Zadanie 4.pdf
(
38 KB
)
Pobierz
186674187 UNPDF
Przykład 4.4. Rdze n przekroju
Wyznaczyc rdze n ponizszego przekroju.
2a
5a
3a
4a
Rozwi azanie
Rozwi azywanie zadania rozpocz ac nalezy od okreslenia charakterystyk geometrycznych prze-
kroju. Aby znalezc srodek ciezkosci nalezy przyj ac wyjsciowy układ współrzednych
Y
p
OZ
p
.
2a
5a
O
Zp
Yp
3a
0,5a
4a
Rozpatrywany przekrój jest figur a złozon a, co oznacza, ze nie potrafimy bezposrednio okreslic
połozenia jego srodka ciezkosci. Aby znalezc ten punkt nalezy podzielic badany przekrój na
1
figury proste, tj. takie, dla których znamy połozenie srodka ciezkosci (prostok aty, trójk aty,
wycinki koła). Przyjeto podział na trzy figury: prostok at o wymiarach
7a
x
8a
, kwadrat o boku
4a
i trójk at prostok atny o wymiarach przyprostok atnych
5a
i
2a
. Dwie ostatnie figury bed a
traktowane jak figury o polu ujemnym.
2a
10
⁄
3
a
5
⁄
3
a
z
3
y
3
O
z
1
Zp
y
1
z
2
Yp
y
2
3,5a 1,5a 2a
Pole badanego przekroju jest równe:
A = 7a8a(4a)
2
2
5a2a = 56a
2
16a
2
5a
2
= 35a
2
zas momenty statyczne
S
y
p
= 56a
2
016a
2
1;5a5a
2
3;5a
5
3
a
=24a
3
9;167a
3
=33;17a
3
2a
S
z
p
= 56a
2
016a
2
2a5a
2
4
3
a
=32a
3
+ 16;67a
3
=15;33a
3
st ad srodek ciezkosci ma współrzedne
y
p
=
S
z
c
=
15;33a
3
35a
2
=0;4381a
z
p
=
S
y
c
A
=
33;17a
3
35a
2
=0;9476a
2
1
A
2a
10
⁄
3
a
5
⁄
3
a
z
3
y
3
z
Z
Zp
C
O
1
y
1
z
2
Y
Yp
y
2
0,9476a
3,5a 1,5a 2a
Obliczmy momenty bezwładnosci przekroju wzgledem osi
Y
p
i
Z
p
.
"
#
"
#
J
y
p
=
8a(7a)
3
(4a)
4
12
2a(5a)
3
36
2
5
3
a
12
+ 16a
2
(1;5a)
2
+ 5a
2
3;5a
=
= 228;7a
4
57;33a
4
23;75a
4
= 147;6a
4
J
z
p
=
7a(8a)
3
(4a)
4
3
"
5a(2a)
3
36
2a
4
3
a
2
#
12
+ 5a
2
=
= 298;7a
4
85;33a
4
56;67a
4
= 156;7a
4
"
#
(5a)
2
(2a)
2
72
5
3
a
4
3
a
J
y
p
z
p
=16a
2
1;5a2a
+ 5a
2
3;5a
2a
=
=48a
4
+ 29;17a
4
=18;83a
4
Korzystaj ac ze wzorów Steinera mozna obliczyc wartosc momentów bezwładnosci wzgledem
osi centralnych
Y Z
.
J
y
= 147;6a
4
35a
2
(0;9476a)
2
= 116;2a
4
J
z
= 156;7a
4
35a
2
(0;4381a)
2
= 149;9a
4
J
yz
=18;83a
4
35a
2
(0;9476a)(0;4381a) =33;36a
4
St ad kwadraty promieni bezwładnosci oraz iloraz
J
y
A
i
yz
maj a wartosci (
i
yz
traktujemy jako
2
symbol, nie zas jako kwadrat liczby):
i
y
=
J
y
A
=
116;2a
4
35a
2
= 3;319a
2
=
J
z
A
=
149;9a
4
35a
2
i
z
= 4;284a
2
=
J
yz
A
=
33;36a
4
35a
2
i
2
yz
=0;9532a
2
3
Poszukiwany rdze n przekroju wyznaczac bedziemy we współrzednych centralnych, a nie głów-
nych centralnych. Podejscie to ma szereg zalet powoduj acych, ze zastosowanie go w rozpatry-
wanym przypadku jest bardziej racjonalne ze wzgledu na nakład oblicze n. Po pierwsze nie
ma potrzeby wyznaczania osi głównych przekroju oraz momentów bezwładnosci i promieni
bezwładnosci wzgledem tych osi. Po drugie nie musimy dokonywa c transformacji współrzed-
nych punktów przekroju z układu centralnego do układu głównego centralnego.
Współrzedne wierzchołków rdzenia przekroju, okreslone w układzie centralnym
Y CZ
, oblicza
sie z wzorów:
y
p
=
i
z
a
y
yz
a
z
=
a
y
0;9532a
2
=
4;284a
2
a
y
+
0;9532a
2
a
z
a
z
z
p
=
i
y
a
z
yz
a
y
=
a
z
0;9532a
2
=
3;319a
2
a
z
+
0;9532a
2
a
y
a
y
gdzie
a
y
i
a
z
oznaczaj a współrzedne punktów przeciecia przyjetych osi obojetnych z osiami
współrzednych. Osie obojetne nalezy oczywiscie przyjmowac w taki sposób, by tworzyły one
obrys badanego przekroju. W rozpatrywanym przypadku nalezy przyj a c szesc róznych połoze n
osi obojetnej.
2a
5a
3
3
C
Z
Y
1
1
0,9476a
3a 0,5a 3,5a
Dla osi 1-1
a
y
= 4a + 0;4381a = 4;438a
a
z
=1
4
4;284a
2
i
2
3;319a
2
i
2
tak wiec współrzedne odpowiadaj acego tej osi punktu rdzenia maj a wartosc:
y
p
1
=
4;284a
2
4;438a
+
0;9532a
2
1
=0;9653a
z
p
1
=
3;319a
2
1
+
0;9532a
2
4;438a
= 0;2148a
Analogicznie obliczane s a współrzedne punktów rdzenia odpowiadaj acych pozostałym osiom
obojetnym.
Dla osi 2-2
a
y
=1
a
z
= 0;9476a3;5a =2;552a
y
p
2
=
4;284a
2
1
+
0;9532a
2
2;552a
=0;3735a
z
p
2
=
2;552a
+
0;9532a
2
= 1;300a
1
Dla osi 3-3
a
y
=4a + 0;4381a =3;562a
a
z
=1
y
p
3
=
3;562a
+
0;9532a
2
= 1;203a
1
z
p
3
=
3;319a
2
1
+
0;9532a
2
3;562a
=0;2676a
Dla osi 4-4
a
y
= 0;4381a4a + (3;5a0;9476a2a)
2
5
=3;341a
5
2
= 8; 352a
a
z
= 0;9476a + 3;5a + (2a0;4381a)
y
p
4
=
3;341a
+
0;9532a
2
= 1;396a
8; 352a
z
p
4
=
3;319a
2
8; 352a
+
0;9532a
2
3;341a
=0;6827a
Dla osi 5-5
a
y
=1
a
z
= 0;9476a + 3;5a = 4;448a
y
p
5
=
4;284a
2
1
+
0;9532a
2
4;448a
= 0;2143a
z
p
5
=
3;319a
2
4;448a
+
0;9532a
2
1
=0;7462a
5
3;319a
2
4;284a
2
4;284a
2
Plik z chomika:
eilmers
Inne pliki z tego folderu:
Zadanie 1.pdf
(90 KB)
Zadanie 2.pdf
(50 KB)
Zadanie 3.pdf
(29 KB)
Zadanie 4.pdf
(38 KB)
Inne foldery tego chomika:
Momenty bezwładności figur płaskich
Nośność graniczna
Ściskanie i rozciąganie osiowe
Ściskanie i rozciąganie prętów
Skręcanie prętów
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin