Zadanie 5.pdf

(185 KB) Pobierz
Przykład 2
Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury korzystając z metody analitycznej i graficznej (konstrukcja koła Mohra).
5 a
a
2 a
2 a
a
5 a
5 a
a
2 a
2 a
a
5 a
Dla rozważanej figury przyjmiemy dwa współśrodkowe układy współrzędnych xy oraz
ξη . Oba układy są układami centralnymi. Układ ξη jest ponadto układem osi głównych
ponieważ osie ξ i η są osiami symetrii figury. Należy oczywiście ustalić, która z osi układu ξη
jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a która osią minimalnego momentu
bezwładności.
y
ξ
5 a
a
x
2 a
C
2 a
a
5 a
η
5 a
a
2 a 2 a
a
5 a
186655353.014.png 186655353.015.png
W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi x dokonamy podziału
rozpatrywanej figury na figury składowe.
y
4
y
y
5 a
4
x
c
4
C
I
a
III 3
C
x
c
4
II
I
x
2 a
C
2 a
a
5 a
5 a
a
2 a
2 a
a
5 a
Moment bezwładności rozpatrywanej figury względem osi x policzymy jako
podwojoną sumę momentów bezwładności względem osi x figur składowych (figury I, II, III i
IV). Moment bezwładności figury względem osi y ma taką samą wartość. W przypadku figury
IV należy zastosować twierdzenie Steinera. Pole powierzchni figury III i IV wynosi
A
III
=
A
IV
=
1
⋅
2
a
⋅
6
a
=
6
a
2
2
(
)
I
=
I
=
2
⋅
I
I
+
I
II
+
I
III
+
I
IV
=
x
y
x
x
x
x
⎨
1
1
1
⎡
1
⎛
1
⎞
2
⎤
⎬
=
2
⋅
⋅
3
a
⋅
() () () ()
3
a
3
+
⋅
2
a
⋅
2
a
3
+
⋅
6
a
⋅
2
a
3
+
⎢
⋅
2
a
⋅
6
a
3
+
6
a
2
⋅
⎝
2
a
+
⋅
6
a
⎠
⎥
=
12
3
12
36
3
⎩
⎣
⎦
⎭
=
248
1
a
4
6
Dewiacyjny moment rozpatrywanej figury w układzie xy policzymy jako podwojoną
sumę momentów dewiacyjnych figur składowych (figury I, II, III i IV). W przypadku figury
III i IV należy zastosować twierdzenie Steinera. Momenty dewiacyjne tych dwóch figur w
układzie xy mają te same wartości, można więc w obliczeniach uwzględnić to, licząc
podwojoną wartość momentu dewiacyjnego np. dla figury III.
(
I
=
2
⋅
I
I
+
I
II
+
I
III
+
I
IV
) (
=
2
⋅
I
I
+
I
II
+
2
⋅
I
III
)
=
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
=
2
⋅
⎧
1
()() ()() ()()
3
a
2
⋅
3
a
2
−
1
2
a
2
⋅
2
a
2
+
2
⋅
⎡
1
2
a
2
⋅
6
a
2
+
6
a
2
⋅
⎝
−
1
⋅
2
a
⎠
⋅
⎝
2
a
+
1
⋅
6
a
⎠
⎤
⎫
=
⎣
⎦
24
4
72
3
3
⎩
⎭
=
−
57
1
a
4
4
łówna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
2
⎧
⎫
⎛
⎞
⎛
⎞
186655353.016.png 186655353.017.png 186655353.001.png 186655353.002.png
1 tworzy z osią x kąt , natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość
I
max
ϕ
I =
2
I
min
tworzy z osią x kąt ϕ .
Ponieważ I x = I y , I xy < 0 to
π
=ϕ , natomiast
=ϕ .
−
π
1
4
2
4
Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności osiągają
wartości ekstremalne:
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
1
⎛ −
1
⎞
2
5
I
=
I
=
x
y
+
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
+
I
2
=
I
+
I
2
=
248
a
4
+
⎝
57
a
4
⎠
=
305
a
4
1
max
2
2
xy
x
xy
6
4
12
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
1
⎛ −
1
⎞
2
11
I
=
I
=
x
y
−
⎜
x
y
⎟
+
I
2
=
I
−
I
2
=
248
a
4
−
⎝
57
a
4
⎠
=
190
a
4
2
min
2
2
xy
x
xy
6
4
12
⎝
⎠
ξ - kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
ϕ
=
π
1
4
x
C
ϕ
=
π
2
4
η - kierunek minimalnego
momentu bezwładności
Główne centralne momenty bezwładności możemy wyznaczyć w inny sposób.
4
2
a
3
2
a
3
2
a
3
2
2
a
2
I
II
III
2
2
a
3
2
a
η
η
η
3
I =
186655353.003.png 186655353.004.png 186655353.005.png
Obliczymy wartość momentu bezwładności względem osi η , stosując nowy podział na
figury składowe. Figurę III traktujemy jako pole "ujemne". Momenty bezwładności figury I i
III mnożymy przez cztery.
( ) ( )
1
1
1
⎛
3
2
⎞
⎛
3
2
⎞
3
11
I η
=
4
⋅
⋅
2
2
a
⋅
4
2
a
3
+
⋅
3
2
a
4
−
4
⋅
⋅
⎜
⎝
a
⎟
⎠
⋅
⎜
⎝
a
⎟
⎠
=
190
a
4
12
12
12
2
2
12
W dalszych obliczeniach wykorzystamy to, że suma momentów bezwładności
względem obu osi układów współśrodkowych jest stała.
I
x
+
I
y
=
I
ξ
+
I
η
czyli
I
=
I
+
I
−
I
=
2
⋅
I
−
I
=
2
⋅
248
1
a
4
−
190
11
a
4
=
305
5
a
4
ξ
x
y
η
x
η
6
12
12
Z porównania wartości głównych momentów bezwładności wynika, że oś ξ jest
kierunkiem maksymalnego momentu bezwładności, a oś η jest kierunkiem minimalnego
momentu bezwładności.
I
=
I
=
I
=
190 a
11
4
,
I
=
I
=
I
=
305 a
5
4
η
min
2
12
ξ
max
1
12
Główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne można wyznaczyć metodą
graficzną, stosując konstrukcję koła Mohra. Korzystamy z wyznaczonych wartości
momentów bezwładności w układzie xy
1
I
=
I
=
248
a
4
=
248
.
167
a
4
x
y
6
oraz wartości momentu dewiacyjnego
1
I xy
=
−
57
a
4
=
−
57
.
250
a
4
.
4
Kolejność postępowania przy wyznaczaniu głównych momentów bezwładności i kierunków
głównych metodą graficzną jest następująca:
1. Wyznaczenie położenia punktów A i B
Wartości momentów bezwładności w układzie xy
I
=
I
=
248
.
167
a
4
stanowią odpowiednio
x
y
współrzędne punktów A
(
I x =
248
.
167
a
4 ,
0
)
i B (
I y =
248
.
167
a
4 ,
0
)
. W rozpatrywanym
zadaniu położenie punktów A ( )
248
.
167
a
4 ,
0
i B ( )
248
.
167
a
4 ,
0
jest wspólne.
. , jest środkiem odcinka AB i
środkiem koła Mohra. W rozpatrywanym zadaniu położenie punktów C , A i B jest wspólne.
3. Wyznaczenie położenia punktu D
Po uwzględnieniu wartości
(
0
.
5
⋅
I
x
+
I
y
=
248
.
167
a
4 ,
0
)
, czyli C ( )
248
167
a
4 ,
0
I x =
248
.
167
a
4
oraz
I xy
=
−
57
.
250
a
4
otrzymamy współrzędne
punktu D
(
I
=
248
.
167
a
4
,
−
I
=
−
( )
−
57
.
250
a
4
)
, czyli D (
248
.
167
a
4
,
57
.
250
a
4
)
.
x
xy
4. Wyznaczenie promienia koła Mo hra
Łączymy punkty C i D odcinkiem CD , który stanowi promień R koła Mohra. Promieniem
tym zataczamy okrąg.
5. Wyznaczenie głównych momentów bezwładności
Koło Mohra przecina oś poziomą w dwu punktach: E i F . Współrzędne tyc h punktów są
następujące: E ( )
190
.
917
a
4 ,
0
, F ( )
305
417
a
4 ,
0
I
O odpowiada
maksymalnemu momentowi bezwładności .
1
I
6. Wyznaczenie kierunków głównych
4
2. Wyznaczenie położenia punktu C
Punkt C ( )
. . Długość odcinka OE odpowiada
minimalnemu momentowi bezwładności , natomiast długość odcinka
2
186655353.006.png 186655353.007.png 186655353.008.png 186655353.009.png
 
Oś przechodząca przez punkty E i D jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a oś
przechodząca przez punkty F i D jest osią minimalnego momentu bezwładności.
Przyjęta skala: 50 r 4
kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
ϕ
=
π
D
1
ϕ 4
π
=
−
R
2
4
A
( )
( )
I
,
0
E
F
x
B
I
,
0
O
A = B = C
Momenty bezwładności
y
I
2
C
⎛ +
I
x
I
y
0
⎟
⎠
kierunek minimalnego
momentu bezwładności
2
I +
I
I =
x
y
( )
( )
( )
y
2
D
I
,
−
I
x
xy
E
I
2
,
0
I
1
F
I
1
,
0
5
⎜
⎝
,
⎞
x I
=
186655353.010.png 186655353.011.png 186655353.012.png 186655353.013.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin