezależnie od tego ich użyteczność będzie taka sama.
Zbiór krzywych obojętności nazywany jest mapą obojętności. Pokazuje ona stopy substytucji między dwoma towarami dla każdego poziomu ich bieżącej konsumpcji. Im wyżej jest położona krzywa obojętności, tym wyższy poziom satysfakcji z zakupu danych dóbr. Wyraża ona upodobania konsumentów.
Te znaczki tylko tak strasznie wyglądają. Naprawdę to jest dużo prostsze i liczy się to szybko i przyjemnie.
U=f(X1, X2) – ogólna postać funkcji użyteczności
ΔU = δU/δX1*ΔX1 + δU/δX2*ΔX2 - przyrost funkcji użyteczności (różniczka)
Jeśli ΔU = δU/δX1*ΔX1 + δU/δX2*ΔX2 = 0 to następuje maksymalizacja użyteczności.
δX2/δX1 = – ((δU/δX1)*ΔX1) / ((δU/δX1)*ΔX2) = MRSX1X2
((δU/δX1)*ΔX1) / ((δU/δX1)*ΔX2) = (MUX1/MUX2)
MUX1 – krańcowa użyteczność dobra X1 (przyrost użyteczności w wyniku zwiększenia konsumpcji dobra X1 o jednostkę)
MUX2 – krańcowa użyteczność dobra X2 (przyrost użyteczności w wyniku zwiększenia konsumpcji dobra X2 o jednostkę)
Nazwa MU pochodzi od angielskiego skrótu Marginal Utility.
Krańcowa stopa substytucji (MRS – Marginal Rate of Substitiuton) jest to ilość jednego dobra, którą konsument jest skłonny oddać w zamian za dodatkową jednostkę drugiego dobra. Krańcowa stopa substytucji zawsze będzie malejąca. Stosunek tych dwóch wielkości będzie miał wartość ujemną. Swiadczy o tym również malejąca i wypukła krzywa obojętności. Malejąca MRS uważana jest za prawie uniwersalną cechę ludzkich preferencji.
U = X1 + X2
Użyteczności dóbr będących doskonałymi substytutami są takie same. Zatem są one wymieniane w stosunku 1 : 1. Stąd wynika, że nachylenie wynosi ΔX1/ΔX2 = 1/1. Relacja zastępowalności obu dóbr jest zawsze taka sama. Nie ma znaczenia to, w jakich proporcjach konsumujemy oba dobra.
Punkt równowagi konsumenta wyznaczamy rozwiązując następujący układ równań (szukamy maksimum ograniczenia budżetowego dla X1 = - X2):
U = X1 + X2 – funkcja użyteczności
m = p1X1 + p2X2 – ograniczenie budżetowe
U = min{X1, X2}
Dobra doskonale komplementarne konsumowane są w równych proporcjach. Jeśli wzrasta konsumpcja tylko jednego dobra, to użyteczność się nie zmienia. Dopiero jednakowa zmiana konsumpcji obu dóbr powoduje zmianę użyteczności.
Należy rozwiązać układ równań:
X1 = X2 – funkcja użyteczności
Aby rozwiązać ten układ trzeba znalezć maksimum ograniczenia budżetowego, gdy X1 = X2.
U = Xα1Xβ2
Istnieje wzajemna zastępowalność dóbr X1 i X2, ale nie są to doskonałe substytuty ani dobra doskonale komplementarne. Nachylenie krzywych obojętności jest równe relacji cen ΔX2/ΔX1 = p1/p2 = MRSx1x2
W punkcie równowagi E:
ΔX2/ΔX1 = p2/p1 = MRSx1x2 = 1
Aby wyznaczyć punkt równowagi, należy rozwiązać następujący układ równań:
U = Xα1Xβ2 – funkcja użyteczności
Układ ten rozwiązujemy przy pomocy funkcji Lagrange'a:
λ – krańcowa użyteczność z bogactwa (mówi o tym, o ile wzrośnie użyteczność przy wzroście dochodu o jednostkę). Powtórka z analizy matematycznej wskazana. ;-)
L = Xα1Xβ2 - λ(p1X1 + p2X2 - m)
Pochodne cząstkowe funkcji L przyrównujemy do zera:
δL/δX1 = α(X1)α–1 * X2β – λp1 = 0
δL/δX2 = X1α * β(X2)β–1 – λp2 = 0
δL/δλ = – p1X1 – p2X2 – m
Ponieważ:
α(X1)α–1 * X2β = MUX1
X1α * β(X2)β–1 = MUX2
to:
MUX1 – λP1 = 0
MUX2 – λP2 = 0
– p1X1 – p2X2 – m
MUX1 = λP1
MUX2 = λP2
p1X1 + p2X2 = m
Po przekształceniach:
MUX1/MUX2 = p1/p2
Czyli:
MRSX1X2 = p1/p2
aisza24