M6_zadania.pdf

Zadania dodatkowe

Zadanie 1

Sprawdź, czy relacja f ⊆ R × R , dana zależnością ∀ x , y ∈ R [( x , y ) ∈ f ⇔ 2 x 2 + y = 3] jest funkcją

częściową.

Zadanie 2

Sprawdź, czy relacja f ⊆ R × R , dana zależnością ∀ x , y ∈ R [( x , y ) ∈ f ⇔ x + y 2 = 6] jest funkcją

częściową.

Zadanie 3

Uzasadnij, że funkcja f : R → R dana wzorem f ( x ) = x 2 – 2 nie jest funkcją różnowartościową.

Zadanie 4

Udowodnij, że funkcja f : (1, +∞) → R dana wzorem f ( x ) = x 2 – 2 x + 3 jest funkcją różnowartościową.

Zadanie 5

Rozważmy funkcję f : N → N daną wzorem f ( x ) = x 2 + 1. Wyznacz obraz f ( A ), dla zbioru A = {1, 2, 5}.

Zadanie 6

Rozważmy funkcję f : R → R daną wzorem f ( x ) = cosx + 2. Wyznacz obraz f ( A ), dla zbioru A = {0, π , 2 π }.

Zadanie 7

Uzasadnij z deﬁnicji, że zbiór liczb naturalnych parzystych jest równoliczny ze zbiorem liczb

naturalnych nieparzystych.

Zadanie 8

Uzasadnij, że zbiór parzystych potęg liczby 2 jest przeliczalny.

Zadanie 9

Uzasadnij, że zbiór liczb pierwszych jest przeliczalny.

Zadanie 10

Uzasadnij, że zbiór {1, 2, 3} × N jest przeliczalny.

Zadanie 11

Rozważmy funkcję f : R → R daną wzorem f ( x ) = x 2 + 1. Uzasadnij, że obraz f ( N ) jest przeliczalny.

Zadanie 12

Uzasadnij, że przedział (0, π ) nie jest przeliczalny.